Transcript Comportamento di sistemi lineari a 1 GdL sotto input sismico

Costruzioni in zona sismica A.A. 2013-­‐2014 Comportamento di sistemi lineari a 1 GdL so<o input sismico Richiami di dinamica di sistemi a 1 g.d.l. Le cara<eris=che che determinano il comportamento di una stru<ura in presenza di azioni dinamiche sono: •  La massa M dei diversi elemen= che compongono la stru<ura; •  La rigidezza K delle par= stru<urali; •  Lo smorzamento C o dissipazione energe=ca Il più sempilce modello dinamico di stru<ura è l’oscillatore elementare o ad 1 grado di libertà (Single Degree of Freedom o SDOF). La risposta della stru<ura è descri<a dallo spostamento orizzontale u della massa dell’oscillatore, rispe<o al terreno che, a sua volta, può subire uno spostamento xG. Dinamica di sistemi a 1 g.d.l. Equazione del moto Per l’oscillatore elementare, l’equilibrio di tu<e le forze che agiscono sul sistema è dato dall’eq. di D’Alembert (1717-­‐1783) Sistemi a 1 g.d.l. so8o azione sismica Oscillazione forzate – forzante sismica Equivalenza tra forzante sismica e forza applicata Oscillazioni libere Sos=tuendo, si oZene l’equazione del moto per le oscillazioni libere: La soluzione dell’equazione del secondo grado di presenta in questo modo: L’equazione, essendo di secondo grado, necessità di due condizioni al contorno u0, u’0. A indica l’ampiezza che va diminuendo visto che mol=plica un esponenziale nega=vo. φ indica l’angolo di fase iniziale. ω è la pulsazione dell’oscillatore. La frequenza ciclica di oscillazione, per ξ ≤ 20%, è ragionevolmente prossima alla frequenza ciclica dell’oscillatore elementare non smorzato. L’ampiezza delle oscillazioni ed il rela=vo angolo di fase dipendono dalle condizioni iniziali (spostamento iniziale e velocità iniziale). Oscillazioni forzate Vediamo il caso di forzante sinusoidale: La soluzione dell’equazione: È termine transitorio termine stazionario Il termine transitorio dipende dalle cara<eris=che dell’oscillatore (A, φ, ω, ξ) e si riduce al crescere del tempo, poiché mol=plica un esponenziale decrescente. Il termine stazionario dipende dalla forzante sinusoidale e non si riduce nel tempo. L’ampiezza delle oscillazioni dipende da β e ξ. Si introduce il fa<ore R de<o fa<ore di amplificazione. Esso è funzione di β e ξ e indica L’amplificazione della risposta dinamica rispe<o alla sta=ca, ove la risposta sta=ca è stata calcolata ipo=zzando nulle forze di inerzia e termine viscoso. Si introduce l’angolo di fase φ tra la forzante e l’oscillatore. Ad esso è associato il tempo di ritardo tra la forzante e la soluzione par=colare. Graficando separatamente i due termini dell’equazione, e poi la somma, si vede che l’oscillatore segue la forzante, quindi, si potrebbe dire che è la forzante a ‘’comandare’’ Si introduce il rapporto β tra la velocità angolare della forzante e la velocità angolare dell’oscillatore. Esso misura gli effeZ di dinamici che la forzante produce. Se β=0 l’equilibrio si tra<a in termini sta=ci Se β≠0 (β≈1) l’equilibrio dev’essere tra<ato in termini dinamici Si nota che quando β è prossima ad 1 (cioè la frequenza della forzante è circa pari alla frequenza dell’oscillatore) l’amplificazione dinamica è massima e tende a infinito in assenza di smorzamento. 6
0.00
R
0.10
0.15
5
0.30
0.40
4
3
2
1
β=ωf/ω
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Il comportamento sismico e il conce8o di spe8ro di risposta L’equazione del moto si può risolvere a<raverso l’integrale di Duhamel Il taglio alla base V0 ed il momento M0 possono essere determina= dall’analisi sta=ca della stru<ura sogge<a alla forza laterale. Sos=tuendo si ha: Spe8ro di risposta Uno spe<ro di risposta consiste nella rappresentazione dei massimi di una quan=tà scelta, in funzione del periodo T. Ad esempio, la rappresentazione degli spostamen= massimi può essere scri<a come : Ciascun accelerogramma è decomponibile in una somma di cosinusoidi con uno sviluppo in serie di Fourier: Le armoniche con ampiezza Cn maggiore sono le armoniche più significa=ve che compongono l’accelerogramma a(t). L’azione sismica è inoltre decomponibile in una somma di azioni cosinusoidali, il cui effe<o complessivo si oZene sovrapponendo gli effeZ delle singole componen= Una forzante generica può essere ricondo<a a forzan= armoniche Oscillatore elementare Funzione di amplificazione Amplificazione dinamica in funzione del rapporto β tra la velocità angolare della forzante e la velocità angolare dell’oscillatore Forzante sismica Spe<ro di Fourier Ampiezze delle armoniche in funzione della frequenza dell’armonica Le risposte in spostamento di oscillatori diversi allo stesso accelerogramma sono molto diverse tra loro e le armoniche che contano sono solo quelle con frequenza prossima a quella dell’oscillatore Questo esempio mostra la determinazione dello spe<ro di risposta in spostamento. Dalla soluzione dell’equazione del moto (per oscillatori diversi, quindi con T diversi) si determinano le funzioni dello spostamento rela=vo e si iden=ficano gli spostamen= massimi umax (in valore assoluto). Lo spe<ro di rispsota consiste nella rappresentazione degli umax in funzione di T. Si possono definire due grandezze di risposta: La pseudo-­‐velocità (legata alla massima energia di deformazione elas=ca dell’oscillaore La pseudo-­‐accelerazione (legata al massimo taglio alla base dell’oscillatore) Spe<ro di risposta in pseudo-­‐velocità Spe<ro di risposta in pseudo-­‐accelerazione Per ogni accelerogramma è sufficiente conoscere la risposta spe<rale in PV per determinare le altre. Queste grandezze dipendono non solo dal terremoto ma anche da frequenza e smorzamento dell’oscillatore elementare. È possibile rappresentare tu<o in un unico grafico grazie alle relazioni che sussistono tra di loro: Valgono i seguen= limi= Gli spe<ri di risposta defini= dalla NTC-­‐2008 invece sono cosi faZ: