Transcript Varianza de Allan J. Mauricio López R. Centro Nacional de Metrología CENAM

Varianza de Allan
J. Mauricio López R.
Centro Nacional de Metrología
CENAM
Contenido
1. Introducción
2. Mediciones de Tiempo y Frecuencia
3. Varianza de Allan
4. Barras de Incertidumbre
5. Ejemplos
Introducción
VARIANZA ESTÁNDAR
vs
VARIANZA DE ALLAN
El uso de la varianza estándar en el análisis de la dispersión de
variables dependendientes del tiempo puede conducir a problemas
de divergencia cuando el número de mediciones tiende a infinito.
Dicha divergencia puede ser originada por una fuerte correlación
entre mediciones que introduce ruidos no blancos en las series de
mediciones. En el caso de la metrología de tiempo y frecuencia, por
ejemplo, la presencia de ruidos no blancos como el llamado ruido en
frecuencia de paso aleatorio (Random Walk Frequency Noise)
introduce una rápida divergencia en el análisis de estabilidad de
frecuencia cuando se usa la varianza estándar. El uso de la llamada
Varianza de Allan se ha generalizado a nivel internacional para
expresar la estabilidad de osciladores ya que es convergente para los
principales ruidos no blancos presentes en señales de frecuencia y
en series de tiempo.
Mediciones de Tiempo y Frecuencia
Mediciones de Diferencia de Fase
MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE
200
150
100
PC
50
0
-50
-100
-150
-200
0
20
40
60
80
100
120
DATOS t=1S)
Frecuencia Patrón
para amarrar en
frecuencia al
contador
Interfase
de
Comunicación
Adquisiciónde datosautomatizado
P
a
t
r
ó
n
d
e
r
e
f
e
r
e
n
c
ia
Contador de
Intervalos de
Tiempo
Instrumento
bajo
calibración
Frecuencia
Bajo
Calibración
Frecuencia Patrón
para la calibración
Método de medición de diferencia de fase
MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE
180
150
120
90
GRADOS
60
30
0
-30
-60
-90
-120
-150
-180
0
20
40
60
80
100
DATOS
(=1 s)
120
140
160
180
MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE
180
150
120
90
GRADOS
60
30
0
-30
-60
-90
-120
-150
-180
0
20
40
60
80
100
DATOS
(=1 s)
120
140
160
180
Inestabilidad en frecuencia (ruido)
V
1
-1
T1
1
V -1
T1
Frecuencia estable (oscilador ideal)
F(t)
T2
T3
V(t) = V0 sin(2pn0t)
F(t) = 2pn0t
Time
Unstable Frequency (Real Oscillator)
F(t)
T2
T3
Time
F(t) = 2pn0t + f(t)
V(t) =[V0 + e(t)] sin[2pn0t + f(t)]
Instantaneous frequency,
n(t ) = 1 d Φ(t ) = n0 + 1 df(t )
2π d t
2π d t
V(t) = salida del oscilador, V0 = Amplitud nominal pico-a-pico
e(t) = amplitud de ruido,
n0 = frecuencia nominal
F(t) = fase
, and f(t) =ruido de fase
4-16
Las señales eléctricas no son puras
Ruido en frecuencia y y()
3 X 10-11
f
f
0.1 s tiempo de promediación
0
100 s
-3 X 10-11
3 X 10-11
f
f
1.0 s tiempo de promediación
0
100 s
-3 X 10-11
y() 10-10
10-11
10-12
0.01
0.1
1
10
100
Tiempo de promediación, , s
Ruido en frecuencia
Dependencia temporal
Sz(f) = hf
nombre
=0
White
 = -1
Flicker
 = -2
Random
walk
 = -3
Las graficas muestran las fluctuaciones de la variable z(t), la cual puede ser, por ejemplo,
la salida de un contador (f vs. t), o la medición de fase (f[t] vs. t). Los gráficos muestran
tanto la dependencia temporal como la dependencia en frecuencia; h  es el coeficiente de
amplitud.
4-26
Varianza de Allan
La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis de
mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la
dispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del
oscilador bajo calibración.
Concepto de la Varianza de Allan
yi 
xi +1  xi

yi  yi +1  yi
σy
2
1
2
 yi 
2
Frecuencia
2 xi  xi + 2  2 xi +1 + xi
σy
2

1
 2 2 xi
2
Fase

2
Varianza de Allan para Mediciones de Frecuencia
N 1
1
2


σ y   
y

y
 i+1 i
2 0 N  1 i 1
2
donde:
 y 2 Es la varianza de Allan
N
Es el número de datos espaciados 0

Es el tiempo de observación = m0
yi
Es la i-ésima medición de fase
m = 2n cálculos posibles
Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase
1
 y   
2 N  2m  2
2
donde:
 y2
N 2m
2


x

2
x
+
x
 i+2m i+m i
i 1
Varianza de Allan
xi
i-ésima medición de fase
N
Número de datos espaciados 0

Tiempo de observación = m0
m
=2n cálculos posibles
Barras de Incertidumbre
Distribución c2
Para df < 100
c 2  (df )
2
2
 y2
Estimado de la Varianza de Allan
df
Número de grados de libertad
 y2
Varianza de Allan verdadera
Distribución X2
sy
sy
Barras de incertidumbre
c 2  (df )
Barra Inferior
s y df 
sy
 y2
2
s y df 
2
c 0.975
2
2
y 
2
Tablas X2
c 2 0,025
Barra Superior
Tabla X2
Barras de incertidumbre
Para df > 100
Barras de incertidumbre
Para df > 100
c 2 0,025 
1
h  1,962
2
1
c 0,975  h + 1,96 2
2
2
donde:
h  2df 1
Barra Superior
Barra Inferior
Número de Grados de Libertad
White Phase Modulation
Flicker Phase Modulation
White Frquency Modulation
df 
N + 1N  2m
2N  m 
  N  1   2m + 1N  1 
df  exp ln 
 ln 

2
n
4
 

 
2
 3N  1 2N  2 4m
df  

N  4m2 + 5
 2m
NBS Technical note 679
Continuación…
Número de Grados de Libertad
Flicker Frequency Modulation
df 
2N  2
2,3N  4,9
para m  1
5N 2
df 
4mN + 3m 
Random-Walk Frequency
Modulation
para m  2
N  2 N  1  3mN  1 + 4m 2
df 
m
N  32
2
NBS Technical note 679
Dependencia temporal de y()
y()
-1
-1
-12
Tipo de
ruido:
White
phase
Flicker
phase
White
freq.
0
12
Flicker Random
freq.
walk freq.
Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una
dependencia -1 (white phase noise).
Los patrones atómicos de frecuencia
-1/2
muestran una dependencia del tipo  (white frequency noise) para tiempos de
promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos
menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s
para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.
Ejemplos de cálculo de varianza de Allan
Varianza de Allan
Mauricio López R.
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+ 52 (442) 211 0543