Estadística Administrativa I

Período 2014-2 Distribuciones de probabilidad

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Distribuciones de probabilidad

Son similares a las distribuciones de frecuencias relativas; pero, en lugar de analizar el pasado, describe la probabilidad de que un evento ocurra en el futuro.

Distribuciones discretas de probabilidad Distribuciones continuas de probabilidad 2

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¿Qué es una distribución de probabilidad?

Es un listado de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada a cada resultado.

Ejemplo …

› Suponga que le interesa el número de caras que aparecen en 3 lanzamientos de una moneda. › Los posible resultados a obtener son: › Al lanzar una moneda 3 veces se pueden tener 8 posibles resultados.

No. de Lanzamiento de 1 moneda lanzamiento Primero Segundo Tercero

2

3

= 8

2 lados de la moneda 3 lanzamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 E E E

C C C

E

C

E E

C

E

C

E

C C

E

C

E E E

C C C

Total de caras 0 1 1 1 2 2 2 3 CARAS 0 1 2 3 4

… Ejemplo

› A partir de la tabla resultante, se construye la distribución de probabilidades que será el resultado de los posibles.

No. de lanzamiento Lanzamiento de 1 moneda Primero Segundo Tercero 1 2 3 4 5 6 7 8 E E E

C C C

E

C

E E

C

E

C

E

C C

E

C C C

E

C

E E Total de caras 0 1 1 1 2 2 2 3 No. de caras 0 1 2 3 Probabilidad del resultado P(x) 1/8 = 3/8 = 3/8 = 1/8 = 0.125

0.375

0.375

0.125

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Características de una distribución de probabilidad

6 1. La probabilidad de un resultado se encuentra en 0 y 1 2. Los resultados son eventos mutuamente excluyentes.

3. La lista es exhaustiva. La suma de todas las probabilidades debe ser 1.

Variables aleatorias

7 Siempre se que se hace referencia a variables aleatorias, se debe asumir que el experimento que se está llevando a cabo es al azar.

Si la información puede ser manipulada, ya no serán variables aleatorias.

Variable aleatoria

› Cantidad que resulta de un experimento que, por azar, puede adoptar diferentes resultados.

› Una variable aleatoria puede ser discreta o continua 8

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Variable aleatoria discreta

Variables aleatoria que adopta solo valores claramente separados.

En algunos casos, el hecho de que una variable tenga un resultado decimal no significa que es continua.

Ejemplo….

Distribuciones de probabilidad consideradas como variables aleatorias discretas › Cantidad de ausencias de empleados el día lunes 25 de noviembre.

› El peso de 4 lingotes de oro en la Reserva Federal › Los puntajes de los clavados realizados por los atletas en la competencia de hoy.

› El tiempo en minuto que duran las llamadas por quejas de falta de entrega de periódicos en Seattle atendidas por el Call Center Altia en San Pedro.

› Número de focos defectuosos producidos por hora en la empresa General Electric.

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Variable aleatoria continua

Las variables aleatorias continuas son las que resultan de procesos de medición que involucran masa, longitud, volumen, etc.

Ejemplos…

› Los tiempos de vuelos comerciales entre Atlanta y Miami puede durar 4.56 horas, 5.13 horas, 4.354 horas, etc. En esta caso la variable aleatoria es HORAS › La presión medida en libras por pulgada cuadrada (psi) en un nuevo neumático para Chevy puede ser de 32.78 psi, 31.62, 33.07 psi, etc. La variable aleatoria es la PRESIÓN de la llanta.

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Medidas de ubicación y dispersión Media Varianza Desviación estándar

Media

› Valor típico para representar la localización central de una distribución de probabilidad.

› La media de una distribución de probabilidad también se le conoce como “Valor Esperado” o “Esperanza”.

› Es un valor ponderado entre las frecuencias y su respectiva probabilidad.

𝜇

=

𝑥 𝑃(𝑥)

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Varianza

› Mide el grado de dispersión de los datos con relación al valor esperado.

› También es un valor ponderado entre las diferencias de sus frecuencias, multiplicadas por su respectiva probabilidad.

𝜎

2

= (𝑥 − 𝜇)

2

𝑃(𝑥)

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Desviación estándar

› Es la raíz cuadrada de la varianza.

𝜎 = 𝜎

2

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Ejemplo…

› John Ritter vende vehículos en la empresa “El Pelícano”; por lo general vende la mayor cantidad de vehículos los días sábados. Ideó la siguiente distribución de probabilidad de la cantidad que espera vender el próxima sábado.

Cantidad de automóviles vendidos 0 1 2 3 4 Total Probabilidad P(x) 0.1

0.2

0.3

0.3

0.1

1.0

 Determinar el tipo de distribución de probabilidad  ¿Cuántos automóviles espera vender?

 ¿Desviación estándar?

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. . .Ejemplo

› Tipo de distribución: Distribución aleatoria discreta › Variable aleatoria: número de automóviles vendidos.

› Media

𝜇

=

𝑥 𝑃(𝑥)

Cantidad de automóviles vendidos x 0 1 2 3 4 Total Probabilidad P(x) 0.1

0.2

0.3

0.3

0.1

1.0

x P(x) 0 * 0.1 = 1 * 0.2 = 2 * 0.3 = 3 * 0.3 = 4 * 0.1 = 𝜇 = 0.00

0.20

0.60

0.90

0.40

2.10

 Se multiplica cada dato de la variable aleatoria por su respectiva probabilidad  Se suman todos los productos.

 La media es 2.1 vehículos 18

. . .Ejemplo

› Varianza Cantidad de automóviles vendidos x 0 1 2 3 4 Probabilidad P(x) 0.1

0.2

0.3

0.3

0.1

0 - 2.1 = 1 - 2.1 = 2 - 2.1 = 3 - 2.1 = 4 - 2.1 = -2.10 (-2.10) 2 = -1.10 (-1.10) 2 = -0.10 (-0.10) 2 = 0.90 (-0.90) 2 = 1.90 (1.90) 2 = Total 1.0

4.41 4.41 * 0.1 = 1.21 1.21 * 0.2 = 0.01 0.01 * 0.3 = 0.81 0.81 * 0.3 = 3.61 3.61 * 0.1 = P(x) 0.441

0.242

0.003

0.243

0.361

1.29

19

. . .Ejemplo

› Desviación estándar

𝜎 = 𝜎

2 Si Varianza 𝜎 2 entonces =1.29 𝜎 =

1.29 = 1.13578

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Distribuciones de probabilidad DISCRETAS

› Binomial › Hipergeométrica › Poisson

CONTINUAS

› Uniforme › Normal 21

EJEMPLO El gerente general de la Empresa a través de los últimos 3 años, ha generado una distribución de probabilidad de que sus empleados falten durante la semana. La variable discreta que se ha definido es “días que faltan los empleados en la semana” Calcular la desviación estándar Días que faltan los empleados en la semana x 0 1 2 3 4 Total….

Probabilidad de que falten P(x) 0.25

0.35

0.23

0.15

0.02

1 Días que faltan los empleados en la semana x 0 1 2 3 4 Total….

Probabilidad de que falten P(x) Media (μ) Σ x * P(x) 0.25

0.35

0.23

0.15

0.02

1 0 0.35

0.46

0.45

0.08

1.34

Varianza parte 1 x - μ -1.34

-0.34

0.66

1.66

2.66

Varianza parte 2 (x - μ) 2 1.7956

0.1156

0.4356

2.7556

7.0756

Varianza parte 3 Σ (x - μ) 2 *P(x) 0.4489

0.04046

0.100188

0.41334

0.141512

1.1444

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EJEMPLO El gerente general de la Empresa a través de los últimos 3 años, ha generado una distribución de probabilidad de que sus empleados falten durante la semana. La variable discreta que se ha definido es “días que faltan los empleados en la semana” Calcular la desviación estándar Días que faltan los empleados en la semana x 0 1 2 3 4 Total….

Probabilidad de que falten P(x) Media (μ) Σ x * P(x) 0.25

0.35

0.23

0.15

0.02

1 0 0.35

0.46

0.45

0.08

1.34

Varianza parte 1 x - μ -1.34

-0.34

0.66

1.66

2.66

Varianza parte 2 (x - μ) 2 1.7956

0.1156

0.4356

2.7556

7.0756

Varianza parte 3 Σ (x - μ) 2 *P(x) 0.4489

0.04046

0.100188

0.41334

0.141512

1.1444

𝜇 = 1.34

𝜎 2 = 1.1444

𝜎 = 1.1444 = 1.0698

La dispersión estándar en faltas es de 1 día 23

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