Variable aleatoria 2011 - 0

Variable aleatoria

  Sea Ω un espacio muestral. Una variable aleatoria una función

X

, que transforma cada resultado espacio muestral en un número real

X

(

w

).

w

es del El rango de la variable aleatoria

X

todos sus posibles valores.

es el conjunto

R X

de W

Reales

w

R X x=X(w)

Tipos de variable aleatoria

  • • • • Discreta si su rango es un conjunto finito o infinito numerable. Ejemplo: Número de alumnos matriculados por curso.

Número de artículos inspeccionados hasta encontrar uno defectuoso.

Continua si su rango es un conjunto infinito no numerable. Ejemplo: Peso (en kilos) de una persona adulta.

Tiempo (en minutos) en resolver el examen parcial de Estadística y Probabilidad.

Variable aleatoria discreta

Función de probabilidad y distribución acumulada

  Sea

X

una variable aleatoria discreta. La función de probabilidad de

X

es una función

f

(

x

) tal que: i)  0

x

ii)

i n

  1

f x i

 iii)  Pr 

X



x

 La función de distribución acumulada de

X

por:

F x

 Pr 

X



x

 se define

Función de probabilidad y distribución acumulada

Ejemplo: Se seleccionan al azar 4 CD’s de una colección que consiste de 5 CD’s de música clásica, 3 de salsa y 4 de rock. Encuentre la función de probabilidad y de distribución acumulada para el número de CD’s de música clásica seleccionados entre los 4.

Ejemplo: Cada vez que se prueba un componente, la probabilidad de que tenga éxito es 0.8. Suponga que el componente se prueba repetidamente hasta que ocurran tres éxitos en tres pruebas sucesivas. Denote por Y el número de pruebas para lograr esto. Elabore la tabla de distribución de probabilidades con los 4 valores mínimos posibles de Y.

Valor Esperado y Varianza

 El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria discreta

X

, se definen por 

X

=E 

i n

  1 

X

2 =V  E

X

2   E  2 E

X

2

i n

  1 2  

Valor Esperado y Varianza

Ejemplo: El tiempo necesario (en meses) para la construcción de un puente se considera una variable aleatoria. Una empresa constructora ha determinado que dicha variable tiene la siguiente función de probabilidades.

X f

(

x

) 5 0.05

6 0.15

7 0.30

8 0.25

9 0.20

10 0.05

Hallar el valor esperado y varianza del tiempo necesario para la construcción del puente.

Propiedades

 Sean

a

y

b

constantes,

X

independientes, entonces: e

Y

variables aleatorias • • E[

a

] =

a

V[

a

] = 0 • • • • E[

aX

] =

a

E[

X

] V[

aX

] =

a

2 V[

X

] E[

aX

±

bY

] =

a

E[

X

] ±

b

E[

Y

] V[

aX

±

bY

] =

a 2

V[

X

] +

b 2

V[

Y

]

Propiedades

Ejemplo (continuación): Suponga que se decide contratar a la empresa constructora mencionada acordándose pagarle 20000 dólares por la construcción del puente en un tiempo máximo de 10 meses. Sin embargo, si se terminara antes del tiempo pactado la empresa constructora recibe 5000 dólares adicionales por cada mes ahorrado. Calcule el valor esperado y la desviación estándar del pago obtenido por la empresa por la construcción del puente.