Transcript Variable aleatoria

VARIABLE ALEATORIA
Ing. Maricela Jiménez García
1
Definición:

Una variable aleatoria es una descripción
numérica del resultado de un experimento
Tipos:


Variable aleatoria Discreta
Variable aleatoria Continua
2
Ejemplos variable aleatoria discreta
Experimento
Variable aleatoria
Valores posibles V.A
Llamar a cinco clientes
Cantidad de clientes
0, 1,2,3,4,5
Inspeccionar un
embarque de 40 chips
Cantidad de chips
defectuosos
0,1,2,….,40
Funcionamiento de un
restaurante durante un día
Cantidad de clientes
0,1,2,3…….
Vender un automóvil
Sexo Cliente
0 si es hombre y 1 si es
mujer
3
Ejemplos variable aleatoria continua
Experimento
Variable aleatoria
Valores posibles V.A
Funcionamiento de un
banco
Tiempo en minuto, entre
llegadas de clientes
X>=0
Llenar una lata de bebida
(máx =12.1 onzas)
Cantidad de onzas
0<=x<=12.1
Proyecto para construir un
biblioteca
Porcentaje de terminado
del proyecto
0<=x<=100
Ensayar un nuevo
proceso químico
Temperatura cuando se
lleva a cabo la reacción
deseada (min 150º F; máx
212ºF)
150<=x<=212
4
Variable aleatoria
Una variable aleatoria X es una función que asocia a
cada suceso del espacio muestral E de un experimento
aleatorio un valor numérico real:
X :E 
w  X ( w)
Llamar variable a una función resulta algo confuso,
por ello hay que insistir en que es una función.
La variable aleatoria puede ser discreta o continua.
Veremos en este capítulo el caso discreto.
5
Función de probabilidad
Una vez definida una variable aleatoria X, podemos
definir una función de probabilidad asociada a X, de
la siguiente forma:
p :   [0,1]
x  p ( x)  P( X  x)
La función de probabilidad debe cumplir:
(i) p( x)  0 x  
(ii)  p( x)  1
(Suma sobre todos los posibles valores
que puede tomar la variable aleatoria).
x
6
Función de probabilidad discreta
Valores
Z
Z
Z
Probabilidad
0
1/4 = 0.25
1
2/4 = 0.50
2
1/4 = 0.25
Z
7
Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el
espacio muestral E como:
E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}
Definamos la variable aleatoria discreta X como:
con S = {2,3,...,12} la suma de puntos.
Una posible función de probabilidad es:
f :   [0,1]
f (2)  P(X  2 )  P( (1,1) )  1/ 36
f (3)  P(X  3 )  P( (1,2)  (2,1) )  2 / 36
f (4)  P(X  4 )  P( (1,3)  (3,1)  (2,2) )  3 / 36
...
8
Función de probabilidad de la variable aleatoria X
6/36
P
5/36
5/36
4/36
4/36
3/36
3/36
2/36
2/36
1/36
2
1/36
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X
Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y está normalizada.
9
Función de distribución
Dada una variable aleatoria discreta X se llama
función de distribución a la función F definida
como:
F :  [0,1]
x  F ( x)  P( X  x)
En nuestro ejemplo de los dos dados:
F(5) = P(X  5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)
F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36
10
Función de distribución de la variable aleatoria X
F
1,0
0,5
0,028
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
x
11
Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de
distribución F(x) de una variable discreta definida como:
X = Número en la cara de un dado.
X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada
uno con probabilidad 1/6
1
6
1
F(x)
f(x)
0.5
0
1
6
x
Función de probabilidad f(x)
0 1
6
x
Función de distribución F(x)
12
Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la
probabilidad P(a <X  b) de que X asuma algún valor en un
intervalo. Observa que:
P(a < X  b) = F(b) - F(a)
Los sucesos X  a y a< X  b son mutuamente
excluyentes. Entonces:
F(b) = P(X  b) = P(X  a) + P(a < X  b)
= F(a) + P(a < X  b)
En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de que
los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8.
P(3 < X  8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36
13
Algunas propiedades de la función de distribución
F ( )  lim F ( x)  lim P( X  x)  P( E )  1
x  
x  
F ( )  lim F ( x)  lim P( X  x)  P()  0
x  
x  
P( x1  X  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 )
F es monótona creciente.
F es continua por la derecha: la probabilidad de
que la variable aleatoria discreta X tome un valor
concreto es igual al salto de la función de distribución
en ese punto.
14
Esperanza matemática o media
de un distribución discreta
  E X    xi P( X  xi )   xi p( xi )
i
i
X
P(X)
X P(X)
-1
0
1
2
3
.1
.2
.4
.2
.1
-.1
.0
.4
.4
.3
1.0
15
Calcular la esperanza de la variable aleatoria X
en el ejemplo de los dos dados:
12
  E ( X )   P(i)  i 
i 2
1
2
6
1
 2   3  ...   7  ...  12  7
36
36
36
36
16
Varianza y desviación estándar o típica de una
distribución discreta
Varianza
  Var( X )  M 2  E (( X   ) ) 
2
2
(x  )
i
2
P( X  xi )
i
Desviación estándar o típica
  Var(X )
Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación
típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos.
17
Ejemplo
X
P(X)
X 
-1
0
1
2
3
.1
.2
.4
.2
.1
-2
-1
0
1
2
( X   ) ( X   )  P( X )
2
4
1
0
1
4
2
.4
.2
.0
.2
.4
1.2
 2   ( xi   ) 2 P( xi )  1,2
i
  Var( X )  1.10
18
Calcula la varianza y desviación típica de la
variable aleatoria X en el ejemplo de los dos
dados:
12
Var ( X )   P(i)  (i  7) 2 
i 2
1
2
1
2
2
 (2  7)   (3  7)  ...   (12  7) 2  5,83
36
36
36
  Var( X )  5,83  2,41
19
Algunas propiedades de la varianza
Var ( X )     ( xi   ) p( xi ) 
2
2
i
 (x
i
2
   2xi ) p( xi ) 
2
i
x
2
i
p( xi )    2  xi p( xi ) 
2
i
i
E ( X )    2  E ( X )  ( E ( X ))
2
2
2
2
2
  E( X )  ( E( X ))
2
2
2
20
Distribución de Bernoulli
Experimento de Bernoulli: solo son
posibles dos resultados: éxito o fracaso.
Podemos definir una variable aleatoria
discreta X tal que:
éxito  1
fracaso  0
Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso q = 1 - p,
podemos construir una función de probabilidad:
x 1 x
P( X  x)  p q
x  0,1
Evidentemente:
1
 P( X  x)  P( X  0)  P( X  1)  p  q  1
x 0
21
Ejercicio: Calcular la esperanza y la varianza de la
distribución de Bernoulli.
1
E[ X ]     x P( X  x) 
x 0
0  P( X  0)  1 P( X  1)  p
1
Var ( X )  E[ X ]  ( E[ X ])   x P( X  x)  p
2
2
2
x 0
 0  P( X  0)  1  P( X  1)  p 
2
2
2
p  p  p(1  p)  pq
2
22
2
Distribución Binomial de
Probabilidad
23
Definición

La distribución binomial de probabilidad es
una distribución discreta de probabilidad que
tiene muchas aplicaciones. Se relaciona con
una experimento de etapas múltiples que
llamamos binomial.
24
Experimento Binomial (Propiedades)




El experimento consiste en una sucesión de n
intentos o ensayos idénticos.
En cada intento o ensayo son posibles dos
resultados. A uno lo llamaremos éxito y al otro
fracaso.
La probabilidad de un éxito, se representa por p y
no cambia de un intento o ensayo. Por lo tanto la
probabilidad de un fracaso se representa por (1-p),
que tampoco cambia de un intento a otro.
Los intentos o ensayos son independientes.
25
DIAGRAMA DE UN EXPERIMENTO
BINOMIAL CON OCHO INTENTOS
Propiedad 1: El experimento consiste en n=8 intentos idénticos de lanzar una
moneda.
Propiedad 2: Cada intento da como resultado un éxito (S) o un fracaso (F).
Intentos
Resultados
1
S
2
3
4
5
F
F
S
S
6
F
7
S
8
S
26
Distribución binomial
La distribución binomial aparece cuando estamos interesados
en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n
intentos independientes de un experimento.
P. ej.: número de caras en n lanzamientos
de una moneda.
Si A tiene probabilidad p (probabilidad de éxito) en un intento,
entonces q = 1-p es la probabilidad de que A no ocurra
(probabilidad de fracaso).
En nuestro ejemplo de la moneda, p = 0.5 es la
probabilidad de que salga cara y q = 1-p =1 - 0.5 = 0.5
es la probabilidad de que no salga cara.
27
Supongamos que el experimento consta de n intentos y
definamos la variable aleatoria:
X = Número de veces que ocurre A.
En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara.
Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n.
Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en
x de los n intentos ocurre A y en n-x no. Entonces la probabilidad
de cada posible ordenación es pxqn-x y existen  x  idénticas
k 
 
ordenaciones.
28
La distribución de probabilidad P(X = k) será:
 n x
n!
n x
B(n, p)  p( x)    p (1  p) 
p x (1  p) n x
x!(n  x)!
 x
Distribución binomial para n = 5 y
distintos valores de p, B(5, p)
29
Ejercicio:
Supongamos que la probabilidad de encontrar una estrella
de masa m* >10 M en un cúmulo estelar joven es del 4%.
¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra escogida al
azar, entre 10 miembros del cúmulo encontremos 3 estrellas
con m* >10 M?
n x
p(x)   p ( 1  p)n  x
 x
p  0.04;
n  10; x  3
10
3
10 - 3
p( 3 )    ( 0.04 ) ( 1-0.04 )  0.043 0.967  0.006
3
30
Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seises al
lanzar un dado cuatro veces.
 n  k nk
P(k )    p q
k 
(k  0,1,....n)
p = 1/6, q = 5/6, n = 4
Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4.
P(2) + P(3) + P (4)
 4  1 
   
 2  6 
2
 5   4  1 
     
 6   3  6 
2
3
 5   4  1 
     
 6   4  6 
4
1
171
 4 (6  25  4  5  1) 
 0.132
6
1296
31
Características de la distribución binomial
Media
= E(X) = n p
= 5 · 0.1 = 0.5
P(X)
.6
.4
.2
0
= 5 · 0.5 = 0.25
  np(1  p)
  5  0.1 (1  0.1)  0.67
  5  0.5  (1  0.5)  1.1
X
0
Desviación estándar
n = 5 p = 0.1
P(X)
.6
.4
.2
0
1
2
3
4
5
n = 5 p = 0.5
X
0
1
2
3
4
5
32
Distribución de Poisson
Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n)
es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña y np (la
media de la distribución binomial) es finito y tiende a  entonces
la distribución binomial converge a la distribución de Poisson:

e 
p( x) 
, x  0,1,2,...   0
x!
k
Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”.
33
Características de la distribución de Poisson
Media
  E (X )  
Desviación estándar
 
.6
.4
.2
0
X
0

Nota: el máximo de la distribución
se encuentra en x  
= 0.5
P(X)
1
2
3
4
5
= 6
P(X)
.6
.4
.2
0
X
0
2
4
6
8
10
34
La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de
una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’
(n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un
único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).
 n p = 
Distribución de Poisson para varios valores de .
35
Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es
p = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100
televisores contenga más de 2 televisores defectuosos?
La distribución binomial nos daría el resultado exacto:
100
99
98
2
100
100
100

 99 

 99   1  
 99   1 
c



P( A )  
  
 
  
 

 0  100
 1  100  100  2  100  100
 0.9206
 n  x n x
p( x)    p q
 x
( x  0,1,....n)
El suceso complementario Ac: No más de 2 televisores
defectuosos puede aproximarse con una distribución de
Poisson con  = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).
1
P( A )  e (1  1  12 )  0.9197
c
μ x μ
p ( x) 
e
x!
( x  0,1,....)
36
Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos
discretos que son independientes en el espacio y/o en el
tiempo. Por ejemplo la llegada de fotones a un detector.
Si el número de eventos esperados, el número medio de
eventos en un intervalo de extensión h es m. Por
ejemplo el detector nos informa de la llegada en
promedio de 20 fotones fotones cada 5 segundos.
Entonces λ = h/ m, será la tasa de eventos por unidad
de h. En nuestro caso 4 fotones por segundo.
La probabilidad de que ocurran x eventos en el intervalo
h vendrá dada por la distribución de Poisson. En nuestro
ejemplo la probabilidad de que lleguen x fotones en 5
segundos.
37
La señal promedio recibida en un telescopio de una fuente
celeste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad
de recibir 7 fotones en un segundo dado.
Una distribución de Poisson
con μ = 10.
P(7) = 107 e−10 / 7! = 0.09, es decir
μ x μ
p ( x) 
e
x!
( x  0,1,....)
9%
Parece muy baja. Comparemos con el valor de máxima
probabilidad que ocurrirá para x = 10:
μ = 10
P(10)=1010 x e−10 / 10! = 0.125, es decir 12.5%
Las probabilidades poissonianas para un número de eventos
dado, son siempre pequeñas, incluso en el máximo de la
distribución de probabilidad.
38
Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, ¿cuál
es la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o más
coches?
Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos
intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad
de que un coche entre en uno de esos intervalos es p – que para
un intervalo pequeño será también pequeño – podemos
aproximar la distribución a una Poisson con  = np = 2.
El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene
probabilidad:
2 20
0!
P( A )  p(0)  p(1)  p(2)  p(3)  e (  
c
y la respuesta es 1 – 0.857 = 0.143
22
2!
 )  0.857
μ x μ
p ( x) 
e
x!
( x  0,1,....)
21
1!
23
3!
39