Transcript Diapositiva 1

UNIDAD 3
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
SON DISTRIBUCIONES TEORICAS
Y SE USAN PARA REPRESENTAR
POBLACIONES
En la Unidad anterior, vimos como definir una probabilidad
y comenzamos nuestro análisis de la probabilidad para
representar situaciones en las que los resultados son
inciertos.- En esta Unidad nos basamos en esas ideas
para presentar modelos de probabilidad que ponen énfasis
en las variables aleatorias.- Los modelos de probabilidad
tienen muchas aplicaciones en algunos problemas
empresariales, y aquí analizamos algunas de ellas.Supongamos que tenemos un negocio que alquila toda
una variedad de equipos.- Sabemos por experiencia –
frecuencia relativa- que el 30 por ciento de las personas
que entran en nuestro negocio quiere alquilar un equipo de
camping.- Hoy tenemos tres equipos de camping.- Cinco
personas que no guardan ninguna relacion entre si entran
en el negocio (la probabilidad de que una de ellas alquile
un equipo de camping es independiente de la de las
demás).-
¿Cuál es la probabilidad de que estas cinco personas
quieran alquilar un total de cuatro o cinco equipos de
camping?.- Si ocurre eso, perderemos oportunidad de
alquilar equipos de camping y los clientes se Irán
decepcionados.La probabilidad de los eventos
(números de equipos de camping deseados), como
veremos
más adelante puede calcularse
esta
probabilidad utilizando el modelo de probabilidad
binomial..
QUE VEREMOS
EN ESTA
UNIDAD
PRIMERO QUE ES
UNA “VARIABLE
ALEATORIA”
ADEMAS
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
BINOMIAL
BINOMIAL
ACUMULADA
DISTRIBUCIONES CONTINUAS
UNIFORME
EXPONENCIAL
HIPERGEOMETRICA
NORMAL
DE POISSON
APROXIMACION A
BINOMIAL Y
POISSON
DETERMINACION
DEL VALOR X
NORMAL
ESTANDARIZADA
VARIABLE ALEATORIA
Es la variable que asume un valor
numérico único para cada uno de
los resultados de un experimento
aleatorio.-
Es importante distinguir entre una variable aleatoria y
los valores posibles que puede tomar
La simbolizamos con letra mayúscula y los valores que
toma, con minúscula.Por ejemplo X, (x1, x2…….xn))
Cuando la variable aleatoria no es un número, debemos fijar un
criterio o regla para darle un valor numérico.Por ejemplo, si el experimento consiste en observar el nivel de
instrucción de la población, podemos dar los valores siguientes:
1.- Nivel primario
2.- Nivel secundario
3.- Nivel terciario
4.- Nivel Universitario
5.- Otros estudios
0.- Sin estudios.-
Esos números son los valores posible que toma la variable aleatoria
en estudio.
DISCRETAS
LAS VARIABLES
ALEATORIAS,
PUEDEN SER
CONTINUAS
Una variable aleatoria discreta es
aquella que puede asumir una cantidad
numerables de valores.EJEMPLOS:
1.- Infracciones diarias cometidas por los vehículos.2.- Nº de inasistencia de los obreros de la empresa.3.- Cantidad de hijos de familias de un barrio.4.- Cantidad de alumnos de una escuela.5.- El número de errores detectados en las cuentas de un comercio.6.- Número de clientes que llegan a la caja de un banco.7.- Número de reclamaciones en una póliza de seguro médico.8.- Número de artículos defectuosos en un gran envío.9.- Números de autos vendidos por una agencia en el mes.10.- Etc.-
Una variable aleatoria continua es
aquella que puede asumir una cantidad
innumerable de valores dentro de
ciertos límites.EJEMPLOS:
1.- Peso de las personas.2.- Velocidad de un auto.3.- Horas de demora en cumplir una tarea.4.- Puntajes de un test.5.- Sueldo de los empleados.6.- Variación de precio de las acciones ordinarias de IBM en un
mes.7.- Cantidad de petróleo importado en un mes.8.- Etc.-
EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE
1.- Musimundo vende entre 0 y 6 computadoras al día.¿Es la venta diaria de computadoras una variable
aleatoria discreta o continua?.2.- Un proceso de producción fabril produce un pequeño
número de piezas defectuosas diariamente.- ¿es el
número de piezas defectuosas una variable aleatoria
discreta o continua?.3.- Indique en cada uno de los siguientes casos, cual es la
mejor definición: una variable aleatoria discreta o
continua.a) El número de automóviles que llegan diariamente a un
taller de reparaciones en el que trabajan dos personas.-
b) El número de automóviles producidos por la General
Motor anualmente.c) Las ventas diarias totales de un comercio de ropa con
tarjetas en pesos.d) El número de pasajeros que se quedan sin plaza en
una compañía aérea específica tres días antes de las
Fiestas Navideña.4.- Un actor hace 100 representaciones al año.- ¿es su
programa de trabajo una variable aleatoria discreta?.5.- Ponga cinco ejemplos de variables
aleatorias
discretas que
podría observarse en una nueva
consultora.-
6.- Defina tres variables aleatorias continuas que debería
examinar
periódicamente
un
vicepresidente
de
marketing.7.- Una encuesta electoral entrevista a 2000 personas
seleccionadas aleatoriamente.- ¿Debe analizarse el
número de personas que apoyan al candidato A utilizando
modelo de probabilidad discreta o continua?.-
8.- Un vendedor entra diariamente en contacto con 20
personas y les pide que compren.- ¿Debe analizarse el
número de compras diarias utilizando un modelo de
probabilidad discreta o continua?.9.- Usted debe analizar el número de cuentas vencidas en
un determinado momento de un gran comercio de
artículos de deporte.- ¿Usara un modelo de probabilidad
continuo o discreto?.-
10.- El experimento consiste en tirar una moneda dos
veces:
a) Haga una lista de los resultados experimentales.b) Defina una variable aleatoria que represente la cantidad
de caras que pueden representarse en los dos
lanzamientos.-
c) Indique que valores tomaría la variable en cada uno de
los resultados experimentales.d) Esta variable aleatoria ¿es discreta o continua?.-
11.- Un experimento consiste en el ensamble de un
producto por un trabajador y se registra el tiempo que
tarda en hacer esto.-
a) Defina una variable aleatoria que represente el tiempo
en minutos requeridos para ensamblar el producto.b) ¿Qué valores puede asumir la variable aleatoria?.c) ¿Esa variable aleatoria es discreta o continua?.12.- Tres alumnos tienen entrevistas programadas para
empleo durante las vacaciones en un Instituto de
Investigaciones.- En cada caso, el resultado de la
entrevista será que le ofrezcan o no le ofrezcan un
empleo.- Los resultados experimentales se definen en
función de los resultados de las tres entrevistas.a) Haga una lista de los resultados experimentales.b) Defina una variable aleatoria que represente la
cantidad de ofertas hechas.- ¿es una variable aleatoria
continua o discreta?.-
c) Indique el valor de la variable aleatoria para cada uno
de los resultados experimentales?.13.- Suponga que conoce las tasas hipotecarias para 12
instituciones crediticias de Córdoba y que la variable
aleatoria de interés es el número de instituciones
crediticias de este grupo que ofrecen una tasa fija a 30
años de 8,5 % o menos.- ¿Qué valores puede asumir
esta variable aleatoria?.14.- Para efectuar cierto tipo de análisis de sangre, los
técnicos
de
laboratorio
deben
seguir
dos
procedimientos.- El primero requiere 1 o 2 pasos
separados y el segundo puede requerir 1, 2, o 3 pasos.a) Haga una lista de los resultados experimentales
asociados con la ejecución de un análisis.-
b) Si la variable aleatoria de interés es el número
total de pasos requeridos para terminar el
análisis (ambos procedimientos), indique que
valor asumirá la variable aleatoria en cada uno
de los resultados experimentales.-
15.- La tabla siguiente es una lista de
experimentos y variables aleatorias asociadas.En cada caso, identifique los valores que
puede asumir la variable aleatoria y diga si esa
variable es discreta o continua?.-
Experimentos
a) Hacer un examen con 20
preguntas
b) Observar los autos que
llegan a un peaje durante
una hora
Variable aleatoria x
Número de preguntas bien
contestadas
Número de autos que llegan
al peaje
c) Auditar la devolución de
50 impuestos
d) Observar el trabajo de un
empleado
Número de devoluciones
con errores
Número de horas no
productivas en una jornada
de ocho horas
Número de kilos
e) Pesar un embarque de
productos
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD PARA
VARIABLES
ALEATORIAS DISCRETAS
Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta
es una lista mutuamente excluyente de todos los posibles resultados
numéricos de un experimento aleatorio con las probabilidades
asociadas de cada resultado.Esta
representación puede ser algebraica, gráfica o tabular.Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que x es uno
de sus posibles valores.- La probabilidad de que la variable aleatoria
X tome el valor x se representa como P (X =x).Para las variables aleatorias discretas, un procedimiento sencillo
consiste en confeccionar una lista con la probabilidad de cada uno
de los posibles resultados.Definición:
La función de probabilidad P (X = x), de una variable aleatoria
discreta X representa la probabilidad de que X tome el valor x, como
función de x:
p (xi) = P (X = x)
todos los posibles valores de x.-
donde la función se evalúa en
Cuando la variable aleatoria es discreta esta función de probabilidad
también se la conoce como función de cuantía.-
Veamos un ejemplo:
Supongamos que una empresa que se dedica a las
ventas de autos, durante los últimos 300 días de ventas,
las ventas muestran que en 54 días no se vendieron
autos, en 117 se vendió 1 auto, en 72 días se vendieron 2
autos, en 42 se vendieron 3 autos, en 12 días se
vendieron 4 autos y en 3 días se vendieron 5
automóviles.Supongamos además, que el experimento consiste en
seleccionar un día de operaciones de ventas y definimos
la variable aleatoria de interés como X = número de
automóviles vendidos en un día.Si presentamos la distribución de probabilidad de esta
variable aleatoria será:
X
fi
P (X = x)
0
54
0,18
1
117
0,39
2
72
0,24
3
42
0,14
4
12
0,04
5
3
0,01
300
1,000
Una ventaja importante de definir
una
variable
aleatoria
y
su
distribución de probabilidad es que
una vez conocida esa distribución es
fácil determinar la probabilidad de
varios eventos que pueden interesar
a quien toma decisiones.Por ejemplo, si consultamos la tabla
observamos que la cantidad más
probable de autos que se venden en
1 día es del 39 %.-
También observamos que hay una probabilidad del 18 % de que se
vendan 3 o 4 automóviles en un días y así sucesivamente, esta
información es muy útil para quien toma decisiones sobre las
ventas de automóviles.-
Al asignar una función de probabilidad para cualquier variable
discreta, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes:
p (xi) ≥ 0
∑ p (xi) = 1
Si queremos mostrar gráficamente
probabilidad de ventas de autos será:
la
distribución
de
P (x)
0,20
0,10
Ventas de
0
1
2
3
4
5
auto por día.-
La
Función
de
Probabilidad
Acumulada,
que
F (x), de una variable aleatoria X representa la
probabilidad de que X tome un valor inferior a x, es decir:
simbolizamos con
F(x)  P (X  x)   p (x )
i
Xx
Donde la notación indica que la suma es sobre todos los valores
posibles de X que son menores o iguales a x.En nuestro ejemplo, de la empresa que vende automóviles, ¿Cuál es
la probabilidad de vender menos de 2 automóviles?.-
P (X < 2) = P (X ≤ 1) = P (x=0) + P (x=1) =
=
0,18 + 0,39
= 0,57  57%
EJERCICIOS DE APLICACION
1.- La
distribución de probabilidad de la variable
aleatoria X aparece en la siguiente tabla:
X
20
25
30
35
P (X=x)
0.20
0.15
0.25
0.30
a) ¿es correcta esta distribución de probabilidad?.Compruebe.b) ¿Cuál es la probabilidad de que x= 30?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor o igual a
25?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30?.-
2.- Se recabaron los siguientes datos a partir del conteo
de la cantidad de salas de operaciones en uso en el
Hospital Fernandez de Capital Federal durante 20 días,
3 días se uso una sala de operaciones, en 5 días se
usaron dos salas, en 8días se usaron 3 y en 4 días se
usaron las cuatro salas de operaciones del hospital.a) Emplee el enfoque frecuencial para formar la
distribución de probabilidad para la cantidad de salas
de operaciones que se usaron en un día determinado.-
b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.c) Demuestre que su distribución de
satisface las condiciones requeridas.-
probabilidad
3.- Los datos siguientes describen la cantidad de
empleados en cada uno de los cinco niveles ejecutivos
de un gobierno municipal:
Nivel Ejecutivo
Cantidad de empleados
1
15
2
32
3
84
4
300
5
31
Total
462
Suponga que se desea seleccionar una muestra de
empleados para una encuesta acerca de las condiciones
de trabajo.- Sea X una variable aleatoria que indica el
nivel ejecutivo de un empleado elegido al azar.-
a) Con los datos anteriores forme la distribución de
probabilidad de la variable aleatoria X.- Especifique los
valores de la variable aleatoria y los valores
correspondientes a la función de probabilidad.b) Trace la gráfica de la distribución de probabilidad.c) Demuestre que la distribución de probabilidad cumple
las condiciones básicas.4.- En la tabla siguiente se muestra las distribuciones
porcentuales de frecuencias para calificaciones de
satisfacción en el empleo, en una muestra de altos
ejecutivos y mandos medios de
sistemas de
información.- Las calificaciones van de 1, muy
insatisfechos a 5 muy satisfechos.-
Calificación de
satisfacción en el
trabajo
Alto ejecutivo
%
Mandos Medios
%
1
5
4
2
9
10
3
3
12
4
42
46
5
41
28
Total
100
100
a) Defina una distribución de probabilidad para la
calificación de satisfacción en el empleo para un alto
ejecutivo.b) Defina una distribución de probabilidad para esa
calificación en el caso de mando medio.-
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alto ejecutivo
exprese satisfacción en el trabajo con una calificación
de 4 o 5?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que un mando medio este
muy satisfecho?.e) Compare las satisfacciones generales en el trabajo de
los altos ejecutivos y de los mandos medios.5.- Un técnico da servicio a máquinas de
correspondencia en cierta ciudad.- Dependiendo de la
avería, el servidor puede durar 1, 2, 3,o 4 horas.- Las
distintas averías se presentan más o menos con la
misma frecuencia:
a) Defina una distribución de probabilidad de duración
del servicio.b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.c) Demuestre que su distribución de probabilidad
cumple con las condiciones que requiere toda función
de probabilidad discreta.d) ¿Cuál es la probabilidad de que una avería dure 3
horas?.e) Se acaba de recibir una solicitud de servicio, pero no
se conoce el tipo de avería.- Son las 15 horas.- Por lo
general, los técnicos de servicios salen a las 17 horas.¿Cuál es la probabilidad de que el técnico de servicio
deba trabajar horas extras para arreglar la máquina
hoy?.-
6.- El director de admisiones de una escuela evaluó
subjetivamente una distribución de probabilidad de X,
la cantidad de alumnos de nuevo ingreso, que se
muestran en la siguiente tabla:
X
P (X = x)
1000
0.15
1100
0.20
1200
0.30
1300
0.25
Total
0.10
a) ¿es valida esta distribución de probabilidad?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 1200 alumnos de
nuevo ingreso o menos?.-
ESPERANZA Y VARIANCIA DE VARIABLES
ALEATORIAS DISCRETAS.El valor esperado o media de una variable aleatoria es una medida
de la tendencia central de esa variable.- La ecuación matemática
del valor esperado de una variable aleatoria discreta x es:
E (x) = µ = ∑
X
fi
0
54
0,18
1
117
0,39
0,39
2
72
0,24
0,48
3
42
0,14
0,42
4
12
0,04
0,16
5
3
0,01
0,05
1,000
1,50
300
P (X = x) x * p (x)
0
xi * p (xi)
Es un promedio ponderado de
todos los resultados posibles,
donde las ponderaciones, son las
probabilidades asociadas con
cada uno de los resultados.E (X) = µ = 1,5 automóviles
La empresa puede esperar, a la
larga, la venta de un promedio
de 1,5 automóviles por día.-
Si suponemos que la operación durante un mes equivale a 30 días,
podemos usar el valor esperado de 1,50 para anticipar que las
ventas mensuales promedio son 30 * 1,5 = 45 automóviles.La variancia, nos dará una idea de variación de los valores de la
variable aleatoria respecto a su valor esperado o media.- La
ecuación matemática de la variancia será:
σ² = ∑ (xi - µ)² * p (xi)
Recordemos que la variancia nos da un valor en unidades de
medida de la variable al cuadrado y por ello es muy difícil explicar,
por lo tanto calculamos una nueva medida que llamamos como
sabemos Desviación Estándar.- Esta será:
σ =
Variancia
La desviación estándar se mide en las mismas unidades de
medidas que la variable aleatoria en estudio
Como calcular la variancia por la fórmula de definición suele ser un
poco engorroso, hay una formula abreviada muy útil, que será la
que usaremos:
σ² = ∑ x² p (xi) - µ²
En nuestro ejemplo, de la empresa de ventas de automóviles el
calculo de la variancia y desvío estándar será:
X
fi
P (X = x)
0
54
0,18
1
117
0,39
0,39
2
72
0,24
0,96
3
42
0,14
1,26
4
12
0,04
0,64
5
3
0,01
0,25
1,000
3,50
300
x² p (xi)
0
σ² = 3,50 - 1,5² =
= 3,50 - 2,25 =
= 1,25 auto²
σ = 1,25 = 1.118 autos
EJEMPLO para que analicen los alumnos.Una empresa considera dos inversiones posibles.- Como
aproximación inicial asigna probabilidades subjetivas a cada uno de
los siguientes eventos: perder un 20% por cada dólar invertido,
perder un 10% , ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un 20%.Sea X el rendimiento por cada dólar invertido en el primer proyecto e
Y el rendimiento por cada dólar invertido en el segundo proyecto.-
Las probabilidades asignadas son:
X
-0,20
-0,10
0,0
+0,10
+0,20
p (x)
0,10
0,20
0,40
0,20
0,10
Y
-0,20
-0,10
0,0
+0,10
+0,20
p (y)
0,01
0,04
0,10
0,50
0,35
Calcule los rendimientos esperados por cada dólar invertido en cada
proyecto.- Cuales son los valores de dispersión.- ¿Cuál proyecto le
parece a usted que representa la mejor inversión?.-
El proyecto X, de acuerdo con cualquier estándar razonable,
parece menos atractivo.- Resulta igualmente posible perder un
20% que ganarlo, o ganar un 10% que perderlo.- El proyecto Y
ofrece mayores posibilidades de ganar un 10 o un 20% y
relativamente pocas de perder.- Los cálculos serán:
X
p (x)
x * P (x)
x² * p (x)
-0,20
0,10
- 0,02
0,004
-0,10
0,20
- 0,02
0,002
0,00
0,40
0,00
0,000
+0,10
0,20
0.02
0,002
+0,20
0,10
0,02
0,004
0,00
0,012
E (X) = 0,0
σ² =0,012
σ = 0,11
Para el proyecto Y, será:
Y
p (y)
y * P (y)
y² * p (y)
- 0,20
0,01
- 0,002
0,0004
- 0,10
0,04
- 0,004
0.0004
0,00
0,10
0,0
+ 0,10
0,50
0,050
0,005
+ 0,20
0,35
0,070
0,014
0,114
0,0198
E (X) = 0,114
σ² =
0,0068
0,0
σ = 0,082
CONCLUSIONES del problema:
El rendimiento esperado de X es
como hemos
anticipado menor que el rendimiento esperado de Y.Observando las desviaciones estándar, la distribución de
X tiene una mayor variabilidad.- El grueso de la
distribución de Y se concentra en los valores 0,10 y
0,20, mientras que las probabilidades de X están de
alguna manera dispersas entre todos los valores
posibles.Con frecuencia se toma a la variancia del rendimiento
como una medida del riesgo, siendo este mayor cuanto
mayor es la variancia.En este ejemplo, la inversión Y tiene un rendimiento más
alto y un riego menor.-
EJERCICIO PARA HACER EN CLASE
1.- Un concesionario de automóviles calcula la
proporción de automóviles nuevos vendidos que se han
devuelto varias veces para que se corrijan los defectos
durante el periodo de garantía.- La tabla adjunta muestra
los resultados:
Numero de
devoluciones
0
1
2
3
4
Proporción
0,28
0,36
0,23
0,09
0,04
a) Trace la función de probabilidad.b) Halle la media del numero de devoluciones de un automóvil para
que se corrijan los defectos durante el periodo de garantía.c) Halle la variancia y desvío del numero de devoluciones de un
automóvil para que se corrijan los defectos durante el periodo de
garantía,.
2.- Una empresa produce paquetes de clips.- El numero
de clips por paquetes varia, como indica la tabla
adjunta:
Números de
clips
Proporción de
paquetes
47
48
49
50
51
52
53
0,04
0,13
0,21
0,29
0,20
0,10
0,03
a) Trace la función de probabilidad.b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado
aleatoriamente contenga entre 49 y 51 clips, inclusive.c) Se selecciona aleatoriamente dos paquetes, ¿Cuál es la
probabilidad de que al menos uno de ellos contenga como mínimo
50 clips?.d) Hallar la media, la variancia y la desviación estándar del numero
de clips por paquete.-
3.- Una empresa esta especializada en la instalación y el
mantenimiento de calefacciones centrales.- Antes de que empiece el
invierno, las llamadas al servicio de mantenimiento pueden dar como
resultado el pedido de una caldera.- La tabla adjunta muestra las
probabilidades estimadas del numero de pedidos de calderas nuevas
generados de esta forma en las dos ultimas semanas de septiembre:
Números de pedidos
Probabilidad
0
1
2
3
4
5
0,10
0,14
0,26
0,28
0,15
0,07
a) Trace la función de probabilidad.b) Halle la probabilidad de que se hagan al menos tres pedidos en
este periodo.c) Halle la media del numero de pedidos de una nueva caldera en este
periodo de dos semanas.d) Halle la desviación estándar del numero de pedidos de una nueva
caldera en este periodo de dos semanas.-
4.- La tabla siguiente muestra la distribución de la
cantidad de créditos aprobados por semana en la
oficina de una sucursal bancaria local.Hipotecas
aprobadas por
semana
Probabilidad
0
1
2
3
4
5
6
0,10
0,10
0,20
0,30
0,15
0,10
0,05
a) Diga y explique si la tabla es colectivamente
exhaustiva.b) Trace la función de probabilidad.c) Calcule y explique la esperanza matemática y
explique.d) Calcule y explique la desviación estándar.-
5.- La distribución de probabilidad por daños pagadas por San
Cristóbal SA en seguros contra choques se muestra a
continuación:
Pagos (dólares)
Probabilidad
0
0.90
400
0.04
1000
0.03
2000
0.01
4000
0.01
6000
0.01
a) Emplee el pago esperado por choque para determinar la prima de
seguro contra dueños que permitiría a la empresa salir sin
pérdidas.b) La aseguradora cobra una tarifa anual de 200 dólares por cubrir
choque.- ¿Cuál es el valor esperado del seguro contra choques
para un asegurado?.- (sugerencia: es igual a los pagos esperados
de la compañía, menos los costos).- ¿Por qué el asegurado
compra una póliza contra choques con este valor esperado?.-
6.- La demanda de un producto por parte de Industrias Serrano
SRL, varía mucho de mes a mes.- La distribución de probabilidad
de la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos años
indica la demanda mensual del producto:
Demanda de unidades
Probabilidad
300
0.20
400
0.30
500
0.35
600
0.15
a) Si la empresa basa sus pedidos mensuales en el valor esperado
de la demanda mensual, ¿Cuál debe ser la cantidad de pedidos
de Serrano para este producto?.b) Suponga que cada unidad demandada genere ingresos de 70
dólares y que cada unidad pedida cuesta 50 dólares.-¿Cuánto
debe ganar o perder la empresa en un mes si coloca un pedido
basado en su respuesta al inciso a) y la demanda real del artículo
es de 300 unidades?.-
7.- Según una encuesta del diario Ámbito Financiero, 95% de los
suscriptores tienen una computadora en casa.- Para esos hogares,
se dan las distribuciones de probabilidad para computadora portátil
y de escritorio.Número de
computadoras
Probabilidad
Portátil
Escritorio
0
0.47
0.06
1
0.45
0.56
2
0.06
0.28
3
0.02
0.10
a) ¿Cuál es el valor esperado de la cantidad de computadora por
familia para cada tipo?.b) ¿Cuál es la variancia de la cantidad de computadora por familia
para cada tipo?.-
c) Realice algunas comparaciones entre el número de computadoras
portátiles y el número de computadoras de escritorio que posee los
suscriptores del periódico.-
ALGUNAS
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
DISCRETA
DISTRIBUCION DE
PROBABILIDAD
BIPUNTUAL 0
ENSAYOS DE
BERNOULLI
Antes de introducirnos en la distribución binomial es importante
ver que nos dice esta distribución de probabilidad.Entre las distribuciones de probabilidad discretas, este es el
modelo más simple, se lo llama también “ prueba o ensayos de
Bernoulli” y se refiere a un experimento aleatorio con dos
resultados posible.-
Se trata de una población dicotomizada, es decir de una población
cuyos individuos se pueden subdividir en dos clases según tengan
o no una cierta característica.- Los individuos que tienen la
característica A forman la clase A y los que no la tienen forman la
clase no A, por ejemplo: pieza defectuosa y no defectuosa, compra
o no compra, saca crédito o no lo saca, paciente enfermo o sano,
encendido o apagado, varón o mujer, aprobar no aprobar, etc.Se realiza un experimento aleatorio consistente en elegir al azar, un
individuo de esa población y observar si pertenece o no a la clase
A.- Cada individuo de la población constituye un evento simple del
espacio muestral S.-
La variable aleatoria es del tipo discreto y se define de la siguiente
manera:
1 si el individuo observado es A
X = X (S) =
0 si el individuo observado es no A
Si “p” es la probabilidad de que el individuo observado tenga la
característica A, obtenemos la distribución de probabilidad que
mostramos en la siguiente tabla y que se llama distribución
bipuntual.Evento
Variable Aleatoria
P (X = x) = p (x)
A
1
p
No A
0
1 - p
Cabe señalar que el valor de p se determina según los enfoques que
hemos visto.- Si se trata de la tirada de una moneda nos basamos en
el enfoque clásico y decimos que p = 1/2
½.Por lo general, la probabilidad p estará dada por la proporción de
individuos que tienen la característica A en la población o por las
frecuencias relativas de un número suficientemente grande de
experimento.El modelo matemático o función de probabilidad para la distribución
bipuntual es:
p (xi) = P (X =x) = px
(1 - p)1-x
donde x = 0; 1
Con esta función de probabilidad se obtienen los valores de la tabla
anterior.-
Debemos como toda distribución de probabilidad saber cual es la
media y variancia de ella.-
µ = E (X) =
∑ x px ( 1 - p)1
-x
σ² = ∑ x² p (x) - µ² = p - p² =
Generalmente a (1 – p) = q
σ² = p q
σ =
p q
= p
p ( 1 – p)
DISTRIBUCIÓN
DE
PROBABILIDAD
BINOMIAL.-
La distribución binomial es una función de distribución de
probabilidad discreta con muchas aplicaciones en la vida
diaria.- La distribución binomial tiene cuatro propiedades
esenciales:
1.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos
métodos de muestreo.- Se puede considerar que cada observación se
seleccionó ya sea a partir de una población infinita sin reemplazo o a
partir de una población finita con reemplazo.- Se selecciona n
observaciones.2.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categoría
mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas que por lo
común llamamos Éxitos y Fracasos.3.- La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito,
p, es constante entre una observación y otra.- Entonces la
probabilidad de que una observación sea clasificada como fracaso es
(1-p), es constante en todas las observaciones.4.- El resultado (éxito o fracaso) de cualquier observación es
independiente del resultado de cualquier otra observación.-
Si se cumplen las propiedades 2, 3 y 4, se dice que los intentos se
generan mediante un proceso de Bernoulli y si además se hacen n
intentos o ensayos entonces es un experimento binomial.En un experimento binomial nos interesa el número de éxitos
que suceden en los n intentos.Si hacemos que x represente el número de éxitos en los n intentos,
vemos que x puede asumir los valores 0,1,2,3………n.- Como la
cantidad de valores es finita, x es una variable aleatoria discreta.Veamos un ejemplo:
Supongamos que un vendedor de seguro visita a 10 familias
seleccionadas al azar.- El resultado asociado con cada visita se
clasifica como un éxito si la familia compra una póliza de seguro, y
como un fracaso si la familia no lo hace.- De acuerdo con su
experiencia, el vendedor sabe que la probabilidad de que una familia
seleccionada al azar compre una póliza de seguro es de 0,10.- Al
comprobar si se satisfacen las propiedades de un experimento
binomial vemos que:
1.- El experimento consiste en 10 intentos idénticos y cada
experimento implica llegar a una familia.2.- En cada intento son posible dos resultados: la familia compra
una póliza (éxito) o la familia no la compra (fracaso).3.-Se supone que las probabilidades de una compra y de una no
compra son iguales para cada llamada de ventas, siendo,
p = 0,10
1- p = 0,90
4.- Los intentos son independientes porque las familias se
seleccionan aleatoriamente.En vista de que se cumplen las cuatro propiedades, este es un
experimento binomial.- La variable aleatoria de interés X es la
cantidad de ventas obtenidas al visitar a 10 familias.- En este caso
podemos asumir que X, xi
puede asumir los valores
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.-
Para calcular estas probabilidades debemos buscar la
función de probabilidad de este experimento.-
El número de resultados experimentales que dan exactamente x
éxitos en n intentos se puede calcular como, las combinaciones de:
n
n !
= -----------------------
x
x ! (n – x) !
Pero cada experimento es un esquema de Bernoulli donde sabemos
que el modelo de probabilidad es:
P (X =x) = px (1 -p)1
- x
Como aquí realizamos n ensayos o intentos, el modelo de será:
Función de probabilidad binomial:
n
px
P (X = x) =
(1 – p) n -
x
x
En nuestro ejemplo, supongamos que nos preguntemos ¿Cuál
es la probabilidad de que se den exactamente 4 ventas?.- Esto
será, calcular:
10 !
P ( X = 4) = ----------------------
0,104
0,906 =
4 ! ( 10 – 4) !
=
210 * 0,0001 *
0,5314 = 0,0112  1 %
Uso de la función de distribución o acumulación
en la distribución binomial.Sabemos que ella me representa:
F(x)  P (X  x)   p (x)
Xx
Supongamos que deseamos calcular la probabilidad de que ¿se de
menos de 2 ventas?.- Será:
P (X < 2) = P (X ≤ 1) = P (0) + P (1) = 0,3487 + 0,3874 = 0,7361
 74 %
¿Cuál es la probabilidad que se de 3 o más ventas?
P ( X ≥3) = 1 - P (X ≤ 2) = 1 -
P (0) + P (1) + P ( 2) =
= 0,3487 + 0,3874 + 0,1937 = 0,9298  93 %
Dentro de las características de la distribución
de probabilidad binomial es importante para el
calculo de una probabilidad, conocer:
1.- SU
FUNCION DE
PROBABILIDAD
2.- SUS
FORMAS
3.- SU MEDIA
SU VARIANCIA
SU DESVIACION
ESTANDAR
2.- FORMAS.SI P = 0,50
LA DISTRIBUCION SERA
SIMETRICA
SI P > 0,50 LA DISTRIBUCION SERA
ASIMETRICA A IZQUIERDA
SI P < 0,50 LA DISTRIBUCION SERA
ASIMETRICA A DERECHA
MEDIA Y VARIANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL
La media µ de la binomial es igual al tamaño de la muestra n
multiplicada por la probabilidad del éxito.-
µ = E (x) = n * P
La variancia, será igual al producto del tamaño de la muestra por la
probabilidad de éxito y la de fracaso.σ² = n * P * (1 - P)
El desvío estándar estará dado por la raíz cuadrada de la variancia.-
σ =
n * P * (1 – P)
Para pensar en clase
CUANDO SE NOS PLANTEA UN
PROBLEMA DE VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA, ES
IMPORTANTE ANALIZAR SI EL
PROBLEMA SE ADECUA A UNA
DISTRIBUCION BINOMIAL O NO
VEAMOS DOS EJEMPLO:
1.- Suponga que hay 1000000 de adultos en
cierta ciudad y una proporción desconocida p
está a favor de que se parquice cierta zona de
la ciudad.- Se elige una muestra aleatoria de
1000 adultos, de tal manera que cada uno de
los integrantes del millón de adultos tengan la
misma probabilidad de ser seleccionados y se
le pregunta a cada adulto si esta a favor de la
parquización o no.- (si bien el objetivo final va
ser la estimación de la proporción P
desconocida, y esto lo veremos en la Unidad
de estimación).- ¿es este un experimento
binomial?.-
Solución
¿Veamos si el experimento cumple las características de un
experimento binomial?.1.- Un ensayo es la elección de un solo adulto del millón de adultos
en la ciudad.- Esta muestra consta de
n= 1000 ensayos
idénticos.2.- Puesto que cada adulto estará a favor de la parquización o no,
hay dos resultados posibles que representa a los éxitos o
fracasos en el experimento binomial.3.- La probabilidad de éxito, p, es la de que un adulto esté a favor de
la parquización, ¿esta probabilidad es la misma para cada adulto
de la muestra?.- Para fines prácticos, la respuesta es sí.- Por
ejemplo, si 500000 adultos de la población está a favor de la
parquización, entonces la probabilidad de un éxito cuando se
elige al primer adulto es 500000 / 1000000 = 1/2.- Cuando se elige
al segundo adulto, la probabilidad p cambia un poco,
dependiendo de la primera elección.- Es decir, habrá 499999 o
500000 éxitos dejados entre los 999999 adultos.- En cualquier
caso p es aún casi igual a 1/2.-
4.- La independencia de los ensayos está garantizada
debido al gran grupo de adultos del que se elige la
muestra.- La probabilidad de que un adulto esté a favor
de la parquización no cambia en función de las
respuesta de las personas elegidas con anterioridad.5.- La variable aleatoria X es el número de adultos de la
muestra que están a favor de la parquización.-
DEBIDO A QUE EL ESTUDIO SATISFACE
LAS CARACTERÍSTICA, PARA PROPOSITOS
PRACTICOS SE CONSIDERA UN
EXPERIMENTO BINOMIAL.-
2.- Un comprador que ha recibido un embarque
que contiene 20 computadoras personales
desea muestrear tres para ver si están
funcionando bien antes de aceptar el
embarque.- Para probar elige las tres
computadoras más cercanas y, después, se
decide si son defectuosas o no.- El comprador
no sabe que dos de las 20 computadoras del
envió están defectuosas.- ¿Es este un
experimento binomial?.-
Solución
De nuevo, compruebe que el procedimiento de muestreo
satisfaga las características de un experimento
binomial.1.- Un ensayo es la selección y prueba de una PC del
total de 20.- Este experimento consta de n = 3 ensayos
idénticos.2.- Cada ensayo produce uno de dos resultados, ya sea
que una PC esté defectuosa (éxito) o no defectuosa
(fracaso).3.- Suponga que las PC fueron colocadas al azar en el
vagón, de tal modo que cualquiera de las 20
computadoras pudo ser colocada cerca de la puerta
del vagón.- Entonces la probabilidad de sacar una
computadora defectuosa en un ensayo dado sería
2/20.-
4.- La condición de independencia entre ensayos no se
satisface porque la probabilidad de sacar una PC
defectuosa en el segundo ensayo y tercer ensayo
depende del resultado del primer ensayo.- Por ejemplo,
si en el primer ensayo se obtiene una PC defectuosa,
entonces queda una computadora defectuosa entre las
19 restante del envío.- Por lo tanto:
P (defectuosa en el ensayo 2/ defectuosa en el 1°) =
= 1/19
Si en el primer ensayo no se obtiene una computadora
defectuosa, entonces aún hay dos computadoras
defectuosas en el envió y la probabilidad de un éxito
(una PC defectuosa) cambia a :
P (defectuosa en el ensayo 2/ no defectuosa en el
ensayo 2) = 2/19
Por lo tanto los ensayos son dependientes y el muestreo
no representa un experimento binomial.Por lo tanto los ensayos son
dependientes y el muestreo no
representa un experimento
binomial.-
Piense en la diferencia
entre estos dos
ejemplos.Cuando la muestra (los n ensayos idénticos) provienen
de una población grande; la probabilidad de éxitos p
es casi la misma de un ensayo a otro.Cuando el tamaño de la población N es pequeño, la
probabilidad de éxito tiene un cambio drástico de un
ensayo a otro, y el experimento no es binomial.Si el tamaño de la muestra es grande con respecto al
tamaño de la población, en particular, si n/N ≥ 0,05,
entonces el experimento resultante no es binomial.-
VEAMOS EL USO DE
LA TABLA DE LA
DISTRIBUCION BINOMIAL
MEDIANTE UN EJERCICIO:
EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE
1.- Suponga que Susana Torres, la agente de seguro
contacta cinco personas y cree que la probabilidad de
vender un seguro a cada una es de 0,40.- Utilizando la
función de probabilidad, calcule manualmente:
a) Halle la probabilidad de que venda como máximo un
seguro.b) Halle la probabilidad de que venda entre dos y cuatro
seguros (inclusive).c) Halle la probabilidad de que venda más de dos
seguros.-
d) Halle la probabilidad de que venda exactamente tres
seguros.e) Represente gráficamente la función de probabilidad.-
VEAMOS UN EJEMPLO,
USANDO EL PROGRAMA
MINITAB
Se probo un tratamiento de una dosis diaria de
vitamina C para determinar su efectividad en la
prevención del resfriado común.- Se observó a
10 personas que siguieron el tratamiento
prescrito durante un año.- Ocho personas
pasaron el invierno sin un resfriado.- Suponga
que la probabilidad de pasar el invierno sin un
resfriado es 0,50 cuando no se sigue el
tratamiento de vitamina C.- ¿Cuál es la
probabilidad de observar ocho o más personas
que pasan el invierno sin un resfriado, puesto
que el régimen es ineficaz para incrementar la
resistencia a los resfriados?.Solución
Función de densidad de
probabilidad
Función de distribución
acumulada
Binomial con n = 10 y p = 0,5
Binomial con n = 10 y p = 0,5
x P( X = x )
0 0,000977
1 0,009766
2 0,043945
3 0,117188
4 0,205078
5 0,246094
6 0,205078
7 0,117188
8 0,043945
9 0,009766
10 0,000977
x P( X <= x )
0
0,00098
1
0,01074
2
0,05469
3
0,17187
4
0,37695
5
0,62305
6
0,82813
7
0,94531
8
0,98926
9
0,99902
10 1,00000
Para calcular la probabilidad buscada podemos usar
cualquiera de las dos tabla calculadas en Minitab de la
placa anterior:
1.- Si usamos la función de densidad de la Binomial,
será:
P (X ≥ 8) = P(8) + P(9) + P(10) =
= 0,43945 + 0.09766 + 0.00977 = 0.05469
2.- Si usamos la función de distribución acumulada de la
Binomial, será:
P (X ≥ 8) = 1 - P (X ≤ 7) =
= 1 - 0,94531 = 0,05469
EJERCICIOS
1.- Las preferencias de color para automóviles cambian al
paso de los años y según el modelo que elige el
cliente.- En el último año, 10% de los automóviles de
lujo vendidos eran negros.- Si se elige al azar 20
automóviles de ese año y tipo, encuentre las
probabilidades siguientes:
a) Por lo menos cinco automóviles son negros.b) A lo sumo seis automóviles son negros.-
c) Más de cuatro automóviles son negros.d) Exactamente cuatro automóviles negros.e) Entre tres y cinco automóviles (inclusive) son negros.f) Diez o más automóviles negros.-
2.- A principios de agosto, una universidad descubre que
puede admitir a algunos estudiantes más.- La admisión
de esos estudiantes aumentaría significativamente los
ingresos sin incrementar los costos de explotación de
la universidad, es decir, no habría que abrir nuevas
clases.- La universidad sabe por experiencia que el 40
por ciento de los estudiantes admitidos se matricula
realmente:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se matriculen como
máximo 6 estudiantes si la universidad admite a 10
estudiantes mas?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que se matriculen mas de
12 estudiantes si admite a 20?.c) Si se matricula el 70 por ciento de los estudiantes
admitidos, ¿Cuál es la probabilidad de que se
matriculen al menos 4 de 10 estudiantes admitidos?.-
3.- Un director de producción sabe que el 5 por
ciento de los componentes producidos en un
determinado proceso de producción tiene
algún defecto.- Se examinan seis de estos
componentes cuyas características puede
suponerse que son independientes entre si:
a)¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de
estos componentes tengo un defecto?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos
componentes tenga un defecto?.-
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos
de estos componentes tengan un defecto?.-
4.- Un político cree que el 25 por ciento de todos los
macroeconomistas que ocupan altos cargos apoyaran
firmemente una propuesta que desea presentar.Suponga que esta creencia es correcta y que se
seleccionan cinco macroeconomistas aleatoriamente:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los
cinco apoyen firmemente la propuestas?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría de los
cinco apoyen la propuesta?.5.- Supongamos que el 30 % de los estudiantes de una universidad
se oponen a pagar una cuota para actividades estudiantiles. Hallar
la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 20 estudiantes,
el número de estudiantes que se oponen a la cuota es:
a) Exactamente 5
b) Mayor que 5
c) 5 o menos
d) Entre 6 y 10, inclusive
6.- En la Universidad Nacional de La Rioja, se determino
que el 20 % de inscriptos en una carrera son del
interior de la provincia. Se seleccionó al azar 8
alumnos. Cuál es la probabilidad de que:
a) Más de 6 sean del interior
b) Exactamente 5
c) Menos de 8
d) Entre 2 y 5 inclusive
7.- La probabilidad de que un vendedor venda una
suscripción a una revista a alguien que ha sido
seleccionado aleatoriamente del directorio telefónico
es de 0,20.- Si el vendedor le habla a 10 individuos esta
tarde, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) ¿No se venda ninguna suscripción?
b) ¿Se vendan exactamente dos suscripciones?.c) ¿Se vendan al menos dos suscripciones?.d) ¿Se vendan a lo más dos suscripciones?.-
8.- Edenor proporciona tarifas más bajas a los clientes
que prefieran las horas de menos consumo.- El 30%
de sus clientes aprovechan estos ahorros.- El
Departamento de Servicio a clientes han elegido a 10
clientes al azar para que participen en un grupo de
interés para discutir a que horas se produce el mayor
consumo de energía.- Al Departamento de supervisión
le preocupa que el grupo contenga una gran
proporción de usuarios que prefieran la tarifa baja:
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de tres
usuarios de tarifa baja en el grupo de interés?.b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 4 usuarios
de tarifa baja en el grupo de interés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de ocho
clientes normales en el grupo de interés?.d) ¿Cuál es la media y la desviación estándar para los
usuarios de tarifa baja en el grupo de interés?.-
9.- El City Bank de cierta ciudad grande, recientemente
inicio un nuevo programa de créditos.- Los clientes
que cumplen con ciertos requisitos de crédito pueden
obtener una tarjeta de crédito que es aceptada por los
comerciantes del área.- Los requisitos anteriores
indican que 25% de todos los solicitantes de este tipo
de tarjeta son rechazados.- Dado que la aceptación o
rechazo de una solicitud es un proceso de Bernoulli,
de 20 solicitantes.- ¿Cual es la probabilidad de que:
a) Exactamente 4 sean rechazadas.b) Exactamente 8 sean rechazadas.c) Sean rechazadas menos de tres.d) Sean rechazadas más de cinco.-
10.- Un 10% de los empleados de producción en
la Empresa Maidana están ausentes del trabajo
en un determinado día de verano.- Supóngase
que se seleccionan al azar 10 trabajadores de
producción para un estudio riguroso del
ausentismo.a) ¿Cuál es la variable aleatoria?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de
los 10 trabajadores estén ausentes.c) ¿Cuál es la probabilidad que 2 o mas
trabajador este ausente?.d) ¿Cuál es la probabilidad que 3 o menos
trabajadores este ausente.e) Calcule la media, variancia y desvío estándar
de la distribución.-
11.- Cuando un cliente hace un pedido a la papelería El Coloso SRL,
un sistema contable computarizado, verifica automáticamente si
el cliente ha excedido o no su límite de crédito.- Los registros
señalan que la probabilidad de que los clientes exceden su límite
de crédito es de 0,05.- Suponga que durante un día determinado,
20 clientes hicieron un pedido.- Suponga también que el número
de clientes que según el sistema computarizado excedieron su
límite de crédito esta distribuido como variable aleatoria
binomial.a) ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de
clientes que excedieron su límite de crédito?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente exceda su límite
de crédito?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo un cliente exceda su límite
de crédito?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más clientes excedan su
límite de crédito?.-
12.- El ocho por ciento de los empleados de
cierta
planta automotriz recibe su sueldo
bimestral por medio de transferencias de
fondos electrónicos.- Este mecanismo recibe
también el nombre de depósito
directo.Suponga que selecciona una muestra aleatoria
de siete empleados.a)¿Esta situación cumple las condiciones de la
distribución binomial?.b) ¿Cuál es la probabilidad que a los siete
empleados se les haga un depósito directo?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente a
cuatro se les haga depósito directo?.d) ¿Cuál es la probabilidad que dos o menos se
les haga el deposito directo?.-
13.- La rapidez con la que las compañías de servicios
resuelven los problemas es de suma importancia,
Telecom afirma que es capaz de resolver el 48% de los
problemas de los clientes el mismo día en que se
reportan.- Suponga que los 10 casos que se reportaron
el día de hoy son representativos de todas las quejas.a) ¿Cuántos problemas esperaría que se resolvieran el
día de hoy?.- ¿Cuál es la desviación estándar?.b) ¿Cuál es la probabilidad que hoy resuelvan
exactamente 8 problemas?.c) De que hoy resuelvan 4 o 5 problemas.d) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy resuelvan 3 o
menos problemas?.e) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy resuelvan dos o
más problemas?.-
14.- Una compañía de cereales fue demandada por un
grupo ambientalista que se oponen al uso de
empaques no biodegradables.- El juicio será con
jurado y el asesor legal de la empresa cree que el éxito
de su defensa dependerá en gran medida del número
de accionistas de la compañía entre los 9 jurados.Estos se eligen en forma aleatoria de una localidad en
donde se sabe que el 20% de los adultos posee
acciones.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el jurado incluya
cuando menos a tres personas que poseen acciones?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuanto menos cinco
de los integrantes del jurado posean acciones?.-
15.- Usted es el Contador de la Empresa Aceitera
“Don Juan”.- Se ha descompuesto una
máquina de la empresa y le solicitan que
compre la pieza rota a un proveedor de Buenos
Aires.- Esta pieza que es enviada en lotes de
10, sufre de una tasa de defecto del 40 por
ciento.a)Si usted no desea correr un riesgo mayor del
10 por ciento en la probabilidad de que cinco
sean defectuosas.- ¿Debería comprarle a este
Proveedor?.b) Si usted no desea correr un riesgo mayor del
20 por ciento en la probabilidad de que más de
cinco
salgan
defectuosas.¿Debería
comprarle a este Proveedor?.-
16.- En una encuesta social realizada a miles de
estudiantes con edades de 16 a 22 años de edad, sobre
sus finanzas personales.- En la encuesta se encontró
que el 33% de los estudiantes tienen su propia tarjeta
de crédito.a) En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la
probabilidad de que dos tengan su propia tarjeta de
crédito?.b) En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la
probabilidad de que por lo menos dos tengan su
propia tarjeta de crédito?.c) En una muestra de diez estdiantes, ¿Cuál es la
probabilidad de que ninguno tenga su propia tarjeta de
crédito?.d) En una muestra de diez estudiantes, ¿Cuál es la
probabilidad que más de tres estudiantes tengan su
propia tarjeta de crédito?.-
17.- El 40% de las personas que viajan por negocios
llevan un teléfono celular o una computadora portátil. En una muestra aleatoria de 20 personas;
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tres tengan un teléfono
celular o una computadora portátil?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que doce de los viajeros
no tengan ni un teléfono celular ni una computadora
portátil?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres
tengan un teléfono celular o una computadora
portátil?.18.- Una universidad se enteró de que 20% de sus
alumnos se dan de baja después de cursar Análisis
Matemático.- Suponga que este cuatrimestre
se
inscribieron 20 alumnos a ese curso.-
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o menos se den de
baja?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja
exactamente cuatro?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja más de
tres?.d) ¿Cuál es la cantidad esperada de deserciones?.19.- El 48% de las industrias manufactureras del país de
tamaño mediano, planearon visitas de representantes
de su administraciones a Brasil y Venezuela para
aprovechar ciertas condiciones y oportunidades que
daba el Tratado de Comercialización del Mercosur.- Un
grupo exportador e importador de Brasil invitó a 20
manufactureras de Argentina medianas a participar en
una conferencia con el fin investigar las oportunidades
de negocios.-
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 12 o más de estas
empresas manden representantes?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de estas empresas
manden representantes?.c) ¿Cuántas de estas empresas espera el lector que
manden representantes?.d) ¿Cuáles son los valores de la variancia y del disvío
estándar de la cantidad de empresas que mandan
representantes?.-
20.- El 5% de los camioneros de EEUU son mujeres.Suponga que se seleccionan al azar a 10 camioneros
para una encuesta sobre sus verdaderas condiciones
de trabajo.a) Es un experimento binomial la selección de 10
camioneros?.- Explique su respuesta.-
b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los camioneros
sean mujeres?.c) ¿Cuál es la probabilidad que ninguno de los
camioneros sean mujer?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea una
mujer?.-
VEAMOS LA DISTRIBUCION BINOMIAL MEDIANTE UN
PAQUETE ESTADISTICO COMO MINITAB, ETC.-
LA DISTRIBUCION
DE
PROBABILIDAD DE
POISSON.-
La distribución de Poisson fue propuesta por primera vez
por Simón Poisson (1781- 1840) en un libro publicado
en 1837.- El numero de aplicaciones comenzó a
aumentar a principios del siglo XX y la aparición del
computador ha permitido aumentarlas en el siglo XXI.La distribución de Poisson es una importante
distribución de probabilidad discreta para algunas
aplicaciones, entre las que se encuentra las siguientes;
•
El numero de fallas de un sistema informático en un
día dado.-
•
El numero de pedidos de sustitución de una pieza
recibidas por una empresa en un mes dado,.
•
La cantidad de personas en la cola de un
Supermercado para pagar su compra durante un
intervalo de tiempo determinado.-
•
El numero de barcos que llegan a una Terminal de
carga durante un periodo de seis horas.-
•
El numero de camiones de reparto que llegan a un
almacén central en un hora.-
•
El numero de llamadas que recibe un conmutador
durante cierto tiempo.-
•
El numero de clientes que llegan a tomar un vuelo
cada 15 minutos entre las 3 y las 6 de la tarde durante
dos días de la semana.-
•
El número de bacterias en un volumen pequeño de
líquido.-
•
El número de averías de una máquina un día dado.-
•
El número de accidentes de tránsito en una calle
determinada.-
Podemos utilizar la distribución de Poisson para
hallar las probabilidades de cada una de las
variables aleatorias de los ejemplos que
hemos planteado; que se caracterizan por ser
el numero de ocurrencia o de éxitos de un
evento en un intervalo continuo dado como, el
tiempo, superficie, longitud o volumen, durante
el que se puede esperar que ocurra un
promedio λ de tales eventos.-
LA DISTRIBUCION DE
POISSON SE BASA EN
CIERTOS SUPUESTOS,
QUE DEBEMOS TENER
EN CUENTA:
Supongamos que un intervalo esta dividido en un gran numero de
subintervalos de manera que la probabilidad de que ocurra un
evento de cualquier subintervalo es muy pequeña.
1.- La probabilidad de
que ocurra un evento
es constante en todos
los subintervalos
2.- No puede haber
mas de una
ocurrencia en
cada subintervalo
3.- Las ocurrencias son
independientes es decir, las ocurrencias
en intervalos que
no se solapan
son independientes
entre si.-
Podemos formular directamente la ecuación para calcular
probabilidades de Poisson a partir de la distribución
binomial tomando los limites matemáticos cuando p →
0y n →
∞.- Con estos limites, el parámetro λ = n . p
es una constante que especifica el numero medio de
ocurrencia (éxitos)
en un determinado tiempo y/o
espacio.Se dice que la variable aleatoria X sigue la
distribución de Probabilidad de Poisson,
entonces
La probabilidad de que este evento ocurra x veces es,
x
-λ
λ
e
P ( X = x) = ----------------------X!
Para valores de x = 0, 1, 2, 3……………..
La Media,
Variancia y
la
Desviación
E (X) = μ = λ
σ² = E [ (X - μ)² ] = λ
Estándar
son:
σ² =
λ
El símbolo e = 2,71828 se puede calcular con una calculadora
científica, que debe tener una función como e x .Para cada valor de x se puede obtener las probabilidades
individuales de la variable aleatoria de Poisson, de la misma manera
que en que procedió para la variable aleatoria binomial.De manera alternativa se puede usar la Tabla de la Distribución de
Poisson del Compendio de Tablas Estadística, para valores de (x; Λ).Recordemos que como en todas las distribuciones se puede aplicar
la Distribución acumulada, donde:
P (X ≤ x) = ∑ P (X = x) para x = 0, 1, 2, ………………
En algunas situaciones nos conviene usar el complemento.- Es
decir,
P (X ≥ x) = 1 - P (X ≤ x)
Para tener en claro una distribución de probabilidad es importante
conocer la forma de la distribución.-
La forma de la distribución de Poisson es asimétrica a
derecha, dependiendo del valor de λ.- A medida que λ se
hace más grande la distribución tiende a ser simétrica.-
λ = 0,5
λ=6
Ejemplo 1.- El promedio de accidentes de tránsito que ocurren en un
tramo de ruta es de dos por semana.- Suponga que el número de
accidente sigue una distribución de Poisson con λ = 2.a) Obtenga la probabilidad de que ningún accidente ocurra en este
tramo de ruta durante un semana.b) Encuentre la probabilidad de que a lo más ocurran tres
accidentes en este tramo de ruta durante dos semanas.0
2
-2
e
Solución
-2
a) P (X = 0) = ------------------- = e
= 0,135335
0!
b)
λ= 2 * 2 =4
P ( X ≤ 3) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) =
= 0,018316 + 0,073263 + 0,146525 + 0,195367 =
= 0,433471  43 %
EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE
1.- Andrés Sosa, director de un centro
informático, informa de que su sistema
informático ha experimentado tres fallos de
componentes en los 100 últimos días.a)¿Cuál es la probabilidad de que no haya
ningún fallo en un día dado?.b) ¿ Cuál es la probabilidad de que haya uno o
mas fallos de componentes en un día dado?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos
dos fallos en un periodo de tres días?.-
2.- Los clientes llegan a una fotocopiadora a una
tasa media de dos cada cinco minutos.Suponga
que
estas
llegadas
son
independientes, que la llegada es constante y
que este sigue un modelo de Poisson, donde X
representa el numero de clientes que llegan en
un periodo de cinco minutos y la media λ = 2a)Halle la probabilidad de que lleguen mas de dos
clientes en un periodo de cinco minutos.b) Halle la probabilidad de que lleguen tres o
menos clientes en un periodo de cinco
minutos.c) Halle la probabilidad de que no llegue ningún
cliente en un periodo de cinco minutos.
3.- En cierta zona urbana, los funcionarios de la salud
proveen que el numero de nacimientos este año será
igual al del año anterior, cuando nacieron 438 niños, un
promedio de 438/365 = 1,2 nacimientos por día.- Los
nacimientos diarios han resultado distribuidos según
una distribución de Poisson:
a) ¿Cuál es la media de la distribución?.b) Para cualquier día especifico, ¿Cuál es la probabilidad
de que no nazcan niños?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día especifico
nazcan 7 o menos niños.-
d) ¿Cuál es la probabilidad de que no hay mas de un
nacimiento en un día especifico?.-
Distribución de
Poisson como forma
limitante de la
binomial.-
Aunque la distribución de Poisson por lo general
encuentra aplicaciones en problemas de espacio y
tiempo como se vio en los ejemplos anteriores, se
puede ver como una forma limitante de la distribución
binomial.En el caso de la binomial, si n es bastante grande y p es
pequeña, las condiciones comienzan a simular las
implicaciones de espacio continuo o región temporal del
proceso de Poisson.- La independencia entre las
pruebas de Bernoulli en el caso Binomial es consistente
con la propiedad 2 del proceso de Poisson.- Si se hace
al parámetro p cercano a cero se relaciona con la
propiedad 3.En realidad, derivaremos ahora la
distribución de Poisson como forma limitante de la
distribución binomial cuando n →∞ , p → 0 y n p
permanece constante.-
De aquí, si n es grande y p cercano a 0, se puede usar la distribución
de Poisson con μ = λ = n p para aproximar probabilidades
binomiales.- Si p es cercano a 1, aún podemos utilizar la distribución
de Poisson para aproximar probabilidades binomiales, mediante el
intercambio de los que definimos como éxito y fracaso, cambiamos
con ello p a un valor cercano a 0.b ( x; n; p) → p ( x; λ )
Ejemplo 1.- En un proceso de fabricación donde se
manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o
burbujas, lo que deja ocasionalmente a la pieza indeseable
para su venta.- Se sabe que, en promedio uno de cada
1000 de estos artículos que se producen tiene una o más
burbujas.- ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra
aleatoria de 8000 tenga menos de siete artículos con
burbujas?.Solución.-
Este es en esencia un experimento binomial con n =
8000 y
p = 0,001 .- Como p es muy cercano a cero y n es
bastante grande, haremos la aproximación con la
distribución de Poisson utilizando,
μ = λ = n p = 8000 * 0,001 = 8
De aquí, si X representa
tenemos:
P ( X < 7) = P (X ≤ 6) =
∑
el número de burbujas,
p (x; 8,0) = 0,3134
31%
Ejemplo 2.- Suponga que una compañía de seguro de
vida asegura a 5000 hombres de 42 años de edad.- Si los
estudios actuariales muestran que la probabilidad de que
un hombre de 42 años muera en un cierto año es de
0,001, calcule la probabilidad exacta de que la compañía
pague x = 4 demandas durante un año dado.Solución
La probabilidad exacta esta dada por la distribución
binomial ya que el problema cumple sus características.Como su calculo binomial puede ser engorroso, se utiliza
la aproximación a Poisson para su calculo.-
λ = n p = 5000 0,001 = 5
P (X = 4; Λ = 5,0) = 0,175  18%
EJERCICIO PARA HACER EN CLASE
Un analista económico ha predicho que el 3,5 por ciento
de todas las pequeñas empresas quebrara el próximo
año.- Suponiendo que la producción del analista es
correcta, en una muestra aleatoria de 100 empresas,
a) Estime la probabilidad de que el próximo año quiebre al
menos tres pequeñas empresas.b) Estime la probabilidad de que el próximo año quiebre
menos de cuatro pequeñas empresas.c) Estime la probabilidad de que el próximo año no
quiebre ninguna pequeña empresa.d) Estime la probabilidad de que el próximo año quiebren
tres o menos pequeñas empresas.-
VEAMOS UN EJEMPLO,
USANDO EL PROGRAMA
MINITAB
Un fabricante de podadoras de césped compra con un
proveedor motores de dos tiempos y un caballo de
fuerza en lotes de 1000.- A cada podadora producida en
la planta se le coloca un motor.- En los registros se
observa que la probabilidad de que cualquier motor del
proveedor resulte insatisfactorio es 0,001.- En un
embarque de 1000 motores, ¿Cuál es la probabilidad de
que ninguno resulte defectuoso?, ¿tres?, ¿cuatro?.Cual es la probabilidad de que 3 o más sean
defectuosas?.Solución
n = 1000
y
p = 0,001
El número esperado de
artículos defectuosos en un embarque de 1000 será:
λ = μ = n * p = 1000 * 0,001 = 1
Este es un problema binomial que lo resolvemos por
Poisson:
Función de densidad de
probabilidad
Función de distribución
acumulada
Poisson con media = 1
Poisson con media = 1
x P( X = x )
0 0,367879
1 0,367879
2 0,183940
3 0,061313
4 0,015328
5 0,003066
6 0,000511
7 0,000073
8 0,000009
9 0,000001
10 0,000000
x P( X <= x )
0
0,36788
1
0,73576
2
0,91970
3
0,98101
4
0,99634
5
0,99941
6
0,99992
7
0,99999
8
1,00000
9
1,00000
10 1,00000
P (X = 0) = 0.367879
P (X = 3) = 0.061313
P (X = 4) = 0,015328
P (X ≥ 3) = 1 - P (X ≤ 2) =
= 1 -
0,91970 = 0.0803 → 8 %
EJERCICIOS
VARIADOS
1.- Los clientes llegan a una caja registradora ocupada a
una tasa media de tres por minuto.- Si la llegada sigue
una distribución de Poisson, halle la probabilidad de que
en un minuto dado lleguen dos clientes o menos.2.- El numero de accidentes que se producen en una
fabrica tiene una distribución de Poisson con una
media de 2,6 .a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de dos
accidente en un mes dado?.-
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya mas de tres
accidente en un mes dado?.-
3.- Un profesor recibe por termino medio 4,2 llamadas
telefónicas de los estudiantes el día antes del examen
final.Si las llamadas siguen una distribución de
Poisson, ¿Cuál es la probabilidad de que reciba al menos
tres llamadas ese día?.4.- Los datos indican que en la hora pico de la mañana
se producen por termino medio 3,2 colisiones al día en
una vía urbana.- Suponga que la distribución de
Poisson:
a) Halle la probabilidad de que en un día dado se
produzca menos de dos colisiones en esta vía durante
la hora pico de la mañana.b) Halle la probabilidad de que en un día dado se
produzcan mas de cuatro colisiones en esta vía
durante la hora pico de la mañana.-
5.- Hacienda ha informado de que el 5,5 por ciento de
todos los contribuyentes comete errores al rellenar los
impresos de declaraciones de impuestos a las rentas.- Si
se eligen aleatoriamente 100 declaraciones , ¿Cuál es la
probabilidad de que menos de 3 contengan errores?.6.- Una empresa tiene 250 computadores personales.- La
probabilidad de que uno cualquiera de ellos necesite una
reparación en una semana dada es de 0,01.Halle la probabilidad de que menos
de 4 de los
computadores personales necesiten una reparación en
una semana dada.7.- Una compañía de seguro tiene 6000 pólizas de seguro
contra las estafas con otras tantas empresas.- En un año
dado, la probabilidad de que una póliza genere una
reclamación es de 0,001.- Halle la probabilidad de que se
presenten al menos tres reclamaciones en un año dado.-
8.- .- Un departamento de reparación de maquinaria recibe
un promedio de cinco solicitudes de servicio por hora.¿Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente
tres solicitudes en una hora seleccionada al azar?
¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres
llamadas en una hora elegida al azar?
9.- En promedio, cada hora cinco personas realizan
transacciones en el mostrador de servicios especiales
de un banco.- Suponiendo que la llegada de esas
personas tiene una distribución
independiente e
igualmente probable en todo el período de interés,
¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas
deseen realizar transacciones en el mostrador de
servicios especiales en una hora específica?
10.- Se certifica la calidad de los discos para
computadora pasándolos por un certificador
que cuenta el número de pulsos faltantes.- Una
determinada
marca
de
discos
para
computadoras tiene en promedio 0,10 pulsos
faltantes por discos.- Calcular la probabilidad
de que:
a) Al siguiente disco que se inspecciona no le
falte pulsos.b) Al siguiente disco que se inspecciona le falte
más de un pulso.c) A ninguno de los dos discos inspeccionados
le falte pulso.-
11.- Considere que los empleados de facturación
rara vez cometen errores en la captura de datos
de facturas.- Desde luego, muchas de estas no
tienen errores, algunas tienen uno, unas
cuentas tienen dos, y rara vez una factura
tendrá tres errores y así sucesivamente.- Una
muestra aleatoria de 1000 facturas reveló 300
errores.a) ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar
errores en una factura seleccionada al azar?.b) ¿Cuál es la probabilidad que haya menos de
dos errores en una factura seleccionada al
azar?.
12.- La señora García esta encargada de los
prestamos de un banco.- Con base en sus
años
de
experiencia,
estima
que
la
probabilidad de que un solicitante no sea
capaz de pagar oportunamente su préstamo es
de 0,025.- El mes pasado realizó 40
prestamos.a) ¿Cuál es la probabilidad que 3 prestamos no
se paguen a oportunamente?.b) ¿Cuál es la probabilidad que al menos 3
prestamos no se paguen oportunamente?.-
13.- Los sábados a la mañana, los clientes entran
a un centro comercial suburbano a una tasa
esperada de 0,50 por minutos.Sea X el número de clientes que entran en un
intervalo específico de 10 minutos.- Encuentre
las siguientes probabilidades:
a)Exactamente tres clientes.b) Tres o menos clientes.c) Cuatro o más clientes.d) Entre 4 y 10 clientes, inclusive.-
14.- Supongamos que examinamos el número de
clientes que llegan durante la hora del
almuerzo a un banco localizado en el distrito
comercial central de una gran ciudad.Cualquier llegada de un cliente es un evento
discreto
en un punto particular sobre el
intervalo continuo de una hora.- Si en
promedio 0,05 clientes llegan por segundo.Cual es la probabilidad de que en un minuto
dado lleguen:
a) Exactamente dos clientes.b) Más de dos clientes.c) 4 o menos clientes.-
15.- Se estima que 0,5 por ciento de las llamadas
a la casa de gobierno reciben la señal de
ocupado.- ¿Cuál es la probabilidad de que las
1200 llamadas telefónicas del día de hoy:
a) Al menos 5 hayan recibido la señal de
ocupado.b)Tres o más hayan recibido la señal de
ocupado.c) 4 o menos hayan recibido la señal de
ocupado.-
16.- A un conmutador de la oficina principal de la
compañía llegan llamadas a un promedio de
dos por minutos y se sabe que tiene una
distribución de Poisson.- Si el operador esta
distraído por un minuto.- ¿Cuál es la
probabilidad de que el número de llamadas no
respondidas sea:
a)Ninguna.b) Por lo menos una.c) Entre tres y cinco inclusive.d) ¿Cuál es la probabilidad, si el operador se
distrae por cuatro minutos?, en los incisos
anteriores.-
17.- La compañía Citizen se enorgullece de
cumplir con sus fechas de entrega.- Luís
Rocca, el presidente, presume que de cada 100
pedidos 98 se entregan a tiempo.Durante un período de una semana se
procesaron 80 ordenes.- Suponiendo que lo
que dice Rocca es cierto, averigüé las
siguientes probabilidades:
a)De que dos ordenes no se entreguen a tiempo
b) De que menos de tres ordenes no se
entreguen a tiempo.c) De que seis ordenes o más no se entreguen a
tiempo.-
18.- Al departamento de reservaciones de Aerolíneas
Argentina llegan en promedio 48 llamadas por hora.a) Calcule la probabilidad de recibir tres llamadas en un
intervalo de cinco minutos.b) Calcule la probabilidad de recibir exactamente 10
llamadas en 15 minutos.c) Suponga que actualmente no hay llamadas
esperando.- Si el agente tarda cinco minutos en
atender una llamada, ¿Cuántas llamadas cree que
estarán esperando cuando cuelgue el teléfono?.-¿Cuál
es la probabilidad de que ninguna este esperando?.d) Si actualmente no hay llamadas pendientes, ¿Cuál es
la probabilidad de que el agente pueda ausentarse tres
minutos sin interferir con la atención a las llamadas?.-
19.- El promedio anual de las veces que los suscriptores
de cierta revista económica toman vuelos locales por
motivos personales es 4.a)¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tome dos
vuelos locales en un año por motivos personales?.b) ¿Cuál es la cantidad promedio de vuelos locales por
motivos personales en un trimestre?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tome
uno o más vuelos locales por motivos personales
durante un semestre?.20.- Las actividades de inversión de los suscriptores del
diario Wall Street, muestran que la cantidad promedio
anual
de
transacciones
de
acciones
es
aproximadamente 15.- Suponga que determinado
inversionista hace sus transacciones
con esta
frecuencia.-
Además,
suponga que la probabilidad de una
transacción para este inversionista, es igual para dos
meses cualquiera y que las transacciones en un mes
es independientes de las que hace en cualquier otro
mes.a) ¿Cuál es la cantidad promedio de transacciones por
mes?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya transacciones
de acciones durante un mes?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente una
transacción durante un mes?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de una
transacción durante un mes?.Veamos distribución de Poisson
mediante programas estadístico
Minitab.-