Transcript Estadística y Probabilidad I

Principales distribuciones
discretas 2011 - 0
Distribución Binomial

Un experimento Binomial consiste de una serie de n
pruebas o ensayos fijados antes de realizar el
experimento.
• Las pruebas son idénticas y cada una de ellas puede
resultar en uno de dos posibles resultados: E y F.
• Las pruebas son independientes entre si, por lo que
el resultado de un intento en particular no influye en
el resultado de cualquier otro.
• La probabilidad de éxito es constante de una prueba
a otra y se denota por π.
Distribución Binomial


La variable aleatoria se define como el número de
éxitos obtenidos en los n intentos.
La distribución de probabilidad para X es:
f  x  =Pr  X  x   C  1   
n
x


x
n x
; x  0,1, 2,
Se dice que X tiene distribución Binomial con
parámetros n y π, y se denota por X ~ B( n, π ).
Esperado
Varianza
EX  n
V X   n 1  
,n
Distribución Binomial
Ejemplo: Cuando una máquina está funcionando
normalmente, el 10% de las piezas producidas resultan
defectuosas. Suponga que se selecciona al azar tres piezas
producidas en la máquina y que estamos interesados en
el número de piezas defectuosas encontradas:
• Defina la variable aleatoria y describa en qué
condiciones esta situación corresponde a una
distribución binomial.
• Calcule la probabilidad de encontrar menos de dos
piezas defectuosas.
• Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación
estándar de la variable aleatoria.
Distribución Binomial
Ejemplo: Un cierto sistema mecánico contiene 10
componentes. Suponga que la probabilidad de que
cualquier componente individual falle es de 0,07 y que los
componentes fallan independientes unos de otros.
• ¿Cuál es la probabilidad de que fallen exactamente 2
componentes?
• ¿Cuál es la probabilidad de que falle al menos uno de
los componentes?
• Hallar el valor esperado y varianza de la variable
aleatoria.
Distribución Hipergeométrica



Consideremos una población de N elementos, de los
cuales A tienen la característica de interés y, por lo tanto,
N – A no la tienen.
Un experimento hipergeométrico consiste en extraer al
azar y sin reemplazo una muestra de n elementos a partir
de la población mencionada.
La variable aleatoria hipergeométrica se define como el
número de elementos en la muestra que tienen la
característica de interés.
Distribución Hipergeométrica

La función de probabilidad es:
CxACnNxA
f  x   Pr  X  x 
CnN
x  max  0, n   N  A ,


,min  A, n
Se escribe X  H(N, A, n,)
Esperado
Varianza
 A
E X   n 
N
A  N  n 
 A 
V  X   n  1  

N
N
N

1
 


Distribución Hipergeométrica
Ejemplo: Se tienen lotes de 40 componentes. El proceso
de inspección consiste en elegir al azar cinco de sus
componentes y rechazar el lote si se encuentra al menos
un componente defectuoso. Si en un lote que se
inspecciona hay tres componentes defectuosos:
• ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre
exactamente un componente defectuoso en la muestra?
• ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el lote?
• Calcule el valor esperado, varianza y desviación estándar
de la variable aleatoria.
Siméon Poisson (Francia 1781-1840)
La vida es buena solamente
por dos cosas, descubrir
matemáticas y enseñar
matemáticas
Distribución Poisson


Se usa en situaciones en las que el experimento da
lugar a valores numéricos discretos de una variable
aleatoria que ocurre durante un intervalo de tiempo o
unidad de evaluación (área, volumen, etc.)
La variable aleatoria X se define como el número de
eventos independientes que ocurren en un intervalo
de tiempo o unidad de evaluación.
1 minuto
1 minuto
1 minuto
Distribución Poisson

La función de probabilidad es:
e   x
f  x   Pr  X  x  
x!



;
x  0,1, 2,
 es el número esperado de eventos por unidad
de evaluación.
Se escribe: X  P()
Esperado
Varianza
E[ X ] = 
V[ X ] = 
Distribución Poisson
Ejemplo: La única cajera de una agencia bancaria sabe
por experiencia que entre las cinco y las seis de la tarde
(hora en que cierra el banco) llegan a su agencia en
forma aleatoria un promedio 2 personas por minuto
según un proceso de Poisson. La cajera está obligada a
atender a todas las personas que llegan hasta las seis de
la tarde. Tres minutos antes de las seis de la tarde no
hay nadie en la cola y en ese momento ella recibe una
llamada telefónica que la obliga a ausentarse de su
puesto durante diez minutos. Calcular la probabilidad
de que al volver a su puesto hayan más de tres
personas en la cola.