Transcript VERSO L`OSTENSIONE: UN MESE ALL`APERTURA

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Equazioni e disequazioni irrazionali
Mara Massarucci
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
1. Equazioni irrazionali
Un’equazione si dice irrazionale se l’incognita vi compare, almeno una volta, sotto segno di
radice. Per un’equazione irrazionale considerata nell’ambito del campo reale, è necessario che i radicandi
dei radicali di indice pari siano  0 e che i due membri dell’equazione siano concordi, cioè di ugual
segno. Per risolvere un’equazione irrazionale la si razionalizza mediante uno o più successivi elevamenti
a potenza. Operando in tal modo si ha una equazione equivalente a quella data solo se si saranno imposte
le condizioni prima dette di realtà dei singoli radicali e di concordanza dei membri.
Così, poiché da
A( x)  [ B( x)]2 ,
A( x )  B( x ) e da  A( x )  B( x ) , elevando al quadrato, si ottiene
A( x )  B( x ) equivale a
 A( x )  [ B( x )]2


 B( x )  0

 A( x )  B( x ) equivale a
[1.1]
 A( x )  [ B( x )]2


 B( x )  0

[1.2]
(per entrambe le equazioni si può tralasciare la condizione A( x)  0, perché già contenuta in
A( x)  [ B( x)]2 ).
2. Disequazioni irrazionali
Una disequazione si dice irrazionale se in essa l’incognita compare, almeno una volta, sotto
segno di radice. I tipi di disequazioni irrazionali sono molti; ci limiteremo a considerare i due più
semplici:
n
A( x )  B( x ) ,
[2.1]
n
A( x )  B( x ) ,
[2.2]
sia con n dispari sia con n pari, tenendo presente che i radicali hanno segno positivo, cioè vanno
considerati come aritmetici.
Se l’indice del radicale è un numero dispari, il radicale ha valore reale qualunque sia il
radicando; e poiché un numero non cambia segno elevandolo ad esponente dispari, le [2.1] e [2.2] sono
rispettivamente equivalenti a
(n dispari)
A( x)  [ B( x)]n ,
[2.3]
(n dispari)
A( x)  [ B( x)]n
[2.4]
2
Equazioni e disequazioni irrazionali
Mara Massarucci
ottenute elevando entrambi i membri ad n.
Se l’indice del radicale è pari, consideriamo prima la [2.1]. Osservato:
 che per la realtà del radicale, deve essere A( x)  0;
 che il primo membro, oltre che reale, non è negativo;
 che, di conseguenza, il secondo membro deve essere positivo, cioè B( x)  0 ,
che perciò, avendo i due membri ugual segno positivo si può razionalizzare elevando ad n e ottenendo
A( x)  [ B( x)]n ,
 A( x )  0
la [2.1],
n


A( x )  B( x ) , con n pari,è equivalente al sistema  B ( x )  0

 A( x )  [ B ( x )]n

.
[2.5]
Consideriamo ora la [2.2], sempre nel caso di n pari. Per la realtà del radicale deve essere A( x)  0, da
cui deriva che il primo membro non è negativo; perciò la [2.2] è certamente verificata associando
B( x)  0 alla condizione di realtà. Se invece B( x)  0 , elevando i due membri ad n si ha A( x)  [ B( x)]n
che, essendo il secondo membro non negativo, assorbe la condizione A( x)  0. La [2.2], n A( x )  B( x ) ,
con n pari, ha quindi per soluzione l’unione delle soluzioni dei sistemi
 A( x )  0


 B( x )  0

,
 B( x )  0


 A( x )  [ B ( x )]n

.
[2.6]
Esercizi proposti
Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali.
1.
4 x  3  3 64 x 3  3 .
2.
2 x  3 8x 3  20x 11  1.
3.
x 2  5x  6  6 x  8 .
4.
x 2  5x  4  2 x  3 .
5.
x 2  3x  1  x  2 .
6.
2 x  1  x 2  3x  2 .
7.
7 x  1 8 x 2  x  9  x  3.
8.
3  x 2  8x
 0.
x 2
9.
x 2  3x  2   x 2  x  6 .
[x]
2
3
 x 
 3
2 


 91  161  x  2  x  3


70


 x  4

3  13 

x





2




 1  13


x

1

x

2




6




9


x   

8 

 x  2  1 x  0  8  x  9
 3  x  1 x  2
3
Equazioni e disequazioni irrazionali
Mara Massarucci
RISOLVI LE SEGUENTI DISEQUAZIONI usando il metodo algebrico o quello geometrico a seconda dei casi:
1.
3.
3
x  3  2x
R.: x  3
1 x  1 x
R.:
x0
14.
15.
0
1  x2
3  x  x  2x
2
2x  4  x 2  4
2x
10.
1  x  1  3x
R.:

x0
12.
1  x2  1  x
R.:
x0
R.:
0
R.:
2
34
x
9
9
R.:
x2  1  1
x3
1  x 
x
3 x
R.:
R.:
R.:
13.
x 2  8x  15  x  4
x 1  x  2  3
x2  1  5  x
R.:
4.
8.
7.
4  1  x2  x  5
5
x3
2
13
5
R.: x
11.
R.:
6.
x  x2  4  4
3 x2  4
x  2  2x  5  0
5
2

5.
9.
2.
x  x2  4  1
 2  x  1  1  x  2  x  3
R.:
1  x  0  x 
R.:
0 x  4
9
4
1
 x 1 x 0
3
16.
3x 2  2x  1  x  1
R.: 
17.
x 2  1  1  4x
R.:
x 5 x 5
18.
x 2  2x  3  3 x 2  1  0
R.:
x  1  x  3
5
2
7
9
7
x0
9