Transcript Opgaven Analyse 2 (2WA40) College 28

Opgaven Analyse 2 (2WA40) College 28
1. Formuleer en bewijs de transformatiestelling voor d = 1.
2. Zij D, D1 , D2 ⊂ Rd drie Jordanverzamelingen met D = D1 ∪ D2 ,
D1 ∩D2 = ∅. Zij f continu en begrensd op D. Laat zien: f is integreerbaar
op D1 en D2 , en
Z
Z
Z
f=
f+
D
D1
f.
D2
3. Zij V ⊂ R2 open, E ⊂ V een Jordanverzameling zodanig dat E ⊂ V .
Zij φ : V −→ R2 Lipschitz continu en injectief, en zij φ−1 : φ(V ) −→ V
continu. Veronderstel verder φ(V ) open en φ(E) ⊂ φ(V ).
a) Zij Q ⊂ V een rechthoekgebied met zijlengten a en b zodanig dat
a ≤ b ≤ 2a. Laat zien: Er is een rechthoekgebied R ⊂ R2 en
een constante M onafhankelijk van Q zodanig dat φ(Q) ⊂ R en
Vol(R) ≤ M Vol(Q).
b) Zij Q ⊂ V een willekeurig rechthoekgebied. Laat zien: Er is een
eindig aantal rechthoekgebieden R1 , . . .S
, RN en een constante M onN
afhankelijk van Q zodanig dat φ(Q) ⊂ i=1 Ri en
N
X
Vol(Ri ) ≤ M Vol(Q).
i=1
c) Laat zien: Als A ⊂ E een nulverzameling is dan is φ(A) een nulverzameling.
d) Laat zien: ∂(φ(E)) ⊆ φ(∂E)
e) Laat zien: φ(E) is een Jordanverzameling.
4. Zij ρ een rotatie rond het nulpunt in R2 , i.e.
ρ(x, y) = (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α)
voor een vaste α ∈ R. Zij E ⊂ R2 een Jordanverzameling. Laat zien: E
en ρ(E) hebben hetzelfde volume.
R
5. Bereken D f voor de volgende functies f en gebieden D:
a) f (x, y) =
xy
x2 + y 2
b) f (x, y) = x,
D = {(x, y) ∈ R2 x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}
D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 2, x > 1}
c) f (x, y, z) = z, D = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 2, z > (x2 + y 2 )1/4 }
d) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ,
p
D = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥ 3(x2 + y 2 )}
1
6. Zij a > 0. Vindp
het volume van het lichaam boven het xy-vlak, binnen de
kegel z = 2a − x2 + y 2 en binnen de cilinder x2 + y 2 = 2ay.
(“Boven” is hier de richting (0, 0, 1).)
7. Vind het volume van de ellipso¨ıde gegeven door
y2
z2
x2
+
+
= 1,
a2
b2
c2
a, b, c > 0.
(Hint: Gebruik “aangepaste” bolco¨ordinaten.)
Rekenvaardigheden (niet in te leveren):
[A] 14.4 6,12,14,16,17; 14.6. 2,3,8,11,16
2