Transcript VWO B deel 4 H15

vwo B Samenvatting Hoofdstuk 15
Optimaliseren van oppervlakten en lengten
Bij het aantonen dat een formule juist is moet je stap voor stap de formule afleiden.
Je mag je niet beperken tot het geven van een aantal getallenvoorbeelden.
15.1
opgave 9
a L  f ( p)  g ( p)
L  6 p  12  ( p  2)
L  6 p  12  p  2
b
dL
1

 6 1
dp 2 6 p  12
dL
3

1
dp
6 p  12
dL
 0 geeft
dp
3
1  0
6 p  12
3
1
6 p  12
6 p  12  3 kwadrateren geeft
6 p  12  9
6 p  3
p   12 voldoet
De maximale waarde van L is
L  6    12    2  1
1
2
1
2
15.1
1
2
2
2
2
opgave 25 a ( AB ')  500  200  290000
AB '  290000
K = kosten AB’+ kosten BB’
K  290000 100  100 150 ≈ 68 852 euro
b AB 2  5002  3002  340000
AB  340000
AC : BC = 2 : 1
AC + BC = AB
AC  23 AB
BC  13 AB
K = kosten AC + kosten BC
K  23 340000 100  13 340000  150 ≈ 68 028 euro
15.2
2
2
2
opgave 25 c AP  x  200
AP 2  x 2  40000
AP  x 2  40000
BP 2  (500  x) 2  1002
BP 2  250000  1000 x  x 2  10000
BP 2  x 2  1000 x  260000
BP  x 2  1000 x  260000
K = kosten AP + kosten BP
K  x 2  40000 100  x 2  1000 x  260000 150
K  100 x 2  40000  150 x 2  1000 x  260000
Voer in
y1  100 x 2  40000  150 x 2 1000 x  260000
De optie minimum geeft x ≈ 424 en y = 65 721
De minimale kosten zijn 65 721 euro.
15.2
Harmonische trillingen
Bij een eenparige cirkelbeweging van een punt P hoort een
harmonische trilling van de projectie P’ van P op de y-as.
Omlooptijd is trillingstijd bij trillingen
Frequentie in hertz is het aantal trillingen per seconde.
Amplitude is maximale uitwijking bij trillingen
Bij een harmonische trilling met amplitude b en frequentie f
hoort een formule van de vorm u = b sin(c(t – t0)) met
c = 2πf en t de tijd in seconden.
Op t = t0 wordt de evenwichtsstand stijgend gepasseerd.
De trillingstijd is T 
1 2
seconde.

f
c
15.3
Trillingen met gelijke frequentie
Een samengestelde trilling is een trilling die de som is van twee of meer
trillingen.
De formule van de samengestelde trilling u = u1 + u2 met u1 en u2
harmonische trillingen met gelijke frequentie en gelijke amplitude is te
herleiden tot de vorm u = b sin(c(t – d)).
15.3
Parametervoorstellingen van Lissajous-figuren
Een lissajous-figuur is de baan van een punt dat gelijktijdig deelneemt
aan twee harmonische trillingen in verschillende richtingen.
We bekijken Lissajous-figuren beschreven door een parametervoorstelling
van de vorm
x  b sin(ct  d )
y  q sin(rt  s )
Deze parametervoorstelling hoort bij een punt dat gelijktijdig een
harmonische trilling uitvoert in de richting van de x-as en van de y-as.
15.4
opgave 50 a In de x-richting 2 periodes, dus a = 2.
In de y-richting 3 periodes, dus b = 3.
b x = sin(2t)
x is maximaal voor t  14  , t  1 14 
x is minimaal voor t  34  , t  1 34 
x = 0 voor t  0, t  12  , t   , t  1 12  , t  2
y = sin(3t)
y is maximaal voor t  16  , t  65  , t  1 12 
y is minimaal voor t  12  , t  1 16  , t  1 65 
y = 0 voor t  0, t  13  , t  32  , t   , t  1 13  , t  1 32  , t  2
15.4
opgave 66 a
AE
AD
AE
cos( ) 
5
AE  5cos( )
cos( ) 
DE
AD
DE
sin( ) 
5
DE  5sin( )
sin( ) 
BE  10  5cos( )
O  O ( AED)  O ( EBCD)
O  12  AE  DE  BE  DE
O  12  5cos( )  5sin( )  (10  5cos( ))  5sin( )
O  12 12 sin( )cos( )  50sin( )  25sin( )cos( )
O  50sin( )  12 12 sin( )cos( )
15.5
opgave 66 b
sin(180   ) 
DE
AD
DE
5
DE  5sin( )
sin( ) 
cos(180   ) 
AE
AD
AE
5
AE  5cos( )
 cos( ) 
BE  10  5cos( )
O  O( EBCD)  O( AED )
O  BE  DE  12  DE  AE
O  (10  5cos( ))  5sin( )  12  5sin( )  5cos( )
O  50sin( )  25sin( )cos( )  12 12 sin( )cos( )
O  50sin( )  12 12 sin( )cos( )
15.5
opgave 66 c   90 geeft
O  50sin(90)  12 12 sin(90)cos(90)
O  50
Voor   90 is ABCD een rechthoek en is
O  AB  AD  10  5  50
Dus de formule klopt ook voor   90
d Voer in
y1  50sin( x)  12 12 sin( x)cos( x)
y2  40
De optie intersect geeft x ≈ 64 en x ≈ 138.
O  40 geeft
64    138
e De optie maximum en y1 geeft x ≈ 103 en x ≈ 51,5.
De oppervlakte is maximaal voor   103
15.5
Snelheid en integraal
Bij een tijd-afstandformule is de formule van de snelheid v
de afgeleide van s.
Dus s’ = v.
Hieruit volgt dat s een primitieve is van v en
dat de afgelegde afstand gedurende een
tijdsinterval gelijk is aan de bijbehorende
oppervlakte onder de grafiek van v.
Algemeen geldt bij een functie f dat
x

f '(t )dt   f (t )a  f ( x)  f (a)
x
a
Voor elke functie f met afgeleide f’ geldt dan
x
f ( x)  f (a)   f '(t )dt
a
15.6
Zwaartepunt en integraal
Van een vlakdeel V dat boven de x-as ligt
en wordt ingesloten door de grafiek van f,
de x-as en de lijnen x = a en x = b is de
x-coördinaat van het zwaartepunt
b
xZ 
b
 x  f ( x)dx  x  f ( x)dx
a

opp. van V
a
b
 f ( x)dx
a
In figuur 15.62 wordt het vlakdeel V ingesloten
door de grafieken van f en g.
b
In dit geval is xZ 
 x  ( f ( x)  g ( x))dx
a
b
 ( f ( x)  g ( x))dx
a
15.6