Transcript hfst 3 - mathonline

drs. J.H. Blankespoor
drs. C. de Joode
ir. A. Sluijter
Toegepaste Wiskunde
voor het hoger beroepsonderwijs
Deel 1
Vijfde, herziene druk
Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3
© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2011
Toegepaste Wiskunde, deel 1 Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3
Pagina 1 van 7
Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3, paragraaf 3.7
1) Met de cosinusregel wordt AB berekend:
( AB)2  ( AC )2  ( BC )2  2  AC  BC cos ACB
ACB  15  (90  25)  80 .
25 
C
10
B
AB  102  202  2 10  20  cos80
15 
 500  400  0,173648
 20, 75 km
20
2)
C
A
Eerst wordt hoek ABC berekend:
1,8
tan(ABD) 
 ABD  2,576
40
 CBA  90  ABD  87, 42
Met de stelling van Pythagoras wordt AB
50
A
1,8 m
40 m
D
B
berekend: AB  (1,8)2  (40)2  40,040 m
Met de sinusregel wordt BC berekend:
sin(50) sin(ACB) sin(180  50  87, 42)
AB  sin(50)


 BC 
 45,33 m
BC
AB
AB
sin(42,58)
AB  sin(52)
BCmax 
 48,51 m
sin(180  52  87, 42)
BCmin 
AB  sin(48)
 42, 40 m
sin(180  48  87, 42)
3)
C
7
α
A
5
B
Toegepaste Wiskunde, deel 1 Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3
Pagina 2 van 7
Met de sinusregel wordt eerst hoek C berekend:
sin  sin 
sin 
,

 sin   AB 
BC
AB
BC
5  sin(25)
 0,3018    17,57 .
7
Hieruit volgt ook hoek B:   180      180  25  17,57  137, 43 .
sin  sin 
BC  sin 
Met de sinusregel kan nu ook AC berekend worden:
.

 AC 
BC
AC
sin 
7  sin(137, 43)
Dus AC 
 11, 20
sin(25)
Dus sin  
4a) sin(2 x)  0,1487  sin(0,1492 (rad)) 
2 x  0,1492  k  2  2 x    0,1492  k  2 
2,9924
x  0, 0746  k    x 
 k    1, 4962  k  
2


4b) cos 3 x    0,5621  cos(0,9739) 
1
3
3x    0,9739  k  2 
1
3
3x  1, 047  0,9739  k  2 
x  0, 6737  k    x  0, 0244  k  
4c) tan

1

2
2
3

2
3
 x  4, 6785  tan(1,3602) 
1

2
 x  1,3602  k   
x    1,3602  k   
1
2
x  0, 2106  k  
4d) arcsin(2 x)    2 x  sin
1
3
5a) methode 1: sin x  cos x 
methode 2:
 
1
2
3x
1
4
sin x
 tan x  1  tan
cos x
sin x  cos x  cos
1

2
1
3

1

2

3
  x 
1
4
1

4
 k 
 x  cos x    x   x  k  2 
1
2
 x   x  k  2  2 x    k  2  x    k  
1
2
1
4
Toegepaste Wiskunde, deel 1 Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3
Pagina 3 van 7
5b)


sin 2 x    cos( x  1)  sin
1
4

1

2

 ( x  1) 
2 x      x  1  k  2  2 x     
1
4
1
2
1
4

1

2

 x  1  k  2 
3 x    1  k  2  x      1  k  2 
3
4
3 x  3,3562  k  2  x
1
4
3
 
4
1
2
 1  k  2  1,3562  k  2 
x  1,1187  k    x  1,3562  k  2
2
3
sin x
 1

 sin x  0  sin x 
 1  0  sin x  0  cos x  1 
cos x
 cos x 
x  k    x  k  2  x  k  
5c) tan x  sin x 
1
2
5d) (cos x) 2   cos x  


1
2

1
2
2


cos x  cos    cos(0, 7854)  cos x  cos    cos(2,3562) 
1
4
3
4
x  0, 7854  k  2  x  2,3562  k  2



6a) De grafiek van f ( x)  sin 2 x    sin 2 x  
1
3
1
3
 krijgen we uit de grafiek van
f1 ( x)  sin(2 x) door deze over een afstand  naar rechts te verplaatsen (de grafiek van
1
3
f1 ( x)  sin(2 x) krijgen we uit de grafiek van f 2 ( x)  sin x door deze met een factor 2 in te
krimpen t.o.v. de verticale as). Het resultaat is een sinusfunctie met periode
amplitude 1, voorlopig beginpunt

1
,0
3
 en evenwichtslijn y  0 .
2
2
 ,
6b) De grafiek van f ( x)  cos   x   cos   cos x  sin   sin x   cos x krijgen we uit de
grafiek van f1 ( x)  cos x door deze te spiegelen t.o.v. de x-as.
Toegepaste Wiskunde, deel 1 Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3
Pagina 4 van 7
   1 krijgen we uit de grafiek van
6c) De grafiek van f ( x)  3  cos  3x  1  1  3  cos 3 x 
1
3
f1 ( x)  cos(3x) door deze over een afstand
1
3
naar rechts te verplaatsen , de y-coördinaten met
3 te vermenigvuldigen (oprekken) en vervolgens met een bedrag 1 omhoog te schuiven (de
grafiek van f1 ( x)  cos(3x) krijgen we uit de grafiek van f 2 ( x)  cos x door deze met een
factor 3 in te krimpen t.o.v. de verticale as). Het resultaat is een cosinusfunctie met periode
2

3
, amplitude 3, voorlopig beginpunt

 , 4 en evenwichtslijn y  1.
1
3


6d) De grafiek van f ( x)  2  sin 2 x    2  sin 2 x  
1
2
van f1 ( x)  sin(2 x) door deze over een afstand
1

6
1
4
 krijgen we uit de grafiek
naar links te verplaatsen , de y-coördinaten
met -2 te vermenigvuldigen (oprekken en spiegelen t.o.v. x-as); (de grafiek van
f1 ( x)  sin(2 x) krijgen we uit de grafiek van f 2 ( x)  sin x door deze met een factor 2 in te
krimpen t.o.v. de verticale as). Het resultaat is een sinusfunctie met periode
amplitude 2, voorlopig beginpunt


1
,0
4
 of 
1
,0
4
2
2
 ,
 en evenwichtslijn y  0 .
Toegepaste Wiskunde, deel 1 Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3
Pagina 5 van 7
7) (sin x  cos x) 2  (sin x) 2  2sin x cos x  (cos x) 2
 (sin x) 2  (cos x) 2  2sin x cos x
 1  sin(2 x)
8)
cos(2 x)  2(cos x) 2  1 
   1 
cos x  2 cos
1
2
2
x
    1  cos x 
 cos  x   1  cos x)
2 cos
1
2
1
2
2
x
2
1
(
2
 (2 x  x)  cos  (2 x  x) 
 2  cos  x  cos  x 
2  cos x 
9b) sin x  cos x  2  2  sin x 
 2  sin x  cos     cos x  sin    
 2 sin  x   
 2 cos     x    
 2 cos    x 
1
2
9a) cos(2 x)  cos x  2  cos
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
Toegepaste Wiskunde, deel 1 Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3
Pagina 6 van 7
9c) cos( x  y )  cos( x  y )  2  sin

1
(x 
2
 
y  ( x  y )) sin
 2  sin  x  sin  y 
 (2 x3x)  sin 
 2 cos  x  sin   x 
 2 cos  x  sin  x 
9d) sin(2 x)  sin(3 x)  2 cos
1
2
1
(2 x  3 x)
2
1
(x 
2
y  ( x  y ))


1
2
5
2
5
2
1
2
10) De grafiek van f ( x)  arcsin(2 x) ontstaat uit de grafiek van f1 ( x)  arcsin( x) door deze
met een factor 2 in te krimpen in de richting van de verticale as.
arcsin(2 x)  0, 67 
arcsin(2 x)  arcsin(sin(0, 67)) 
1  2 x  sin(0, 67)
1  2 x  0, 6210 
1
2
  x  0,3105 
0,5  x  0,3105
Toegepaste Wiskunde, deel 1 Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 3
Pagina 7 van 7