Transcript VWO D deel 3 H12

vwo D Samenvatting Hoofdstuk 12
Reeksontwikkelingen
De formule van Maclaurin
In bovenstaande reeksontwikkeling is Rn de restterm.
12.1
De formule eiφ = cos(φ) + i sin(φ)
Je kunt een complex getal op twee manieren noteren. (zie H.8)
• De notatie met behulp van het reële deel en het
imaginaire deel.
z = a + bi waarbij a = Re(z) en b = Im(z).
• De notatie met behulp van poolcoördinaten.
z = r(cos φ + i sin φ) waarbij r = |z| en φ = arg(z).
In H.8 steeds in graden, in dit hoofdstuk in radialen.
De 3e manier is
z = r eiφ is een complex getal met r = |z| en φ = arg(z).
De formule van Euler: eiφ = cos(φ) + i sin(φ).
12.1
De functies f(z) = ez en g(z) = ln(z)
De functie f(z) = ex
• beeldt de reële as af op de positieve reële as
• beeldt de imaginaire as af op de eenheidscirkel
• is periodiek met periode 2πi.
Bij het berekenen van functiewaarden bij de complexe logaritmische functie
f(z) = ln(z) gebruik je de rekenregels voor logaritmen en de formule van Euler.
De functies f(z) = cos(z) en g(z) = sin(z)
e e
iz
cos(z) =
2
en
e e
sin(z) =
iz
 iz
 iz
2i
12.2
opgave 23
Het beeld van Re(z) = 1 is de cirkel met middelpunt 0 en straal e1,
ofwel de cirkel met de vergelijking | z | = e.
Het beeld van Im(z) = 56 π is de halve lijn met beginpunt 0 die een hoek van 56 π
radialen maakt met de positieve reële as,
ofwel de halve lijn met vergelijking Arg(z) = 56 π.
12.2
De factorstelling
Als x = k een oplossing is van de vergelijking x3 + ax2 + bx + c = 0,
dan is x3 + ax2 + bx + c = (x – k)(x2 + …).
De vergelijking z3 + pz = q
Werkschema: het algebraïsch oplossen van de vergelijking z3 + pz = q
1. Stel z = u + v en p = -3uv en herleid hiermee de vergelijking tot
u3 + v3 = q.
2 Gebruik p = -3uv om de vergelijking te herleiden tot
u6 – qu3 – r = 0.
3 Bereken u3 en v3 en bereken hiermee z.
12.3
De vergelijking z3 + az2 + bz + c = 0
De formule van Cardano
Een reële oplossing van de vergelijking z3 + pz = q is
z
1
3
2
q
(
1
2
q)  (
2
1
3
p) 
3
1
3
2
q
(
1
2
q)  (
2
1
p)
3
3
Werkschema: het algebraïsch oplossen van de vergelijking z3 + az2 + bz + c = 0
1. Gebruik de substitutie z = y - 13 a om de vergelijking te herleiden tot
de vorm y3 + py = q.
2 Stel y = u + v en p = -3uv. Dit geeft u3 + v3 = q.
3 Gebruik p = -3uv om de vergelijking te herleiden tot
u6 – qu3 – r = 0.
4 Bereken u3 en v3 en bereken hiermee y.
5 Gebruik z = y - 13 a om een reële oplossing z te berekenen.
6 Gebruik de factorstelling om de andere oplossingen te berekenen.
12.3
opgave 40
opgave 41
12.3
De formule un = a · un - 1 + b · un - 2
Een recursieve formule van de vorm un = a · un – 1 + b · un – 2
met b ≠ 0 is een lineaire differentievergelijking van de tweede orde.
De differentievergelijking is lineair omdat er alleen termen in voorkomen
met un – 1 en un – 2 en niet bijvoorbeeld met (un – 1)2.
De differentievergelijking is van de tweede orde omdat de term un is
uitgedrukt in de twee voorafgaande termen.
GR
12.4
De karakteristieke vergelijking
Werkschema: het opstellen van een directe formule bij de rij
un = a · un – 1 + b · un – 2 met startwaarden u0 en u1
1.
Substitueren van un = gn geeft de karakteristieke vergelijking
g2 – ag – b = 0 met D = a2 + 4b.
2a. Is D > 0 dan krijg je twee reële oplossingen g1 en g2 en is de directe
formule van de vorm un = A · (g1)n + B · (g2)n.
2b. Is D = 0 dan krijg je één reële oplossing g en is de directe formule
van de vorm un = (A + Bn) · gn.
2c. Is D < 0 dan krijg je twee complexe oplossingen g1 en g2 en is de
directe formule van de vorm un = (A cos(φn) + B sin(φn)) · gn.
Daarbij is φ een argument van g1 (of van g2) en g de modulus van g1.
3.
Je berekent A en B met behulp van de startwaarden u0 en u1.
12.4