Transcript Lineaire differentievergelijkingen van de tweede

Lineaire differentievergelijking van de
tweede orde
Opstellen van de directe formule
Het opstellen van de directe formule bij de rij
Een recursieve formule van de vorm:
un = a un−1 + b un−2
met
b=0
un = a un−1 + b un−2
met startwaarden
is een lineaire differentievergelijking van de
tweede orde. De term un is uitgedrukt in de
twee voorafgaande termen.
Voor het opstellen van de directe formule van de
rij substitueer je un = g n in de
differentievergelijking.
u0
en
u1 :
1. Substitueren van un = g n geeft de
karakterisrieke vergelijking
g 2 − ag − b = 0 met D = a2 + 4b
0 dan zijn er twee reële
2. Is D
oplossingen g1 en g2 en is de directe
formule van de vorm:
un = A (g1 )n + B (g2 )n
3. Is D = 0 dan is er één reële oplossing g
Voorbeeld 1
Gegeven:
is de directe formule van de vorm:
un = un−1 + 2un−2
met
u0 = 5 en u1 = 4
Geef de directe formule.
Zie uitwerking voorbeeld 1
un = (A + Bn) g n
0 dan zijn er geen reële
4. Is D
oplossingen.(*)
A en B met behulp van de
startwaarden u0 en u1
5. Je berekent
Stelsels differentievergelijkingen
Voorbeeld 2
Beschouw een stelsel van lineaire
differentievergelijkingen van deze vorm:
Gegeven is het volgende stelsel
xn = a xn−1 + b yn−1
yn = c xn−1 + d yn−1
Hieruit kan je een lineaire differentievergelijking
van de tweede orde afleiden. Met behulp van de
startwaarden x0 en y0 kan je een directe formule
opstellen.
(*) In het geval D
differentievergelijkingen met x0
y 0 = 2 0:
= 10 en
xn = xn−1 + 2yn−1
yn = −xn−1 + 4yn−1
Stel de directe formule op van xn
Zie uitwerking voorbeeld 2
0 zijn de oplossingen complex. In deel 4 leer je hoe je in dit geval de directe formule opstelt.
en
Voorbeeld 1
Gegeven:
un = un−1 + 2un−2
Met
u0 = 5 en u1 = 4
Geef de directe formule.
Uitwerking
g n = gn−1 + 2g n−2
delen door g n−2 geeft:
g2 = g + 2
g2 − g − 2 = 0
(g − 2)(g + 1) = 0
g = 2 g = −1
2. un = A (−1)n + B 2n
1.
3. Invullen van de startwaarden geeft:
5=A+B
4 = −A + 2 B
3B = 9
B=3
A=2
De directe formule is:
un = 2 (−1)n + 3 2n
Voorbeeld 2
Uitwerking
Gegeven is het volgende stelsel Het plan is om xn uit te drukken in x
n−1 en xn−2 Omdat het om
differentievergelijkingen:
een tweede orde differentievergelijking gaat neem ik voor xn
eerst maar 's een stapje hoger:
xn = xn−1 + 2yn−1
yn = −xn−1 + 4yn−1
Stel de directe formule op
van xn
Maak van xn
= xn−1 + 2yn−1
eerst:
xn+1 = xn + 2yn
Je hebt dan:
xn+1 = xn + 2yn
yn = −xn−1 + 4yn−1
Als je tweede vergelijking invult in de eerste vergelijking dan krijg
je:
xn+1 = xn + 2 −xn−1 + 4yn−1
xn+1 = xn − 2xn−1 + 8yn−1
Nu moet je die term met yn−1 wegwerken. Dat kan met de eerste
vergelijking uit de opgave.
Maak van xn
= xn−1 + 2yn−1
eerst:
2yn−1 = xn − xn−1
Je krijgt dan:
xn+1 = xn − 2xn−1 + 8yn−1
2yn−1 = xn − xn−1
Vul de tweede vergelijking in de eerste vergelijking in:
xn+1 = xn − 2xn−1 + 4 xn − xn−1
xn+1 = xn − 2xn−1 + 4xn − 4xn−1
xn+1 = 5xn − 6xn−1
Bijna goed... alleen wel graag uitgedrukt in xn . Dat kan ook:
xn = 5xn−1 − 6xn−2
Dit is een differentievergelijking van de tweede orde en die kan je
oplossen op de manier van voorbeeld 1.
Je weet x0
= 10 en y0 = 20, maar wat is dan x1 ?
Gebruik de eerste vergelijking in de opgave en je vindt:
x0 = 10 en x1 = 10 + 2 20 = 50
Zie uitwerking bij voorbeeld 2
uitwerking bij voorbeeld 2
Differentievergelijking
Uitwerking
Gegeven:
De karakteristieke vergelijking oplossen geeft:
xn = 5xn−1 − 6xn−2
g 2 − 5g + 6 = 0
(g − 2)(g − 3) = 0
g=2 g=3
Met x0 = 10 en x1 =
de directe formule.
50, geef
Dus xn
= A 2n + B 3n
x0 = 10 geeft A + B = 10
x1 = 50 geeft 2A + 3B = 50
A + B = 10
2A + 3B = 50
2A + 2B = 20
2A + 3B = 50
B = 30
A = −20
De directe formule is:
xn = −20 2n + 30 3n
voorbeeld uit WisFaq
Gegeven is de volgende rij: 1, -1, 3, -5, 11, -21, 43, -85, ...
Stel een recursieve formule op
Stel een directe formule op
Zie Recursieve en directe formules