Transcript Eigenschappen van de negenpuntscirkel

Eigenschappen van de negenpuntscirkel
Lemma 1.
1 In een driehoek met hoeken A, B, C geldt:
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 · sin A · sin B · sin C
Bewijs.
= 2sin(A + B) · cos(A – B) + 2sin C · cos C
sin 2A + sin 2B +sin 2C
= 2sin C · (cos(A – B) + cos C ))
= 2sin C · (cos(A – B) – cos(A + B))
= 2sin C · (-2sin A · sin(-B))
= 4sin A · sin B · sin C
Waarmee het gestelde is aangetoond. ◊
figuur 1
Lemma 2. Zie figuur 1. In een driehoek ABC met zijden a, b, c, straal omcirkel R en oppervlakte
(surface) S geldt:
abc
=R
4S
Bewijs. AD is de hoogtelijn uit A met lengte ha. AE is een middellijn van de omcirkel van de
driehoek.
De driehoeken ACE en ADB zijn gelijkvormig (hh), zodat:
AC : AD = AE : AB of b : ha = (2R) : c of
(1)…
bc = 2ha · R
Voor de oppervlakte hebben we (zoals bekend):
S = ½ha · a, zodat:
(2)…
2ha = 4S · a
Uit (1) en (2) blijkt dat de genoemde formule juist is. ◊
Lemma 3. Bij driehoek ABC met omcirkel ⊙( ABC , R ) is gegeven een punt P. De punten Pa, Pb,
Pc zijn de spiegelbeelden in de zijden van de driehoek. Dan is:
S (Pa Pb Pc ) | macht (P , ⊙(ABC )|
=
S (ABC )
R2
figuur 2