Transcript Infinitesimaalrekaning A (WISB132). Inleveropgave 3. In deze

Infinitesimaalrekening A (WISB132). Inleveropgave 3.
In deze opgave bestuderen we een functie met wat minder voor de hand
liggende eigenschappen.
(
Stel f (x) =
x2 cos( x1 ) als x 6= 0,
0
als x = 0.
a. Laat zien dat f overal continu is. [Hint: voor x = 0 kun je de knijpstelling
gebruiken, p. 71 Th. 4]
b. Laat zien dat f differentieerbaar is in x 6= 0, en bereken de afgeleide f 0 (x).
c. Laat ook zien (met de definitie van differentieerbaarheid, Def. 4 p. 100)
dat f differentieerbaar is in x = 0 en bereken de afgeleide f 0 (0). Laat zien
dat de afgeleide functie f 0 niet continu is in 0.
d. We bekijken nu f alleen op het domein [0, ∞). Laat zien dat f geen lokaal
maximum heeft in het randpunt 0 en ook geen lokaal minimum. Hint: Je
kunt dit laten zien door aan te tonen dat voor elk getal a > 0 er waarden x
zijn met 0 < x < a zodat f (x) > 0 en ook waarden x met 0 < x < a zodat
f (x) < 0.
(Het is dus niet zo dat elke differentieerbare functie altijd een lokaal maximum of een lokaal minimum heeft in een randpunt, wat je misschien wel zou
verwachten als je een eenvoudig plaatje tekent.)
Als je een grafiek van deze functie wilt zien kun je b.v. naar de website
www.wolframalpha.com gaan en
x^2 cos (1/x)
invoeren.
Inleveren aan het begin van het werkcollege op 4 oktober 2016.
1