Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek

Hoe begrijpen en gebruiken docenten van de schoolvakken natuurkunde, scheikunde en economie het wiskundige concept ‘afgeleide’?

Nelleke den Braber°, Pauline Vos*, Gerrit Roorda° en Martin Goedhart° ° Rijksuniversiteit Groningen * Universiteit van Amsterdam

1. Inleiding

Exacte vakken gebruiken wiskunde. Zo steunt een natuurkundig concept als ‘versnelling’ of een economisch concept als ‘marginale kosten’ op een wiskundige beschrijving van verandering, namelijk ‘de afgeleide’. Aldus worden leerlingen niet alleen tijdens wiskundelessen, maar ook in lessen van andere schoolvakken geconfronteerd met verschillende benaderingen van één wiskundig concept. Om de efficiëntie van het onderwijs te vergroten, is er gepleit voor het verbeteren van de samenhang tussen schoolvakken (Reulen & Rosmalen, 2000), dus bijvoorbeeld dat het begrip ‘afgeleide’ in samenhang met natuurwetenschappelijke concepten wordt aangeboden. Een geïntegreerde aanpak van vakken blijft echter moeilijk, onder andere omdat docenten meestal niet interdisciplinair geschoold zijn (Werkgroep Afstemming Wiskunde-Natuurkunde, 2007). Bovendien gebruiken de leerlingen verschillende schoolboeken bij elk vak. Den Braber (2007) analyseert de manier waarop het begrip ‘afgeleide’ behandeld wordt in de schoolboeken van de schoolvakken natuurkunde, economie en scheikunde. In dat onderzoek bleek dat in deze schoolvakken veel gebruik wordt gemaakt van de grafische representatie van een bepaald verband. In de schoolboeken van economie wordt ook veel aandacht besteed aan de afgeleide functie, en wiskundige notaties die voor de afgeleide gebruikt worden. De schoolboeken van natuurkunde redeneren vanuit een natuurkundig perspectief en verbindingen met wiskundige aanpakken en notaties worden niet geexpliciteerd. Ook zijn er in de schoolboeken verschillen in de manier waarop wordt omgegaan met functies, grafieken en tabellen en uitspraken die gedaan werden over het vak wiskunde. Diverse auteurs hebben gewezen op de centrale rol van de docent in het onderwijs, in het bijzonder op hun rol in kennisconstructie en in hoe leerlingen een vak gaan waarderen (Fennema & Franke 1992; Cooney & Wiegel 2003). Voor wiskundige kennis kunnen niet alleen wiskundedocenten, maar ook andere docenten deze belangrijke rol vervullen. Om die reden hebben wij de volgende onderzoeksvragen bestudeerd:

toegelicht door de docent?

uitgevoerd in het kader van het NWO leraar-in-onderzoek traject.

Wat is de kennis van docenten natuurkunde, scheikunde en economie in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs over wiskundige concepten en methoden die in hun vakgebieden toegepast worden? Hoe worden wiskundige concepten en methoden in hun onderwijs behandeld en

Hierbij focussen we op het concept ‘afgeleide’. Dit onderzoek is

2. Theoretisch kader

Cobb en Bowers (1999) hebben erop gewezen dat docentenkennis sociaal ingebedde praktijkkennis is: sommige kenniscomponenten ontstaan of worden gedeeld binnen een gemeenschap van leraren en sommige kenniscomponenten zijn gebonden aan bepaalde (onderwijs-)situaties. Het bestuderen van de gevarieerde docentenkennis is dus complex. Shulman (1986) onderscheidt docentenkennis in: • de vakkennis (content knowledge, CK): de kennis over het vak zelf, bijvoorbeeld over de thema’s en de dwarsverbanden ertussen, 1

Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek • de vakdidactische kennis (pedagogical content knowledge, PCK): de kennis over het onderwijzen van de vakkennis, bijvoorbeeld: welke voorbeelden zijn aansprekend en welke fouten kunnen leerlingen maken, • de algemene didactische kennis (pedagogical knowledge, PK): de kennis van het onderwijs in het algemeen, bijvoorbeeld weten hoe men orde in een klas houdt. Voor de vakkennis (CK) over de ‘afgeleide’ grijpen we terug op Hiebert en Carpenter (1992), die ‘begrijpen’ beschrijven als de manier waarop informatie is gestructureerd in relaties tussen feiten, representaties, procedures en ideeën. Voor de kennis over de ‘afgeleide’ operationaliseren we dit in de relaties die de docenten leggen tussen wiskundige representaties (numeriek, grafisch, symbolisch), binnen representaties (discreet, met een limiet, continu) en tussen de afgeleide en toepassingen. Om deze relaties te beschrijven gebruiken we het analyse-framework zoals beschreven door Roorda, Vos, en Goedhart (2007), en gebaseerd op eerder werk van Zandieh (2000) en Kendal en Stacey (2003). De kern van dit schema beslaat drie kolommen, elk behorende tot een representatievorm (zie tabel 1). Om informatie weer te geven kunnen we kiezen voor een grafische (grafiek), een symbolische (functie) of een numerieke (tabel) representatie. Binnen deze kolommen kunnen we verschillende niveaus onderscheiden, zonder daarmee een ordening in complexiteit te suggereren. Het eerste niveau geeft aan hoe een verband wordt weergeven tussen twee grootheden, namelijk met een functievoorschrift, een grafiek of gegevens geordend in een tabel. Het tweede niveau bekijkt de gemiddelde verandering op een interval, gevolgd door de mate van verandering in een punt (niveau 3) en het verband tussen de grootheid en de mate van verandering (niveau 4). Binnen het schema zijn overgangen mogelijk. We spreken van een overgang als een verschuiving optreedt van één cel van het schema naar een andere cel. Stel dat bij een gegeven functievoorschrift de afgeleide functie wordt bepaald door te differentiëren. We blijven dan in het schema binnen de functiekolom en geven deze overgang aan met de notatie F1 -> F4. Maar we kunnen ook overgangen tussen de kolommen hebben. Bijvoorbeeld, bij een gegeven functievoorschrift wordt een grafiek getekend en hieraan wordt een raaklijn in een punt getekend. Deze overgang geven we dan weer met de notatie F1 -> G1 -> G3.

Functie Grafiek Numeriek F1

:

f

(

x

) functie ∆

f

F2

: ∆

x

differentiequotiënt

G1

: grafiek

G2

: gemiddelde helling

N1

: tabel

N2

: gemiddelde verandering

F3

:

f’

(

a

) afgeleide in een punt

F4

:

f’

(

x

) afgeleide functie

G3 G4

: richtingscoëfficiënt raaklijn : hellinggrafiek

N3

verandering

N4

: mate van : tabel met veranderingen

Tabel 1: schema van wiskundige representaties m.b.t. de afgeleide

2

Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek De vier niveaus uit tabel 1 zijn ook in natuurkundige, economische en scheikundige toepassingen zichtbaar. Met het schema analyseren we welke representaties de docent zelf gebruikt om opdrachten op te lossen en welke niveaus door de docent worden benoemd. Naast contentknowledge, bestuderen we ook ‘Pedagogical Content Knowledge’ (PCK). Volgens Van Driel (2008) gaat het bij PCK – kort gezegd – om inzicht in de manieren waarop leerlingen vakinhoudelijke zaken begrijpen (of niet), en om de kennis van doceeractiviteiten waarmee dit begrip bevorderd kan worden. Een ander kenmerk is dat deze kennis iets zegt over de professionaliteit van docenten en daarom is er steeds meer aandacht voor tijdens het opleiden van docenten. Dat we praten over een complex begrip met veel aspecten blijkt uit Veal & MaKinster (1999), die een overzicht geven van verschillende classificaties van PCK, waaronder de verdeling in vijf componenten door Magnussen e.a. (1999). Zij onderscheiden (a) ‘orientations towards science teaching’, (b) ‘knowledge of curriculum’, (c) ‘knowledge of science assessment’, (d) ‘knowledge of science learners’, en (e) ‘knowledge of instructional strategies’. In deze (en andere) classificaties wordt geen specifieke aandacht besteed aan de kennis van de docent over de samenhang met andere vakken en de benodigde (wiskunde) kennis voor zijn eigen vak, zoals wij in het onderzoek willen bekijken. We kunnen echter de manier waarop een docent deze verbanden maakt (of niet) terugvinden in elke component, maar met name onder de kennis van instructiestrategieën. Ook component (a), orientation towards science teaching, speelt een rol in ons onderzoek, omdat de visie van de docent op het lesgeven en het onderwijs als geheel ook invloed heeft op de manier waarop hij/zij omgaat met de verbanden tussen de schoolvakken.

3. Methode

We hielden interviews met tien bevoegde bovenbouw-docenten aan vier scholen: vijf natuurkundedocenten, aangeduid met namen met een P (van Physics), Peter, Paul, Pim, Piet en Philip, twee scheikundedocenten, Stefan en Simone en drie economiedocenten, Erik, Enno en Ewout. Allen hadden aan een universiteit gestudeerd en tijdens hun opleiding enkele wiskundevakken gevolgd. Het interview was opgebouwd uit drie delen: • een algemeen, semi-gestructureerd interview; Dit onderdeel had als doel om in navolging van Meijer e.a. (1999) een profielschets te kunnen geven van de docent, waarbij bijvoorbeeld gekeken wordt naar de vooropleiding van de docent, aantal jaren ervaring, ervaring met wiskunde en samenwerken met andere secties (CK, PCK en PK). • een

opdracht gebaseerd

interview (Goldin, 2000) aan de hand van drie opdrachten, waarvan één met een vak-gerelateerde toepassing. (CK en PCK); Dit deel had als doel een beeld te krijgen van de methode die een vakdocent gebruikt om bepaalde vakspecifieke en wiskunde gerelateerde opgaven aan te pakken en om een beeld te krijgen van de aanwezige wiskundige kennis (CK). • een semi-gestructureerd interview over terminologie en notaties en specifieke pagina’s uit het vak-gerelateerde schoolboek (CK en PCK). Dit onderdeel had als doel de lesopzet met betrekking tot wiskundige diepgang en didactisch handelen in kaart te brengen. Dit onderdeel is te verdelen in drie onderwerpen. Naar aanleiding van de schoolboekanalyse is de docent als eerste ondervraagd over het gebruik van de begrippen

formule

,

functie, grafiek

of

afgeleide

. Vervolgens kreeg de docent situaties 3

Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek voorgelegd uit de gebruikte schoolboeken om te zien hoe deze worden behandeld in de klas. Tenslotte werden er algemene vragen gesteld over de verbanden tussen wiskunde en het vak van de docent en hoe de docent daar mee omgaat. Interviews zijn op audio tape opgenomen en getranscribeerd. Transcripten zijn geanalyseerd door uitspraken te categoriseren op de volgende gebieden: kennis van het concept afgeleide; gebruikte termen en notatiewijze; uitspraken over wiskunde; omgang met wiskunde in de les; algemene uitspraken over didactiek en onderwijs. Twee van de categoriën zullen we hieronder verder toelichten. Categorie:

kennis van het concept

Het schema in tabel 1 geeft ons een instrument om te kijken naar de overgangen die een docent maakt en de begrippen die hij noemt. Dit komt met name naar voren in het interview bij de aanpak van de opgaven. De uitspraken die hiermee verbonden zijn plaatsen we in categorie ‘kennis van het concept’. Een voorbeelduitspraak die in deze categorie valt is: “

Een andere manier is, en dat zullen ze bij mij niet zo snel doen, is om de h(t)-formule te gaan differentiëren en dan het tijdstip in te vullen.”

(interview Philip) Categorie:

Verbanden met wiskunde, omgang met wiskunde in de les

Bij deze categorie grijpen we terug op de Pedagogical Concept Knowledge (PCK) van Schulman. De docenten kunnen een verschillende didactische aanpak hebben voor het gebruik van wiskundige technieken in de les. Deze categorie richt zich op uitspraken waarin verbanden gelegd worden met de wiskunde en de manier waarop deze in de les worden uitgelegd. Een voorbeelduitspraak in deze categorie is: “

Ik gebruik het [differentiëren] wel eens als extra toelichting. Leerlingen krijgen bijvoorbeeld de formules voor een eenparig versnelde beweging (schrijft formules op) x is een half at 2 en v is at en bijna te flauw…. a=a. Dan leg ik wel uit dat de ene de afgeleide is van de andere.”

(interview Peter)

4. Resultaten

De eerste interviewvragen richtte zich op de opleiding van de docent en de eigen ervaring met wiskunde. Op één na alle docenten gaven aan wiskunde leuk te vinden, zo ook Simone:

“Nou ja wiskunde is altijd leuk natuurlijk, ik vind wiskunde erg leuk”

De meeste docenten hebben veel wiskunde gehad tijdens hun studie, al sprak vaak de praktische kant het meest aan. Enno geeft aan:

“wiskundig zit zo’n wereld heel mooi in elkaar. Dat is denk ik ook de reden dat ik van de wiskunde afgestapt ben, ik wil het toch wat concreter hebben, dat past beter bij me.”

De toepassing van de wiskundevakken was niet bij alle docenten even duidelijk. De opgedane kennis wordt bovendien (vaak) niet meer gebruikt in het huidige onderwijs op school. “

Ik zag het nut er niet zo van in. Veel van die wiskunde gebruikte je nooit. Het was wiskunde om de wiskunde. Veel van die wiskunde zie ik hier ook niet gebruikt worden

.” (Interview Pim)

“…Ik mis het ook niet, als ik geen wiskunde had gehad dan had ik het niet gemist en had ik gewoon vanuit de opgaven de stof bekeken en was het ook gelukt met mijn havo wiskunde…”

(Interview Ewout) 4

Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek

4.1 De kennis van docenten

De kennis van docenten is op verschillende manieren te beschrijven, zoals in hoofdstuk 2 is aangegeven. In de volgende paragrafen bekijken we de manier waarop de docenten praten over hun eigen kennis en hoe ze voorgelegde opgaven aanpakken.

4.1.1 Uitspraken over de kennis

De docenten hebben allen verschillende wiskundevakken gevolgd tijdens hun opleiding. Van de vijf natuurkundedocenten blijken er vier ook een wiskundebevoegdheid te bezitten, maar ze geven aan hier niets mee te willen doen. De vakinhoudelijke wiskundekennis is, zoals meerdere docenten aangeven wel wat weggezakt, omdat ze het niet veel meer gebruiken. Erik zegt hierover het volgende:

“O jee, kijk, we zeggen op een gegeven moment kun je dingen en weet je dat het zo is, maar hoe het precies zo zit, ik weet het niet meer. Ik weet nog iets van het verhaal van de limiet tot…het wordt steeds kleiner, nadert naar nul. Dan zeg ik, jongens als je het precies wil weten, toch naar je wiskunde docenten. Het enige voordeel is dat ze hebben het dan een beetje gehad en bij economie is het eindelijk eens een keer… wordt het eindelijk eens toegepast.”

Over de wiskunde in de schoolboeken zegt Ewout tegen de leerlingen:

“Lees het geïnteresseerd door, maar we richten ons op de opgaven zoals ze in het examen worden gesteld, dat is belangrijk en de wiskundige uitwerking, en hoe je dat wiskundig doet dat is even buiten mijn competentie.”

Ze geven aan niet precies te weten wat er in het wiskundeleerplan staat en alleen informeel met de wiskundecollega’s overleg te plegen, ook al vinden ze dit wel belangrijk.

“Ik vind het wel belangrijk dat ik weet, als natuurkundeleraar, wat voor woord ze daarvoor [helling] leren bij wiskunde. Dat weet ik op dit moment niet, omdat het weer vernieuwd is.”

(Interview Pim)

4.1.2 Betekenis zoeken

Bij het opdracht-gebaseerd-gedeelte hebben alle docenten behoefte aan het geven van betekenis aan gegeven formules. Ze proberen de aangereikte formules te koppelen aan hun bestaande vakkennis. In een opgave over een leeglopende tank zeggen Paul en Peter:

“Met behulp van de wet van Torricelli kun je een formule afleiden voor de hoeveelheid vloeistof in de tank. Die formule, die heb ik zo niet paraat. Eh….dat is toch de druk en hoogte die dan bij de uitstroomopening. Dan moet je toch weten hoe groot die is. Er staat niet bij hoe groot het gat is of wel. Nou maakt niet uit. Ik ga eerst eens verder. ……..Een passende formule bij deze tank is: V=10(2-1/60t) 2 . En dan kom je weer met zo’n formule en dan weet ik ook niet waar die vandaan komt en dat vind ik niet leuk.” “Deze formule, daar zou ik zelf nog even heel goed over moeten nadenken. Die leid je volgens mij af via een differentiaalvergelijking. Dat moet ik echt even op mijn gemak uitschrijven. Dat is niet triviaal dat het dit is…..het zal wel kloppen…”

(Peter) De economen kregen in een economische opgave een derdegraads-kostenfunctie aangereikt. Ook hier zien we het zoeken naar economische achtergrond. Enno verteld wat er de functie oproept:

“De kostenfunctie is een derdegraads functie dus dat is toenemende afnemende meeropbrengsten. In de zin dat de kosten eerst stijgen en later wat dalen en later misschien weer stijgen. Q is in duizendtallen en TK in duizenden euro. [..]…dus dat is de scan van de vraag.”

Het verloop van een algemene kostenfunctie wordt door hem geschetst, voordat de in de opgave gegeven kostenfunctie wordt getekend (hiervoor wordt bovendien geen grafische rekenmachine gebruikt): 5

Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek

“Nou dat zou de kostencurve zijn denk ik. Dus, zo zou een normale kostencurve moeten lopen. Ik zal even kijken of het klopt met de wiskunde formule.”

Ook Ewout begon met een uitgebreide analyse van de functie. Hij gaf aan dat hij in een proefwerk leerlingen eerst vragen zou stellen over de functie op economisch vlak. Denk hierbij aan ‘wat zijn de vaste kosten?’, ‘Is er sprake van degressieve of progressieve groei?’ We zien dus dat de in de opdracht beschreven situatie, bij de docenten vaak reacties oproept waarin ze de situatie analyseren vanuit de betekenis vanuit hun vakgebied.

4.1.3 Werken met eenheden

Het toekennen van eenheden aan grootheden en variabelen wordt door de docenten ook gebruikt om een praktische betekenis te kunnen geven. Zo maakt Paul een opmerking over de dimensies in een formule die een leeglopende tank beschrijft.

“40 m 3 , 40000 liter. Hier heb ik iets raars. Voor het volume van het water in de tank geldt de formule V = 40 – 1/3t. Hoe kun je het volume uitdrukken in t? Waarschijnlijk moet hier staan voor het toename of afname van het volume. Ik denk dat hier een fout in de formulering staat, dat zou ik dan zeggen. Ik zou zeggen voor de toename of afname van het volume van het water geldt de formule zoveel. Of er zit gewoon een lek in. Voor het volume van de water in de tijd…V druk je uit in m 3 . Nou goed."

Ook Simone en Stefan benoemen de verwarring, eveneens later gevolgd door:

“1/3 is 1/3 Kuub per minuut”

Peter beschrijft in het interview dat er verschillen zijn tussen de vakken in de omgang met eenheden, waar hij ook bewust mee omgaat.

“Neem bijvoorbeeld F = m.a. F is de kracht in N zeggen we bij wiskunde. We kunnen dan zeggen F = 5. Bij natuurkunde gebruiken we F = 5N en hoeven we niet te vermelden dat de kracht in Newton is.”

Ook verwijst hij naar een opgave uit de kangoeroewedstrijd 1 die het verschil tussen beide vakken goed aangeeft: De omtrek en oppervlakte worden aan elkaar gelijk gesteld, iets wat volgens Peter “

eenheden”.

je wiskundig wel kunt doen, maar natuurkundig niet, omdat we praten over verschillende

Over het gebruik van signficante cijfers wordt door de docenten weinig opgemerkt, iets wat bij natuur-en scheikunde toch een duidelijke rol speelt. Piet zegt hier nog wel het volgende over:

“ wiskunde praat nooit over het aantal cijfers, ja zeggen ze twee cijfers achter de komma, maar de komma is onbelangrijk, de komma hangt namelijk af van de eenheid die je kiest. Als je het in cm kiest is twee achter de komma iets anders als dat je het in meters kiest. Dus eh…daarom moet wiskunde niet zeggen, zoveel cijfers achter de komma, maar zoveel significante cijfers. En dan is de komma onbelangrijk, maar ik denk niet dat de wiskunde daar aan toegeeft. Dat is al jarenlang zo, het is wel heel vervelend bij natuurkunde”

1 Stichting Wiskunde Kangoeroe organiseert jaarlijks de reken- en wiskundewedstrijd in Nederland als onderdeel van een international evenement . 6

Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek

4.1.4

Oplossingsstrategieën

De meeste docenten lossen het merendeel van de opgaven correct op. Bij een correcte oplossing vragen we naar alternatieve methoden voor hetzelfde probleem, en daaruit blijkt dat de flexibiliteit aan methoden en gelegde relaties beperkt is. Na het gebruik van de grafische methode om de helling te gebruiken, antwoord Simone op de vraag naar een alternatieve manier:

” oh, dan heb ik even wat meer tijd nodig. Dan moet je formule volgens mij gaan integreren of zo…oh nee differentiëren, de raaklijn, dan moet je de differentiaal nemen van zo’n lijn, dat zou wel kunnen en dan stop je 40 erin….zal ik eens kijken, ik heb geen idee of dat goed gaat….hoe ging dat ook al weer, dit doe ik niet alle dagen.”

De grafische methode wordt door elke natuur-en scheikundedocent gebruikt om de helling te bepalen. Het differentiëren wordt vaak wel genoemd als alternatief, maar niet als gangbare techniek bij de vakken, omdat de formule meestal niet gegeven is (zoals in deze opgaven).

“Als je dat wiskundig zou doen dan moet je de afgeleides aan elkaar gelijk stellen, maar dat doet geen enkele natuurkundeleerling, dan doen ze niet. De eerste [helling] heb je uitgerekend, en dan ga je dus een raaklijn trekken met een helling van 4.”

(Interview Piet) Econoom Enno gebruikt de begrippen raaklijn en afgeleide naast elkaar, voor hem lijkt er geen verschil in methode te zijn:

“En dan moet je de snelheid weten. Met andere woorden …eh…snelheid is, dat is weer de afgeleide van die lijn. De verandering van volume per minuut. Dus de verandering in volume gedeeld door de verandering in t. Raaklijn maken. De afgeleide dV/dt is….nou daar gaan we. Productregel, quotiëntregel ken ik niet meer, maar ik kan het wel zo afleiden….dan op de ouderwetse manier (gaat haakjes uitwerken)”

Ondanks de concreetheid, gebruiken slechts twee docenten een numerieke methode. Over het niet noemen van deze methode zegt Pim in de nabespreking:

“Omdat ik denk, als je de snelheid op dat moment wil hebben zijn er mijn inziens alleen maar twee methodes [raaklijn en differentieren]. Als je deze methode [numerieke] gebruikt is het een benadering die slechter is dan de eerste twee. Ik heb dat ook nooit zo geleerd, dat zal wel het allerbelangrijkste zijn.”

Bij een niet-standaardopgave 2 (Bezuidenhout, 1998) raken, op één na, alle docenten in verwarring en ontbreekt hen het abstractievermogen om de standaardsituatie te verlaten. Er wordt gezocht naar bekende elementen of methodes uit het eigen vak om een oplossing voor het probleem te vinden. Zo probeert Paul met een (zeer uitgebreide) eenhedenanalyse de oplossing (tevergeefs) te achterhalen:

“[…] … dus bij 80 km /uur is mijn remtijd 1,15, maar die 1,15 is…eh wat is de eenheid ervan? Die massa dat is kg..die v in km/u delen door newtons…dan moet ik even newtons in kg …..kg …m..per s 2 kg valt weg.. (schrijft dit allemaal op) er komt dus een tijd uit…je moet dus een….als je dat wegstreept….dan moet je dus delen door 1000 en als……dan klopt hij…..we zijn er!!…..er blijft seconden staan”

In de analyses op basis van het theoretisch kader blijkt dat de grafische methoden overheersend zijn in de werkwijzen van de docenten. Het werken met numerieke methoden, zoals het bepalen van een momentane toe- of afname over een klein interval op basis van een tabel wordt door de docenten niet gebruikt of genoemd als alternatieve methode voor het vinden van een momentane snelheid. Enkele docenten gebruiken de techniek van het differentiëren, maar bij de natuurkunde wordt vermeld dat dit geen gangbare techniek is en dat de leerlingen dit niet zullen gebruiken. 2 De opgave, ontleend aan Bezuidenhout (1998), is toegevoegd als bijlage. 7

Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek

4.2 Verbanden met wiskunde

De docenten hebben vragen beantwoord over de verbanden die ze leggen met het vak wiskunde en hoe ze hiermee omgaan in de les.

4.2.1 Uitspraken over de verbanden

Voor de docenten is wiskunde, begrijpelijkerwijs, een ondersteunend vak. “

Voor natuurkundigen is het een gereedschap. En dat is ook echt een beetje zo.”

(interview Paul)

“Bij de economie gebruik je het inderdaad als hulpmiddel. Niet cijferen om het cijferen zoals bij zuivere wiskunde wel eens het geval is, maar puur om iets helder te krijgen.”

(interview Enno) De scheikundedocenten geven aan de verbinding met het vak natuurkunde wel eerder te maken dan met wiskunde, zo ook Simone

heb ik bij wiskunde niet zoveel.” : “Ik zie wiskunde meer als een hulpvak bij de scheikunde dan scheikunde een hulpvak bij wiskunde. Bij biologie en natuurkunde is het duidelijker. Daar zeg ik regelmatig, dat hebben jullie bij natuurkunde gehad of dat hebben jullie bij biologie gehad. Dat

Meerdere docenten noemen de rekenvaardigheden als verband met het vak wiskunde en dan met name het niveau van leerlingen op dit punt.

“Wat ik wel merk is dat het gebruik van een rekenmachine, van eigenlijk de lagere school, de brugklas, eigenlijk dodelijk is voor het getal inzicht.Je ziet het overal in terug, 4 procent van 100 daar krijg je de antwoorden 4, 25, 60 en 96 op ..bijna standaard als je dat vraagt…40 was ik nog vergeten trouwens.”

(Interview Stefan)

“Ik merk altijd wel dat ik het irritant vind [het breien van leerlingen]. Ik heb altijd het idee dat dit zal niet mijn werk moeten zijn. Ook het rekenwerk.”

(interview Pim) Bekijken we de PCK-component ‘orientation towards science teaching’ uit ons theoretisch kader dan speelt wiskunde een duidelijk ondersteunde rol voor de docenten. Een onvoldoende beheersing van de basis reken- of wiskundige vaardigheden wordt opgemerkt en als storend ervaren. Hierbij kan worden opgemerkt dat de benodigde wiskundige (algebraïsche) vaardigheden bij natuur-, scheikunde en economie beperkt zijn en het grootste gedeelte van de op school geleerde wiskundekennis niet hoeft worden ingezet buiten het vak wiskunde. De beperkte rol van de wiskunde in het eigen vak wordt door bijna alle docenten genoemd. Over het gebruik van de grafische rekenmachine in het eigen vak worden vrijwel geen opmerkingen gemaakt.

4.2.2 Didactische aanpak

De docenten zijn gevraagd naar het gebruik en de keuze van het schoolboek. Voor Peter is de methode niet belangrijk:

“ik kan met elke methode wel uit de voeten”.

Waarbij hij aangeeft dat elke methode wel iets goeds heeft

: “Altijd wel bepaalde onderwerpen die je anders zou doen, maar dat kun je dan in de les nog aangeven”

Geconfronteerd met de ondersteunende pagina’s over de ‘afgeleide’ in het schoolboek van hun eigen vak, melden de meeste docenten dat zij deze pagina’s negeren. De reden hiervoor is, dat de uitleg in de boeken overbodig is of niet aansluit op de eigen didactische aanpak. Ewout zegt hierover nog het volgende:

“Als ik denk voor het examen heb ik het niet echt nodig, vraag het dan even aan je wiskundedocent die weet er veel meer van, wat dat betreft dan ik. Ik verwijs gewoon door en ga verder met dingen die op het examen komen”

8

Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek De meeste geïnterviewden gebruiken termen en notaties op een andere manier dan bij wiskunde. Dit is uiteraard ook gekoppeld aan de gebruikte methode. Eén natuurkundedocent geeft aan geen moeite te doen voor eenduidigheid van termen, zodat leerlingen zelf gaan zoeken naar de betekenis. Uiteindelijk gaat het bij de docenten vooral om de (economische/natuurkundige) begrippen en achtergronden, niet om het uit het hoofd leren van formules. Erik beschrijft zijn gedachten naar aanleiding van het begrip prijselasticiteit:

“Dat het bijna altijd gevolg gedeeld door de oorzaak is. Dat probeer ik zo simpel mogelijk te houden [………] je moet de dingen alstublieft niet uit je kop gaan leren. Ik zelf heb altijd het probleem… is het nu dq dp of dp dq daar moet ik altijd heel hard over nadenken. Daarom kan ik tijdens het proefwerk hem zelf afleiden en dan heb ik nooit een probleem.”

Ze houden hun uitleg vakspecifiek, bijvoorbeeld “je produceert… en dat levert één euro extra op...”, zonder limiet-overgang.

“Stel je voor…. Je hebt hier een berg winst. Bijvoorbeeld en je produceert een eenheid en die levert 1 euro extra op etc… dus je berg winst neemt nog iets toe….op het moment dat de marginale kosten boven de marginale opbrengst liggen, dan zal je dus voor een extra eenheid verlies maken, maar maak je ook totaal verlies? Nee, je gaat zo’n bergje minder, je hebt nog steeds winst.”

(Interview Enno, over misvatting bij MO=MK) Peter, de enige docent die naast zijn natuurkundelessen ook wiskundelessen geeft, legt veel verbanden met de wiskunde en geeft bovendien vanuit beide vakken de werkwijzen weer om zo de leerlingen op de verschillen tussen de vakken te wijzen. Hij geeft aan dat hij echt gaat zoeken naar parallellen met wiskunde.

vakken. Hij noemt de afgeleide en differentiëren en reikt de leerlingen extra diepgang en achtergronden aan, wel vanuit het oogpunt dat ze er wat aan hebben. Hij probeert ook aan te geven wat de verschillen zijn in de aanpak tussen de

“Maar ik vertel leerlingen er ook altijd bij dat we er anders mee omgaan bij natuurkunde. Bij wiskunde krijg je de formule, dan moet je hem differentiëren en de afgeleide op nul stellen en maxima berekenen en wat al nog maar meer.

Wij trekken raaklijnen, wij tellen hokjes. Het is hetzelfde. Het stelt hetzelfde voor, maar de techniek die je gebruikt, de manier waarop je er mee omgaat is anders.”

Peter is ook de enige docent die de grafische rekenmachine heeft ingezet bij het oplossen van de opgaven. De docenten willen wel de verbinding leggen met de wiskunde, maar er spelen een aantal zaken een rol. Als eerste zijn de docenten niet altijd op de hoogte van kennis die in het schoolvak wiskunde wordt onderwezen:

“Maar dan even andersom gedacht. Stel dat zij dit [e-macht differentiëren] kunnen, dan zou ik het direct vertellen. Want dan is het een makkelijk middeltje als ze het al weten. De snelheid van verval is de afgeleide, dan kan ik de afgeleide gewoon uitrekenen. Dan kun je ze zo laten zien hoe ze op die komen, dan kunnen ze mij laten zien.”

(interview Pim) Ten tweede is de wiskunde leerstof niet (meer) nodig voor het eindexamen van natuurkunde, economie of scheikunde. Over het verbanden leggen met wiskunde zegt Philip daarom:

“Wat dat betreft weinig. En als je naar de opgaven kijkt….als ze het in de opgaven nodig zouden hebben, zou ik er meer aandacht aan besteden, maar ze hebben niet meer nodig.”

9

Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek Als derde zijn de benodigde technieken of begrippen soms nog niet aan bod gekomen in de wiskundelessen.

“Soms probeer ik ook wel eens een differentiaalvergelijking, trillingen, de tweede afgeleide van een sinus is ook weer een sinus…… Zeer summier allemaal. Dat ligt ook een beetje aan zo’n klas. Zijn ze een beetje geïnteresseerd, nou dan doe ik het…. heb je het gevoel dat het paarlen voor de zwijnen dan denk ik, laat maar.”

(Interview Philip) In tegenstelling tot de natuur-en scheikunde boeken is bij economie de afgeleide onderdeel van de lesstof en opgenomen in de schoolboeken. Ook hier is de afstemming tussen de leerlijnen een zorgpunt:

Maar differentiëren, dat doe je wel eens? Enno: “Het probleem is… dit onderwerp hebben we voorin het curriculum van de vijfde klas zitten. En dan hebben de 5 wiskunde alfa, eh… A leerlingen het nog niet gehad of krijgen het helemaal niet. Dan moet ik het met wat kunst en vliegwerk wat proberen te bereiken en de wiskunde B leerlingen beginnen een beetje aan afgeleides te ruiken en die kunnen dan met behulp van de formule kaart de afgeleide bepalen. Dus limiet gebruik ik dus niet.”

In de analyses op basis van het theoretisch kader blijkt dat de ‘instructional strategies’ van de docenten gericht zijn op een vakspecifieke uitleg van wiskundige begrippen. De wiskundige achtergrond of techniek is niet altijd wenselijk om uit te leggen, noodzakelijk voor het maken van opgaven of bruikbaar gezien de behandeling van de stof bij de wiskunde. Ook zien we dat de docenten niet altijd op de hoogte zijn van de kennis die de leerlingen opdoen bij het vak wiskunde. De docent die in beide vakken lesgeeft laat zien dat een aanpak waarbij beide vakken tot hun recht komen goed mogelijk is.

5. Conclusie en discussie

De onderzoeksvragen naar de kennis van een veelgebruikt wiskundig concept en de bijbehorende behandeling ervan in hun onderwijs door docenten natuurkunde, scheikunde en economie kunnen we met ons onderzoek indicatief beantwoorden, met de toevoeging dat deze niet zijn geverifieerd door bijvoorbeeld lesbezoek. Uit de interviews blijkt, dat alle docenten vanuit hun vakgebied kijken en dit kleurt hun wiskundige kennis (CK) en de kennis over het onderwijzen van de vakkennis (PCK). De kennis die de docenten tijdens hun eigen opleiding hebben gedaan is begrijpelijk wat weggezakt, maar ook zeer gekleurd door de kennis die nodig is voor het eigen vakgebied. De abstractie van het wiskundige concept wordt geconcretiseerd in vakspecifieke betekenissen en een abstractere niet-standaardsituatie veroorzaakt verwarring. Variatie in oplossingsmethoden beperkt zich vaak tot één standaardtechniek, waarbij de grafische representatie de voorkeur heeft. De didactische aanpak is onafhankelijk van zowel van het gebruikte lesboek als van de aanpak van de wiskundecollega. De docenten geven bijna allen aan wiskunde leuk te vinden, maar slechts enkele docenten leggen bewust de verbanden tussen de vakken, waaronder de docent die in beide vakken werkzaam is. De diverse kaders rond Pedagocical Content Knowledge, waaronder de componenten van Magnussen e.a. (1999), hebben betrekking op de content van het eigen schoolvak. Bij de schoolvakken economie, natuurkunde en scheikunde zijn er ook raakvlakken met de inhoud van het schoolvak wiskunde. Deze kennis is moeilijk te vatten in het beschreven kader. Wel zien we dat een docent die in beide vakken werkzaam is, expliciet de verbanden vermeld en dit ook als een didactisch instrumet inzet (instructional strategie). De vakspecifieke aanpak in de natuurkunde-, scheikunde- en economielessen zou een goede combinatie kunnen vormen met de abstractie uit de wiskundelessen, maar ons 10

Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek onderzoek bevestigt een haperende afstemming tussen de vakken (Werkgroep Afstemming Wiskunde-Natuurkunde, 2007), en deze is tweezijdig: de geïnterviewde docenten gaven ook aan dat de wiskundige basiskennis van de leerlingen, nodig voor de toepassingen in hun vak, veelal tekort schoot. De haperende afstemming betreft zowel de fasering in het curriculum, uitleg, notaties, terminologie, als een onderbouwing van een bepaalde didactische aanpak (CK en PCK). Leerlingen maken op verschillende plaatsen in het onderwijs kennis met wiskundige concepten. Deze variatie kan leiden tot een brede vorming, maar ook tot verwarring door de verschillen tussen de boodschappen in achtereenvolgende lesuren. De effecten van de niet samenhangende boodschap verdienen nader onderzoek.

Referenties

Braber, N.S. den (2007). Schoolboekenanalyse; tussenrapportage van het onderzoek "Hellingen, snelheden en marginale kosten". Beschikbaar van: http://www.nwo.nl/nwohome.nsf/pages/NWOA_763ATR . Den Haag: NWO. Bezuidenhout, J. (1998). First-year university students’ understanding of rate of change,

International Journal of Mathematics Education in Science& Technology, 29

(3), 389 399 Cobb, P., & Bowers, J. (1999). Cognitive and situated learning: Perspectives in theory and practice.

Educational Researcher, 28

(2), 4–15. Cooney, T. J., & Wiegel, H. G. (2003). Examining the mathematics in mathematics education. In A. J. Bischop et al. (Eds.),

Second international handbook of mathematics education

(pp. 795–828). Dordrecht: Kluwer. Driel, J.H. van (2008). Van een lerende vakdocent leer je het meest.

didactiek der bèta-wetenschappen, 25

(1&2), 71-75.

Tijdschrift voor

Fennema, E., & Franke, M. L. (1992). Teachers’ knowledge and its impact. In D. Grouws (Ed.),

Handbook of research on mathematics teaching and learning

(pp. 147–164). Reston, VA: NCTM. Goldin, G.A. (2000). A scientific perspective on structured, task-based interview in mathematics education research. In: Kelly A.E. & Lesh R.A. (Eds),

Handbook of research design in mathematics and science education.

Mahwah, NJ, Lawrence Erlbaum Associates, Inc. Hiebert, J., & Carpenter, T. P. (1992). Learning and teaching with understanding. In D. Grouws (Ed.),

Handbook of research on mathematics teaching and learning

(pp. 65– 97). Reston, VA: NCTM. Kendal, M., & Stacey, K. (2003). Tracing Learning of Three Representations with the Differentiation Competency Framework.

Mathematics education research journal,15 (1)

, 22 – 41 Magnussen, S., Krajcik, J. & Borko, H. (1999), Nature, sources and development of pedagogical content knowledge. In J. Gess-Newsome & N.G. Lederman (Eds.). E

xamining pedagogical content knowledge

(pp. 95-132). Dordrecht: Kluwer Meijer, P.C., Verloop, N. & Beijaard, D. (1999). Exploring language teachers’ practical knowledge about teaching reading comprehension.

Teacher and teaching education, 15,

59-84. Reulen, J. J. M., & Rosmalen, P. H. W. (2000).

Het voortgezet onderwijs in Nederland: ontwikkelingen, structuren en regelingen.

Tilburg: Remmers. Roorda, G., Vos, P., & Goedhart, M. (2007). Derivatives in Applications: Describing Students’ Understanding. In G. Kaiser, F. Garcia, & B. Sriraman (Eds.),

Proceedings

11

Paper ORD Leuven mei 2009, symposium Transdisciplinair vakdidactisch onderzoek

of the Working Group on Mathematical Modelling and Applications at the 5th Conference on European Research in Mathematics Education (CERME-5

). Nicosia, Cyprus: University of Cyprus. Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching.

Educational Researcher, 15

(2), 4–14. Veal, W.R., & MaKinster, J.G. (1999). Pedagogical Content Knowledge Taxonomies.

Electronic journal of science education, 3

(4) Werkgroep Afstemming Wiskunde-Natuurkunde. (2007).

Afstemming Wiskunde-Natuurkunde aan vernieuwingscommissies wiskunde (cTWO) en natuurkunde (NiNa)

. Rapport. Utrecht: WAWN.

Eindverslag van Werkgroep

Zandieh, M. (2000). A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative. In E. Dubinsky, A. Schoenfeld, & J. Kaput (Eds.),

Research in collegiate mathematics education IV

(pp. 103–127). Providence, RI: AMS . Onderstaande opgave is één van de opgaven die is voorgelegd aan alle docenten in de interviews. Remweg De remweg

R(v)

van een auto is de afstand die een auto nog rijdt, nadat de bestuurder begint te remmen. Deze remweg

R

in meters, is een functie van de snelheid

v

in km/u. Ga er vanuit dat de maximumsnelheid van een auto 200 km/uur is. Wat betekenen de volgende formules in termen van remweg en snelheid? a.

R(100)=80

b.

R’(80)=1,15

c.

R”(v)>0

12