Transcript 2 Opgaven bij Hoofdstuk 2

2 Opgaven bij Hoofdstuk 2
Opgave 2.1 De functie f : R2 → R is gedefinieerd door
f (x, y) =
2x y
+ y2
als
x2
(x, y) ̸= (0, 0)
f (0, 0) = 0.
a) Bewijs dat f continu is op R2 \ {(0, 0)}.
b) Bewijs dat voor iedere x ∈ R de functie y 7→ f (x, y) continu is en dat voor iedere y ∈ R de
functie x 7→ f (x, y) continu is.
c) Schets de niveauverzamelingen van f voor de functiewaarden −1, − 21 , 0, 12 , 1. Hint: substitueer poolco¨ordinaten x = r cos θ, y = r sin θ. Welke waarden kan f aannemen?
d) Bewijs dat f niet continu is in (0, 0).
e) Bewijs dat desondanks
lim lim f (x, y) = f (0, 0) = lim lim f (x, y).
x→0 y→0
y→0 x→0
⊘
Opgave 2.2 Gegeven is een C2 functie g : R2 → R en een twee keer differentieerbare functie
f : R → R. Toon aan dat
∂ 2 f (g(x, y))
∂ 2 f (g(x, y))
=
.
∂x ∂y
∂y ∂x
Waarschuwing: we hebben niet verondersteld dat de tweede orde afgeleide f ′′ van f continu is. ⊘
Opgave 2.3 We beschouwen de functie f : R2 → R gedefinieerd door f (0, 0) = 0 en door
|x|xy
f (x, y) = √
x2 + y 2
als (x, y) ̸= (0, 0).
(a) Toon aan dat D1 f (0, y) bestaat voor alle y ∈ R en bepaal de functie y 7→ D1 f (0, y).
(b) Toon aan dat D2 f (x, 0) bestaat voor voor alle x ∈ R en bepaal de functie x 7→ D2 f (x, 0).
(c) Toon aan dat D2 D1 f (0, 0) en D1 D2 f (0, 0) bestaan maar niet gelijk zijn aan elkaar.
⊘
Opgave 2.4 Zij U een open deelverzameling van R3 . Als f : U → R een differentieerbare
re¨elwaardige functie is op U , dan is de gradi¨ent grad f : U → R3 van f een vectorveld in U .
Als v : U → R3 een differentieerbaar vectorveld is, dan is de divergentie div v : U → R van v
gedefinieerd als
3
∑
∂vi (x)
(div v)(x) :=
.
∂xi
i=1
Verder definieert
(rot v)1 = D2 v3 − D3 v2 ,
(rot v)2 = D3 v1 − D1 v3 ,
(rot v)3 = D1 v2 − D2 v1
een vectorveld rot v : U → R3 op U , dat de rotatie van v genoemd wordt.
9
a) Laat zien dat voor elke C2 functie f op U geldt: rot(grad f ) = 0.
b) Laat zien dat voor elk C2 –vectorveld v op U geldt: div(rot v) = 0.
⊘
Opgave 2.5 Zij f (x, y) = e−x y y. Bewijs dat f continu is op R2 , dat voor iedere y ≥ 0 de
oneigenlijke integraal
∫ ∞
F (y) :=
e−x y y dx
0
bestaat, maar dat de functie F : [0, ∞[→ R niet continu is in het punt 0.
Stelling 2.2 is dus niet zonder meer goed voor oneigenlijke integralen.
⊘
Opgave 2.6
∫A
a) Bereken 0 (x2 + t)−2 dx voor t > 0 door differentiatie naar t van
∫A 2
−1 dx.
0 (x + t)
∫∞
−2
b) Bereken de oneigenlijke integraal 0 (x2 + t)
dat deze gelijk is aan min de
∫ ∞ dx2 en verifieer
afgeleide naar t van de oneigenlijke integraal 0 (x + t)−1 dx.
∫∞
∫∞
c) Bereken 0 (x2 + 1)−2 dx en 0 (x2 + 1)−3 dx.
⊘
Opgave 2.7 Definieer f : R → R door:
∫
f (a) =
1 −a2 (1+t2 )/2
e
1 + t2
0
dt.
a) Bewijs dat f (0) = π/4. Bewijs door differentiatie naar a, gevolgd door een substitutie van
variabelen, dat geldt:
∫ a
2
′
−a2 /2
f (a) = −e
e−x /2 dx, a > 0.
0
Definieer g : R → R door:
(∫
a
g(a) = f (a) +
−x2 /2
e
)2
dx
/2.
0
b) Bewijs dat g ′ = 0 op R. Concludeer dat g(a) = g(0) = π/4, voor alle a ∈ R.
c) Bewijs dat voor iedere a ∈ R geldt dat 0 ≤ f (a) ≤ e−a /2 . Bewijs dat f (a) → 0 als a → ∞.
Bewijs hiermee tenslotte dat
∫ ∞
√
2
e−x /2 dx = 2π.
2
−∞
⊘
Dit is een bekende formule van Gauss.
Opgave 2.8 Zij
∫
π/2
log(1 + x cos2 θ) dθ,
F (x) :=
0
10
x > −1.
Bewijs door middel van differentiatie naar x en de substitutie t = sin θ/ cos θ dat
√
(
)
∫
1
π 1+x−1
1 ∞
1
′
√
dt =
F (x) =
−
.
x 0
t2 + 1 t2 + 1 + x
2 x 1+x
Bereken F (x).
(
)
Hint: schrijf G(u) = F u2 − 1 en onderzoek G′ (u). Wat is F (0)?
⊘
Opgave 2.9 Zij f : R2 → R continu. Veronderstel dat f differentieerbaar is naar de eerste variabele
en dat D1 f : R2 → R continu is. Definieer
∫ x
F (x) =
f (x, y) dy, x ∈ R.
a
a) Bewijs dat F continu differentieerbaar is en dat
∫ x
∂f (x, y)
′
F (x) = f (x, x) +
dy, x ∈ R.
∂x
a
b) Bewijs dat
∫
∫
c
f (c, y) dy =
a
∫ c∫
c
f (x, x) dx +
a
a
a
x
∂f (x, y)
dy dx.
∂x
⊘
Opgave 2.10 In de situatie van Gevolg 2.28, bewijs dat voor iedere 1 ≤ l ≤ k geldt dat
∂ l q(x, ξ)
f (l+1) (ξ)
.
|
=
x=ξ
∂xl
l+1
In de notatie van Voorbeeld 2.29, bereken σ ′ (0) en σ ′′ (0).
⊘
Opgave 2.11 Bewijs achtereenvolgens
∫
π/2
e−y sin t
0
) 1 ∂ ( −x sin t
)
∂ ( −x sin t
e
cos(x cos t) =
e
sin(x cos t) , x ̸= 0,
∂x
x ∂t
∫ π/2
d
sin x
e−x sin t cos(x cos t) dt = −
, x ̸= 0,
dx 0
x
∫ y
∫ π/2
sin x
π
dx = −
e−y sin t cos(y cos t) dt, y > 0,
x
2
0
0
∫
∫ π/2
ϵ
π
−y sin t
e
dt+
e−y sin t dt ≤ ϵ+ e−y sin ϵ ,
cos(y cos t) dt ≤
2
0
ϵ
∫ y
π
sin x
dx = .
lim
y→∞ 0
x
2
0 < ϵ < π/2,
Commentaar: in het latere hoofdstuk van het dictaat over Fourierreeksen wordt de limiet op een heel
andere manier uitgerekend.
⊘
11
Opgave 2.12
a) Toon aan dat de functie (x, y) 7→ y/(x2 + y 2 ) continu is op [0, 1] × [1, 2].
b) Controleer d.m.v. een direkte berekening dat
∫ 2∫ 1
∫ 1∫ 2
y
y
dx dy =
dy dx.
2 + y2
2 + y2
x
x
1
0
0
1
⊘
Opgave 2.13 Gegeven zijn a, b, c, d ∈ R met 0 ≤ a < b en 0 < c < d.
a) Toon aan dat de functie f : (x, y) 7→ 1/(x + y) continu is op [a, b] × [c, d].
b) Controleer d.m.v. een rechtstreekse berekening dat
∫ b∫
a
c
d
1
dy dx =
x+y
∫
c
d∫ b
a
1
dx dy.
x+y
⊘
Opgave 2.14 Gegeven is een continue functie f : [0, 1] → R. Toon aan dat de integraal
∫
1
f (t) tx (1 − t)y dt
0
convergent is voor x, y > −1, en op dat gebied een continue functie van (x, y) definieert.
⊘
Opgave 2.15 Gegeven is een continue functie f : [0, 1] → R met f (0) = 1. Toon aan dat de integraal
∫
1
0
f (t)
dt
t
⊘
divergeert.
Opgave 2.16 Toon aan de oneigenlijke integraal
∫ ∞
sin t
√ dt
t t
0
⊘
convergeert.
Opgave 2.17
(a) Toon aan dat de oneigenlijke integraal
∫
∞
1
convergeert.
12
cos x
dx
x2
(b) Toon aan dat de oneigenlijke integraal
∫
∞
0
sin t
dt
t
convergeert. Hint: dit lukt niet met het majorantie-criterium. Beschouw de integraal
en gebruik parti¨ele integratie om de integraal te vergelijken met de integraal in (a).
∫β
1
sin t
t
dt
⊘
Opgave 2.18 We bekijken nogmaals de volgende oneigenlijke integraal uit Vraagstuk 2.6:
∫ ∞
1
F (t) :=
dx,
(t > 0).
2
x +t
0
Gebruik in de volgende onderdelen direct de behandelde stellingen over oneigenlijke integratie.
(a) Laat zien dat de integraal convergeert voor iedere t > 0.
(b) Bewijs dat de functie F continu differentieerbaar is, met afgeleide
∫ ∞
1
′
F (t) = −
dx.
2
(x + t)2
0
(c) Toon aan dat voor k ∈ N geldt dat
∫ ∞
0
1
(2k)!π
dx = 2k+1
.
2
k+1
(1 + x )
2
(k!)2
⊘
Opgave 2.19
(a) Laat zien dat door
∫
∞
f (x) =
e−t cos(xt) dt
2
−∞
een continu differentieerbare functie gedefinieerd wordt.
(b) Toon aan dat xf (x) = −2f ′ (x) voor alle x ∈ R.
(c) Toon aan dat
f (x) =
√ −x2 /4
πe
,
voor alle x ∈ R. Hint: differentieer de functie g(x) = f (x)ex
13
2 /4
.
⊘
Opgave 2.20 Laat zien dat voor alle multi-indices α, β ∈ Nn geldt
{
α! als α = β
α β
D x |x=0 =
0 als α ̸= β.
⊘
Opgave 2.21 Zij X ⊂ Rn open, en ξ ∈ X, v ∈ Rn zodat voor alle t ∈ [0, r] geldt ξ + tv ∈ X. Zij
f : X → R een C 1 -functie.
(a) Toon aan dat voor 0 ≤ t ≤ r geldt:
∑
d
f (ξ + tv) =
Dj f (ξ + tv)vj .
dt
n
j=1
(b) Toon met inductie aan: als f ∈ C k , dan is
∑ 1
1 dk
Dα f (ξ + tv) v α ,
f (ξ + tv) =
k
k! dt
α!
(0 ≤ t ≤ r).
|α|=k
Hierbij is de sommatie over multi-indices α ∈ Nn . Verder is gebruik gemaakt van de multiindex notaties:
|α| =
n
∑
αj ,
Dα = D1α1 · · · Dnαn ,
α! = α1 ! · · · αn !,
v α = v1α1 · · · vnαn .
j=1
Hint: toon eerst met behulp van inductie aan dat de uitdrukking in het linkerlid van de gevraagde
uitdrukking gelijk is aan
1
k
n
∑ ∑
D(β+ej ) f (ξ + tv) v (β+ej ) .
|β|=k−1 j=1
Hierin hebben we de notatie ej voor de j-de standaard basisvector gebruikt, opgevat als multiindex.
(c) Veronderstel nu dat het lijnstuk [ξ, ξ + v] bevat is in X en toon de volgende multi-dimensionale
formule van Taylor aan. Als f ∈ C k+1 , dan
f (ξ + v) =
∑ 1
Dα f (ξ) v α + Rk (v),
α!
|α|≤k
met
Rk (v) =
∑
|β|=k+1
voor een 0 < τ < 1.
14
1 β
D f (ξ + τ v) v β
β!
⊘
Opgave 2.22 Toon aan dat de volgende identiteit geldt, voor alle x1 , . . . , xn ∈ R en k ∈ N,
∑ xα
1
(x1 + . . . + xn )k =
.
k!
α!
|α|≤k
Hierbij is de multi-index notatie uit de voorgaande opgave gebruikt. Hint: gebruik de multi-dimensionale
formule van Taylor.
⊘
Merk op dat de formule gezien kan worden als generalisatie van de binomiaalformule.
Opgave 2.23 In deze opgave zullen we laten zien dat de integraal
∫ ∞
sin x
dx
x
0
niet absoluut convergent is. We doen dit door middel van een tegenspraak. Veronderstel dus dat de
integraal wel absoluut convergent is.
(a) Toon aan dat uit de aanname volgt dat de integraal
∫ ∞
(sin x)2
dx
x
1
convergent is.
(b) Toon aan dat voor alle R > 1 geldt dat
∫
1
R
(sin x)2
dx ≥
x
∫
R+π/2
1+π/2
(cos x)2
dx.
x
(c) Toon aan dat uit de aanname ook volgt dat de integraal
∫ ∞
(cos x)2
dx
x
1
convergeert.
(d) Laat zien dat (a) en (c) tot een tegenspraak leiden.
⊘
15
16