Transcript Punim Seminarik ne Statistike Probabiliteti Punoi: Valmir Nuredini Probabiliteti m P n Bashkësia e të gjitha ngjyrave të mundshme (mostrave) që mund të jenë në semafor është: Gjasa që.

Punim Seminarik ne Statistike
Probabiliteti
Punoi:
Valmir Nuredini
Probabiliteti
m
P
n
Bashkësia e të gjitha ngjyrave të mundshme
(mostrave) që mund të jenë në semafor është:
Gjasa që gjatë arritjes në semafor të jetë ngjyra e
KUQE është e barabartë me gjasën e ngjyrës
së VERDHË dhe të GJELBËRT dhe e barabartë
me : 1/3.Por gjasa që të kemi ndonjë ngjyrë
tjetër është 0, sepse kjo është një ngjarje që
nuk mund të ndodhë ( e pamundshme)
  1, 2, 3
Page 2
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Probabiliteti është një degë e matematikës e cila merret
me studimin e eksperimenteve,rezultatet e të cilave
nuk dihen paraprakisht.P.sh. nëse e hedhim në ajër një
monedhë metalike(të themi një euro), në faqen e së
ciles janë shënuara numri H dhe shkrimi T
respektivisht, nuk mund të gjykojmë paraprakisht se a
do të bjerë faqja me numër H apo faqja me shkrim T e
drejtuar lart.Intuitivisht e dimë se
“gjasa”(besueshmeria) që të kemi H është e barabartë
me atë që të kemi T dhe kjo gjasë është e barabartë
50%.
Page 3
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Në këte raste përjashtohet mundesia që
monedha të ndaloje në tehun e
saj.Nëse ndodh kjo,hedhja e monedhës
përsëritet.Pra në këtë rast hedhja e
monedhës është një eksperiment
,ndërsa bashkesia {H,T} është
bashkesia e rezultateve te
mundshme (mostrave)(ang.outcomes).
Page 4
Fig.1
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Ky eksperiment dhe shumë eksperimente te tjera, ne
fakt, paraqesin një lojë fati (bixhoz).Pikërisht lojërat e
fatit dhe disa procese të tjera nga jeta ishin ato të
cilat i nxitën matematikën që të merren me to dhe të
shfrytezojnë njohuritë matematike per studimin e
tyre.Themelues te kësaj teorie konsiderohen
matematikanet francezë B.Pascal (1623-1662) dhe
P.Fermat (1601-1665).Më vonë, me këtë teori u
morën edhe shumë matematikanë te tjerë,kryesisht
francezë se Laplace, S.Poisson (1781-1840), G.Bayes
(1702-1761),A. De Moivre,Gauss,Bernoulli etj.Disa
prej tyre e shfrytëzojne këte teori per studimin e
lojrave te ndryshme te fatit
Page 5
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti


Pra probabiliteti bën matjen e gjasave
se një ngjarje e pasigurt mund të
ndodhë në të ardhmen.Probabiliteti
mund të marrë vlera vetëm në mes 0
dhe 1.
Fjala probabilitet rrjedh nga fjala
frenge probabilite,që d.m.th shkallë e
besushmëris që një ngjarje te ndodh.
Page 6
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti

P.sh na është bërë e zakonshme përdorimi i
shprehjes si: ...gjasa qe nesër te jete kohë
me diell është rreth 80%;kam gjasë te lartë
qe ta kaloje provimin e matematikës,sepse
kam arritur t’i ushtroj rreth 90% të detyrave
të përmbledhjes prej së cilës profesori i
zgjedh detyrat e provimit;gjasa që të fitoj 7she ne Lotarinë e Kosoves 7/39 është shumë
e vogël edhe pse i kam paguar 1000
tiketa;gjasa qe dy persona te zgjedhun ne
menyre te rasishme të kenë datëlindjen e
njetë është e vogël,ndërsa ajo që të kenë
datëlindjen të ndryshme është mjaf e lartë etj
etj.
Page 7
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti

T’i kthehemi shembullit të hedhjes së monedhës
metalike.Nëse me shënojmë bashkësinë e rezultateve të
mundhshme, atëherë  =H , T 
H
T
Fig.2
 (Pika shënon fillimin e eksperimentit).Meqë  = 2, gjasa që të
kemi H(oseT) është 1/2 .Po nëse i hedhim dy monedha në të
njejtën kohë,atëherë do të kemi bashkësinë Ω = (HH, HT, TH,
TT﴿,(shih diagramin e pemës fig.4.3).Atëherë gjasa që gjatë
hedhjes së njëkohësishme të monedhave metalike në ajër në të
dy monedhat të marrim H(T), është e barabartë me 1/4 , ndërsa
Page 8
gjasa që të paktën një herë të kemi H, është 3/4.

Probabiliteti

Nëse e hedhim një monedhë metalike tri herë
radhazi dhe rezultatet e fituara i evidencojmë, nga
diagrami i pemës lehtë mund të caktojmë
bashkësinë :Ω = (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT,
TTH, TTT) e të gjitha rasteve të mundshme,
H
H
H
H
H
T
H
T
T
H
T
H
T
H
T
H
T
T
T
T
Fig.3
Fig.4
prej nga shihet se
3
 = 8 =2 . Atëherë
gjasa që gjatë
këtyre tri hedhjeve
të paktën dy herë të
kemi H, është e
barabartë me 4/8
=1/2 , ndërsa gjasa
që vetëm një herë Page
të 9
kemi H, është 3/8 .
Probabiliteti

Loja mos u zemëro njeri,ështe mjaft e popullarizuare
dhe te ne.Ajo luhet me ndihmën e nje kubi te vogel
mbi faqen e të cilit janë shënuar me radhë 1.2....6
pika.Ky kub quhet zar (fig 4.5) dhe ai hidhet nga
lojtarët dhe lëvizja e figurës bëhet për aq
vende(pozicione) sa ështe numri i pikave në faqën e
siperme të kubit.
Fig.5
Page 10
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti




Nëse hedhim një herë zarin,bashkësia e te gjithë
numrave të pikave të mundshme (mostrave) që mund te
bien ne faqen e siperme te zarit,është
Ω={1,2,3,4,5,6}.Gjasa që gjatë një hedhje te zarit të
kemi 6 pika në faqen e siperme ështe e barabart me atë
që të marrin 5,ose 4,ose3,ose 2,ose1 dhe e barabart me
1/6.Por gjasa që te kemi 7pika ne faqen e siperme është
0, sepse kjo eshte nje ngjarje qe nuk mund te ndodh ( e
pamundshme).
Nese dy zare i hedhim njekohësisht,bashkësia Ω do të
jete:
Ω={(1,1),(1,2),…(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…(6,1),…,(6,6)
}.
Vërejmë se bashkesia Ω ka gjithsej 36
elemente,d,m,th.gjatë këtij eksperimenti kemi gjithsej 36
rezultate të mundshme.Prandaj gjasa që ne dy faqet e
zareve të paraqitet numër I njejtë I pikave është
6/36=1/6.
Page 11
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti

Nota
Shembull: Në një klasë me 32 nxënës të
gjimnazit “Frang Bardhi” nga Mitrovica, nga
lënda e matematikës janë përfunduar notat si
në tabelë: 4
3
2
1
Gjithsej
5
Numri I nx
4
8
12
6
2
36
 Të njejten klasë e viziton drejtori I shklollës dhe e zgjedh ne
menyre të rasishme një nxënes që ta përfaqësoj shkollën e
tyre në garat komunale të shahut për nxenes te shkollave
te mesme. Atëhere sa ështe gjasa që ai nxënës të kete
notën 5 (4) nga lënda e matematiës?
Page 12
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti



Zgjidhje; Që të zgjidhim këtë problem,duhet
të pergjigjemi ne pyetjet që vijojnë:
1)Në sa mënyra drejtori mund ta zgjejdhë
një nxënes të vetëm nga klasa me 32
nxënës.Sigurisht në 32 mënyra.
2)Në sa mënyra drejtori mund ta zgjedh një
nxënës të vetëm nga grupi i nxënësve që
kanë note 5(4) nga matematika? Sigurisht në
4(8)mënyra. Prandaj gjasa që nxënesi
zgjedhur te kete note 5 nga matematika,
është:
Page 13
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
4 1
Gjasa (5) 
  12.5%
32 8
8 1
Gjasa (4) 
  25%
32 4
12 3
Gjasa (3) 
  37.5%
32 8
6
3
Gjasa (2) 

 18.8%
32 16
2
1
Gjasa (1) 

 6.2%
32 16
Nota
5
4
3
2
1
Numri I nx.
4
8
12
6
2
Gjithsej
32
Gjasa
1/8
1/4
3/8
6/16
1/16
1
Page 14
Probabiliteti


Hedhja e monedhës metalike në ajër,e zarit, apo
zgjedhja e nje nxënësi nga klasa, janë
eksperimente.Përsëritja e një eksperimenti
quhet provë.Rezultatet e mundshme gjatë një
prove quhen mostra (efekte të dukshme)(ang.
Outcomes).Bashkesia e te gjitha mostrave të
mundshme (rezultate te mundshme ) gjatë një
prove të një eksperimenti,quihet hapsirë e te
gjitha mostrave te mundshme (ang.sample
space),të cilen do ta shenojme me Ω.
Bashkesia njëpikëshe {},ku do t’i quajmë
ngjarje elementare, ndërsa çdo nënbashkësi A
e bashkësisë quhet ngjarje.
Page 15
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti




Ngjarjet i kemi klasifikuar në tri grupe:
1) Ngjarje e thjeshtë – Një rezultat nga të
gjitha rezultatet e mundshme me një
karakteristikë. P.sh., Karta e kuqe nga letrat e
bixhozit
2) Ngjarje komplementare e A (e
shënuar ~A) – Të gjitha rezultatet që nuk
janë pjesë e ngjarjes A. P.sh.Të gjitha letrat
që nuk janë me shenjën e rombit.
3) Ngjarje e përbashkët – Përfshin dy e më
shumë karakteristika/ngjarje që parqiten
njëkohësisht. P.sh.,Një As që nuk është
gjithashtu I kuq
Page 16
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Koncepti e frekuencave relative/koncepti empirik

Probabiliteti i një ngjarje që
ka ndodhur në afat të gjatë
përcaktohet nga vështrimi se
çfarë pjese të kohës ngjarja
ka ndodhur në të kaluarën.
Numri I ngjarjeve që kanë ndodhur në të kaluarën
Probabiliteti i një ngjarje = ---------------------------------------------Numri total i vrojtimeve
Page 17
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti


Shembull.Përgjatë karrierës prof.Rahmije
ka shpërblyer 200 studentë me notën (10)
nga 1000 studentë sa ajo i ka mësuar.Sa
është probabiliteti që studenti në
departamentin e saj në këtë semestër do
të marrë 10 ?
Zgjidhje.Duke aplikuar konceptin e
frekuencave relative probabiliteti për një
(10) është :

P(A)=200/1000=0.2
Page 18
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Probabiliteti subjektiv




Probabiliteti subjektiv: Gjasat
(probabiliteti) për ndodhjen e një ngjarje
të veçantë që caktohet nga individi duke u
bazuar në kombinimet e përvojave të
kaluara të individit, opinionin personal dhe
analizës së situatave të veçanta.
Si shembuj të probabilitetit subjektiv
mund të shërbejnë si vijon:
Vlerësimi I probabilitetit se vitin e ardhshë
do të kemi kushte më të mira në fakultetin
tonë.
Vlerësimi I probabilitetit se studenti do të
marrë notën 10 nga ndonjë lëndë e
caktuar, etj.
Page 19
www.valmirnuredini.tk
Rregullat e probabilitetit
Rregullat e
probabilitetit
Rregullat
Aditive (të
mbledhjes)
Rregulla e
veçantë
Rregullat
Plotësuese
komplementare
Rregullat e
Multiplikatorit(të
shumëzimit
Rregulla e
përgjithshme
Rregulla e
veçantë
Rregulla e
përgjithshme
Page 20
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Rregullat aditive (të mbledhjes)

Nëse dy ngjarje A dhe B janë
reciprokisht përjashtuese,
rregulla e veçantë aditive
thotë se probabiliteti i
ndodhjes së A ose B është e
barabartë me shumën e
probabiliteteve të tyre.
 P(A
ose B)=P(A)+P(B)
Page 21
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti

Shembull. Stacioni I autobusëve ka marrë
informata për udhetimet nga Prishtina në
Mitrovicë
Arritja
Herët
Në kohë
Vonë
Anuluar
Gjithsej
Frekuenca
100
800
75
25
1000
Page 22
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti






Nëse A është ngjarja se udhetmit
arrin herët, atëherë probabiliteti :
P(A)=100/1000=0.1
Nëse B është ngjarja se udhetimi
do të arrijë vonë, atëherë :
P(B)=75/1000=0.075
Probabiliteti se autobusi do të vijë
herët ose do të arrijë vonë është:
P(AoseB)=P(A)+P(B)=0.1+0.075=
0.175
Page 23
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Rregulla plotësuese/komplementare


Provat e një eksperimenti mund të ndahen
në dy klasë(bashkësi):SUKSESE (rezultatet
të dëshiruara-mostrat e favorshme) dhe në
atë të DËSHTIMEVE(rezultatet jo të
dëshiruara-mostrat e disfavorshme).
Nëse ngjarja A mund të ketë
sukses(realizohet) në s-mënyra ndërsa të
dështojë në d-mënyra, probabiliteti që
ngjarja A të realizohet (të mos realizohet)
është :
s
P(s) 
sd
P(d ) 
d
sd
Page 24
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti

Ngjarja e cila nuk mund të dështojë ka
probabilitetin 1, ndërsa ngjarja e cila nuk
mund të realizohet ka probabilitetin 0
s
d
sd
P( s )  P(d ) 


1
sd sd sd
 Nga barazimi i fundit marrim se P(s)=1-P(d),
respektivisht P(d)=1-P(s). Probabiliteti P(s) e
P(d) quhen komplemente të njëri
tjetrit.Barazimet e fundit janë shumë të
dobishme,veçanërisht kur është vështirë të
llogaritet njëri probabilitet, ndërsa komplementi
Page 25
I tij jo.
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti

Shembull. Në një paketë ndodhen 3
fjalorë, 7 libra të matematikës dhe
11 romane.Sa është probabiliteti që
një libër i nxjerrë në mënyrë të
rastësishme nga paketa të jetë
roman (fjalor, libër i matematikës)?
Page 26
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti



Zgjidhja. Le të jetë :
P(roman)=Probabiliteti që libri të jetë roman
Meqenëse zgjedhjen e një romani mund ta bëjmë
në 11 mënyra, d.m.th. s=11, ndërsa zgjedhjen e
një libri tjetër (jo roman) mund ta bëjmë në
3+7=10 mënyra d.m.th. d=10. Atëherë :
s
11
11
P(roman) 


s  d 11  10 21
s
3
3 1
P( fjalor ) 



s  d 3  18 21 7
s
7
7 1
P(libër ) 



s  d 7  14 21 3
Page 27
Probabiliteti



Rregulla plotësuese/komplementare –
përdoret për probabilitetin se një
ngjarje që do të ndodhë përmes
heqjes së probabilitetit të një ngjarje
që nuk do të ndodhë nga1.
Nëse P(A) është probabiliteti I
ngjarjes A dhe P(~A) është plotësues i
A, atëherë
P(A)+P(~A)=1 ose P(A)=1-P(~A)
Page 28
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Rregulla aditive e përgjithshme


Nëse A dhe B janë dy ngjarje që
nuk janë reciprokisht
përjashtuese, atëherë, P(A ose
B) është i dhënë me formulën
vijuese:
P(A ose B)=P(A)+P(B)-P(A dhe
B)
Page 29
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti

Shembull.Në një mostër prej 500
studentëve, 320 kanë thënë se kanë PC,
175 kanë thënë se kanë Llap top dhe 100
kanë thënë se i kanë te dyja :
PC 320
Bashkë 100
Llap top0175
Page 30
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti






Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është
probabiliteti që studenti të ketë vetëm PC,
vetëm Llap Top dhe të dyja PC dhe Llap top?
P(PC)=320/500=0.64
P(LLT)=175/500=0.35
P(PC dhe LLT)=100/500=0.20
Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është
probabiliteti që studenti ka gjithashtu PC ose
Llap top në shtëpinë e tij?
P(PC ose LLT)=P(PC)+P(LLT)-P(PLL)=0.64+0.35-0.20=0.79
Page 31
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Rregulla e veçantë e multiplikatorit



Rregulla e veçantë e
mulltiplikatorit kërkon që dy
ngjarje A dhe B të jenë të
pavarura.
Dy ngjarje A dhe B janë të
pavaruara në se nodhja e njërës
nuk ka efekte në probabilitetin e
ndodhjes së tjetrës.
Rregulla e veçantë e
multiplikatorit është:

P(A dhe B)=P(A)*P(B)
Page 32
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti



Shembull. Shpendi posedon dy
fletëaksione të cilat janë të
pavaruara nga njëra
tjetra.Probabiliteti që fletëaksioni
A të rritet në vlerë në vitin e
ardhshëm është 0.5.Probabiliteti
se vlera e aksionit B do të rritet
në vitin e ardhshëm është 0.7.
Sa është probabiliteti se vlera e të
dy aksioneve do të rritet vitin e
ardhshëm?
P(A dhe B)=(0.5)(0.47)=0.35
Page 33
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti



Sa është probabiliteti që së paku njëra
prej tyre do të rritet në vlerë gjatë vitit
të ardhshëm(kjo nënkupton se njëri do
të rritet ose te dyja)?
Kështu,
P(së paku
një)=(0.5)(0.3)+(0.5)(0.7)+(0.7)(0.5)=0.84
Page 34
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Regulla e përgjithshme e
multiplikatorit

Regulla e përgjithshme e
multiplikatorit perdoret për të
gjetur probabilitetin e perbashket
se dy ngjarje qe do te ndodhin dhe
definohen kësisoji:Pë dy ngjarje A
dhe B,probabiliteti I perbashket se
të dy ngjarjet do te ndodhin
gjindet përmes shumëzimit te
probabilitetit se ngjarja A do te
ndodhë me probabilitetin e
kushtezuar të B duke ditur se
ngjarja A ka ndodhur.
Page 35
www.valmirnuredini.tk