Punim Seminarik ne Statistike Probabiliteti Punoi: Valmir Nuredini Probabiliteti m P n Bashkësia e të gjitha ngjyrave të mundshme (mostrave) që mund të jenë në semafor është: Gjasa që.
Download
Report
Transcript Punim Seminarik ne Statistike Probabiliteti Punoi: Valmir Nuredini Probabiliteti m P n Bashkësia e të gjitha ngjyrave të mundshme (mostrave) që mund të jenë në semafor është: Gjasa që.
Punim Seminarik ne Statistike
Probabiliteti
Punoi:
Valmir Nuredini
Probabiliteti
m
P
n
Bashkësia e të gjitha ngjyrave të mundshme
(mostrave) që mund të jenë në semafor është:
Gjasa që gjatë arritjes në semafor të jetë ngjyra e
KUQE është e barabartë me gjasën e ngjyrës
së VERDHË dhe të GJELBËRT dhe e barabartë
me : 1/3.Por gjasa që të kemi ndonjë ngjyrë
tjetër është 0, sepse kjo është një ngjarje që
nuk mund të ndodhë ( e pamundshme)
1, 2, 3
Page 2
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Probabiliteti është një degë e matematikës e cila merret
me studimin e eksperimenteve,rezultatet e të cilave
nuk dihen paraprakisht.P.sh. nëse e hedhim në ajër një
monedhë metalike(të themi një euro), në faqen e së
ciles janë shënuara numri H dhe shkrimi T
respektivisht, nuk mund të gjykojmë paraprakisht se a
do të bjerë faqja me numër H apo faqja me shkrim T e
drejtuar lart.Intuitivisht e dimë se
“gjasa”(besueshmeria) që të kemi H është e barabartë
me atë që të kemi T dhe kjo gjasë është e barabartë
50%.
Page 3
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Në këte raste përjashtohet mundesia që
monedha të ndaloje në tehun e
saj.Nëse ndodh kjo,hedhja e monedhës
përsëritet.Pra në këtë rast hedhja e
monedhës është një eksperiment
,ndërsa bashkesia {H,T} është
bashkesia e rezultateve te
mundshme (mostrave)(ang.outcomes).
Page 4
Fig.1
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Ky eksperiment dhe shumë eksperimente te tjera, ne
fakt, paraqesin një lojë fati (bixhoz).Pikërisht lojërat e
fatit dhe disa procese të tjera nga jeta ishin ato të
cilat i nxitën matematikën që të merren me to dhe të
shfrytezojnë njohuritë matematike per studimin e
tyre.Themelues te kësaj teorie konsiderohen
matematikanet francezë B.Pascal (1623-1662) dhe
P.Fermat (1601-1665).Më vonë, me këtë teori u
morën edhe shumë matematikanë te tjerë,kryesisht
francezë se Laplace, S.Poisson (1781-1840), G.Bayes
(1702-1761),A. De Moivre,Gauss,Bernoulli etj.Disa
prej tyre e shfrytëzojne këte teori per studimin e
lojrave te ndryshme te fatit
Page 5
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Pra probabiliteti bën matjen e gjasave
se një ngjarje e pasigurt mund të
ndodhë në të ardhmen.Probabiliteti
mund të marrë vlera vetëm në mes 0
dhe 1.
Fjala probabilitet rrjedh nga fjala
frenge probabilite,që d.m.th shkallë e
besushmëris që një ngjarje te ndodh.
Page 6
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
P.sh na është bërë e zakonshme përdorimi i
shprehjes si: ...gjasa qe nesër te jete kohë
me diell është rreth 80%;kam gjasë te lartë
qe ta kaloje provimin e matematikës,sepse
kam arritur t’i ushtroj rreth 90% të detyrave
të përmbledhjes prej së cilës profesori i
zgjedh detyrat e provimit;gjasa që të fitoj 7she ne Lotarinë e Kosoves 7/39 është shumë
e vogël edhe pse i kam paguar 1000
tiketa;gjasa qe dy persona te zgjedhun ne
menyre te rasishme të kenë datëlindjen e
njetë është e vogël,ndërsa ajo që të kenë
datëlindjen të ndryshme është mjaf e lartë etj
etj.
Page 7
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
T’i kthehemi shembullit të hedhjes së monedhës
metalike.Nëse me shënojmë bashkësinë e rezultateve të
mundhshme, atëherë =H , T
H
T
Fig.2
(Pika shënon fillimin e eksperimentit).Meqë = 2, gjasa që të
kemi H(oseT) është 1/2 .Po nëse i hedhim dy monedha në të
njejtën kohë,atëherë do të kemi bashkësinë Ω = (HH, HT, TH,
TT﴿,(shih diagramin e pemës fig.4.3).Atëherë gjasa që gjatë
hedhjes së njëkohësishme të monedhave metalike në ajër në të
dy monedhat të marrim H(T), është e barabartë me 1/4 , ndërsa
Page 8
gjasa që të paktën një herë të kemi H, është 3/4.
Probabiliteti
Nëse e hedhim një monedhë metalike tri herë
radhazi dhe rezultatet e fituara i evidencojmë, nga
diagrami i pemës lehtë mund të caktojmë
bashkësinë :Ω = (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT,
TTH, TTT) e të gjitha rasteve të mundshme,
H
H
H
H
H
T
H
T
T
H
T
H
T
H
T
H
T
T
T
T
Fig.3
Fig.4
prej nga shihet se
3
= 8 =2 . Atëherë
gjasa që gjatë
këtyre tri hedhjeve
të paktën dy herë të
kemi H, është e
barabartë me 4/8
=1/2 , ndërsa gjasa
që vetëm një herë Page
të 9
kemi H, është 3/8 .
Probabiliteti
Loja mos u zemëro njeri,ështe mjaft e popullarizuare
dhe te ne.Ajo luhet me ndihmën e nje kubi te vogel
mbi faqen e të cilit janë shënuar me radhë 1.2....6
pika.Ky kub quhet zar (fig 4.5) dhe ai hidhet nga
lojtarët dhe lëvizja e figurës bëhet për aq
vende(pozicione) sa ështe numri i pikave në faqën e
siperme të kubit.
Fig.5
Page 10
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Nëse hedhim një herë zarin,bashkësia e te gjithë
numrave të pikave të mundshme (mostrave) që mund te
bien ne faqen e siperme te zarit,është
Ω={1,2,3,4,5,6}.Gjasa që gjatë një hedhje te zarit të
kemi 6 pika në faqen e siperme ështe e barabart me atë
që të marrin 5,ose 4,ose3,ose 2,ose1 dhe e barabart me
1/6.Por gjasa që te kemi 7pika ne faqen e siperme është
0, sepse kjo eshte nje ngjarje qe nuk mund te ndodh ( e
pamundshme).
Nese dy zare i hedhim njekohësisht,bashkësia Ω do të
jete:
Ω={(1,1),(1,2),…(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…(6,1),…,(6,6)
}.
Vërejmë se bashkesia Ω ka gjithsej 36
elemente,d,m,th.gjatë këtij eksperimenti kemi gjithsej 36
rezultate të mundshme.Prandaj gjasa që ne dy faqet e
zareve të paraqitet numër I njejtë I pikave është
6/36=1/6.
Page 11
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Nota
Shembull: Në një klasë me 32 nxënës të
gjimnazit “Frang Bardhi” nga Mitrovica, nga
lënda e matematikës janë përfunduar notat si
në tabelë: 4
3
2
1
Gjithsej
5
Numri I nx
4
8
12
6
2
36
Të njejten klasë e viziton drejtori I shklollës dhe e zgjedh ne
menyre të rasishme një nxënes që ta përfaqësoj shkollën e
tyre në garat komunale të shahut për nxenes te shkollave
te mesme. Atëhere sa ështe gjasa që ai nxënës të kete
notën 5 (4) nga lënda e matematiës?
Page 12
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Zgjidhje; Që të zgjidhim këtë problem,duhet
të pergjigjemi ne pyetjet që vijojnë:
1)Në sa mënyra drejtori mund ta zgjejdhë
një nxënes të vetëm nga klasa me 32
nxënës.Sigurisht në 32 mënyra.
2)Në sa mënyra drejtori mund ta zgjedh një
nxënës të vetëm nga grupi i nxënësve që
kanë note 5(4) nga matematika? Sigurisht në
4(8)mënyra. Prandaj gjasa që nxënesi
zgjedhur te kete note 5 nga matematika,
është:
Page 13
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
4 1
Gjasa (5)
12.5%
32 8
8 1
Gjasa (4)
25%
32 4
12 3
Gjasa (3)
37.5%
32 8
6
3
Gjasa (2)
18.8%
32 16
2
1
Gjasa (1)
6.2%
32 16
Nota
5
4
3
2
1
Numri I nx.
4
8
12
6
2
Gjithsej
32
Gjasa
1/8
1/4
3/8
6/16
1/16
1
Page 14
Probabiliteti
Hedhja e monedhës metalike në ajër,e zarit, apo
zgjedhja e nje nxënësi nga klasa, janë
eksperimente.Përsëritja e një eksperimenti
quhet provë.Rezultatet e mundshme gjatë një
prove quhen mostra (efekte të dukshme)(ang.
Outcomes).Bashkesia e te gjitha mostrave të
mundshme (rezultate te mundshme ) gjatë një
prove të një eksperimenti,quihet hapsirë e te
gjitha mostrave te mundshme (ang.sample
space),të cilen do ta shenojme me Ω.
Bashkesia njëpikëshe {},ku do t’i quajmë
ngjarje elementare, ndërsa çdo nënbashkësi A
e bashkësisë quhet ngjarje.
Page 15
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Ngjarjet i kemi klasifikuar në tri grupe:
1) Ngjarje e thjeshtë – Një rezultat nga të
gjitha rezultatet e mundshme me një
karakteristikë. P.sh., Karta e kuqe nga letrat e
bixhozit
2) Ngjarje komplementare e A (e
shënuar ~A) – Të gjitha rezultatet që nuk
janë pjesë e ngjarjes A. P.sh.Të gjitha letrat
që nuk janë me shenjën e rombit.
3) Ngjarje e përbashkët – Përfshin dy e më
shumë karakteristika/ngjarje që parqiten
njëkohësisht. P.sh.,Një As që nuk është
gjithashtu I kuq
Page 16
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Koncepti e frekuencave relative/koncepti empirik
Probabiliteti i një ngjarje që
ka ndodhur në afat të gjatë
përcaktohet nga vështrimi se
çfarë pjese të kohës ngjarja
ka ndodhur në të kaluarën.
Numri I ngjarjeve që kanë ndodhur në të kaluarën
Probabiliteti i një ngjarje = ---------------------------------------------Numri total i vrojtimeve
Page 17
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Shembull.Përgjatë karrierës prof.Rahmije
ka shpërblyer 200 studentë me notën (10)
nga 1000 studentë sa ajo i ka mësuar.Sa
është probabiliteti që studenti në
departamentin e saj në këtë semestër do
të marrë 10 ?
Zgjidhje.Duke aplikuar konceptin e
frekuencave relative probabiliteti për një
(10) është :
P(A)=200/1000=0.2
Page 18
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Probabiliteti subjektiv
Probabiliteti subjektiv: Gjasat
(probabiliteti) për ndodhjen e një ngjarje
të veçantë që caktohet nga individi duke u
bazuar në kombinimet e përvojave të
kaluara të individit, opinionin personal dhe
analizës së situatave të veçanta.
Si shembuj të probabilitetit subjektiv
mund të shërbejnë si vijon:
Vlerësimi I probabilitetit se vitin e ardhshë
do të kemi kushte më të mira në fakultetin
tonë.
Vlerësimi I probabilitetit se studenti do të
marrë notën 10 nga ndonjë lëndë e
caktuar, etj.
Page 19
www.valmirnuredini.tk
Rregullat e probabilitetit
Rregullat e
probabilitetit
Rregullat
Aditive (të
mbledhjes)
Rregulla e
veçantë
Rregullat
Plotësuese
komplementare
Rregullat e
Multiplikatorit(të
shumëzimit
Rregulla e
përgjithshme
Rregulla e
veçantë
Rregulla e
përgjithshme
Page 20
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Rregullat aditive (të mbledhjes)
Nëse dy ngjarje A dhe B janë
reciprokisht përjashtuese,
rregulla e veçantë aditive
thotë se probabiliteti i
ndodhjes së A ose B është e
barabartë me shumën e
probabiliteteve të tyre.
P(A
ose B)=P(A)+P(B)
Page 21
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Shembull. Stacioni I autobusëve ka marrë
informata për udhetimet nga Prishtina në
Mitrovicë
Arritja
Herët
Në kohë
Vonë
Anuluar
Gjithsej
Frekuenca
100
800
75
25
1000
Page 22
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Nëse A është ngjarja se udhetmit
arrin herët, atëherë probabiliteti :
P(A)=100/1000=0.1
Nëse B është ngjarja se udhetimi
do të arrijë vonë, atëherë :
P(B)=75/1000=0.075
Probabiliteti se autobusi do të vijë
herët ose do të arrijë vonë është:
P(AoseB)=P(A)+P(B)=0.1+0.075=
0.175
Page 23
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Rregulla plotësuese/komplementare
Provat e një eksperimenti mund të ndahen
në dy klasë(bashkësi):SUKSESE (rezultatet
të dëshiruara-mostrat e favorshme) dhe në
atë të DËSHTIMEVE(rezultatet jo të
dëshiruara-mostrat e disfavorshme).
Nëse ngjarja A mund të ketë
sukses(realizohet) në s-mënyra ndërsa të
dështojë në d-mënyra, probabiliteti që
ngjarja A të realizohet (të mos realizohet)
është :
s
P(s)
sd
P(d )
d
sd
Page 24
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Ngjarja e cila nuk mund të dështojë ka
probabilitetin 1, ndërsa ngjarja e cila nuk
mund të realizohet ka probabilitetin 0
s
d
sd
P( s ) P(d )
1
sd sd sd
Nga barazimi i fundit marrim se P(s)=1-P(d),
respektivisht P(d)=1-P(s). Probabiliteti P(s) e
P(d) quhen komplemente të njëri
tjetrit.Barazimet e fundit janë shumë të
dobishme,veçanërisht kur është vështirë të
llogaritet njëri probabilitet, ndërsa komplementi
Page 25
I tij jo.
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Shembull. Në një paketë ndodhen 3
fjalorë, 7 libra të matematikës dhe
11 romane.Sa është probabiliteti që
një libër i nxjerrë në mënyrë të
rastësishme nga paketa të jetë
roman (fjalor, libër i matematikës)?
Page 26
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Zgjidhja. Le të jetë :
P(roman)=Probabiliteti që libri të jetë roman
Meqenëse zgjedhjen e një romani mund ta bëjmë
në 11 mënyra, d.m.th. s=11, ndërsa zgjedhjen e
një libri tjetër (jo roman) mund ta bëjmë në
3+7=10 mënyra d.m.th. d=10. Atëherë :
s
11
11
P(roman)
s d 11 10 21
s
3
3 1
P( fjalor )
s d 3 18 21 7
s
7
7 1
P(libër )
s d 7 14 21 3
Page 27
Probabiliteti
Rregulla plotësuese/komplementare –
përdoret për probabilitetin se një
ngjarje që do të ndodhë përmes
heqjes së probabilitetit të një ngjarje
që nuk do të ndodhë nga1.
Nëse P(A) është probabiliteti I
ngjarjes A dhe P(~A) është plotësues i
A, atëherë
P(A)+P(~A)=1 ose P(A)=1-P(~A)
Page 28
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Rregulla aditive e përgjithshme
Nëse A dhe B janë dy ngjarje që
nuk janë reciprokisht
përjashtuese, atëherë, P(A ose
B) është i dhënë me formulën
vijuese:
P(A ose B)=P(A)+P(B)-P(A dhe
B)
Page 29
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Shembull.Në një mostër prej 500
studentëve, 320 kanë thënë se kanë PC,
175 kanë thënë se kanë Llap top dhe 100
kanë thënë se i kanë te dyja :
PC 320
Bashkë 100
Llap top0175
Page 30
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është
probabiliteti që studenti të ketë vetëm PC,
vetëm Llap Top dhe të dyja PC dhe Llap top?
P(PC)=320/500=0.64
P(LLT)=175/500=0.35
P(PC dhe LLT)=100/500=0.20
Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është
probabiliteti që studenti ka gjithashtu PC ose
Llap top në shtëpinë e tij?
P(PC ose LLT)=P(PC)+P(LLT)-P(PLL)=0.64+0.35-0.20=0.79
Page 31
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Rregulla e veçantë e multiplikatorit
Rregulla e veçantë e
mulltiplikatorit kërkon që dy
ngjarje A dhe B të jenë të
pavarura.
Dy ngjarje A dhe B janë të
pavaruara në se nodhja e njërës
nuk ka efekte në probabilitetin e
ndodhjes së tjetrës.
Rregulla e veçantë e
multiplikatorit është:
P(A dhe B)=P(A)*P(B)
Page 32
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Shembull. Shpendi posedon dy
fletëaksione të cilat janë të
pavaruara nga njëra
tjetra.Probabiliteti që fletëaksioni
A të rritet në vlerë në vitin e
ardhshëm është 0.5.Probabiliteti
se vlera e aksionit B do të rritet
në vitin e ardhshëm është 0.7.
Sa është probabiliteti se vlera e të
dy aksioneve do të rritet vitin e
ardhshëm?
P(A dhe B)=(0.5)(0.47)=0.35
Page 33
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Sa është probabiliteti që së paku njëra
prej tyre do të rritet në vlerë gjatë vitit
të ardhshëm(kjo nënkupton se njëri do
të rritet ose te dyja)?
Kështu,
P(së paku
një)=(0.5)(0.3)+(0.5)(0.7)+(0.7)(0.5)=0.84
Page 34
www.valmirnuredini.tk
Probabiliteti
Regulla e përgjithshme e
multiplikatorit
Regulla e përgjithshme e
multiplikatorit perdoret për të
gjetur probabilitetin e perbashket
se dy ngjarje qe do te ndodhin dhe
definohen kësisoji:Pë dy ngjarje A
dhe B,probabiliteti I perbashket se
të dy ngjarjet do te ndodhin
gjindet përmes shumëzimit te
probabilitetit se ngjarja A do te
ndodhë me probabilitetin e
kushtezuar të B duke ditur se
ngjarja A ka ndodhur.
Page 35
www.valmirnuredini.tk