Transcript Regresi dengan Autokorelasi Pada Error Autocorrelation • Terjadi ketika kovarians dan korelasi antar galat ≠ tidak sama dengan nol. – Salah satu pelanggaran.

Regresi dengan Autokorelasi
Pada Error
Autocorrelation
• Terjadi ketika kovarians dan korelasi antar galat ≠ tidak sama dengan nol.
– Salah satu pelanggaran asumsi
covut , us   0, untuk beberapa t  s

Paling sering terjadi pada data deret waktu
 Karena urutan pengamatan mempunyai makna



Galat pada satu periode mempengaruhi galat pada periode berikutnya
Terutama pada periode dengan jarak pendek (mis: harian)
Pada data cross section jarang terjadi
 Karena urutan pengamatan tidak penting
Penyebab Autokorelasi
• Ommited important variable
• Misspecification of the model
• Systematic errors in measurement
Omitted variable
• Misalkan Yt dipengaruhi oleh X2t dan X3t
• Akan tetapi X3t tidak disertakan di dalam model.
Yt  1  1 X 2t  ut


ut  X 3t  vt
Sifat data time series:
 X3t berhubungan dengan X3,t-1, X3,t-2
Sehingga ut berhubungan dengan ut-1, ut-2
Misspecification of the model
• Misalkan Yt dipengaruhi oleh X2t secara kuadratik
Yt  1  2 X 2t  3 X 22t  ut

Akan tetapi suku kuadratik X2t tidak disertakan di dalam
model.
Yt  1  2 X 2t  vt

vt  3 X 22t  ut
Jika X2t naik atau turun seiring waktu maka vt juga akan naik
atau turun seiring waktu
Systematic Errors in Measurement
• Pengukuran yang dilakukan pada waktu
tertentu
– Misalkan tingkat sediaan pada waktu t
– Terjadi kesalahan dalam pengukuran tersebut
• Jika variabel bersifat akumulatif, maka
kesalahan pengukuran juga akan terakumulatif
• Error di pengamatan t dipengaruhi oleh error
pada waktu sebelumnya
Jenis autokorelasi
• Yang paling sering terjadi adalah first order serial autocorrelation:
AR(1)
Yt  1  2 X 2t  3 X 3t   k X kt  ut
ut  ut 1   t


ρ menyatakan hubungan fungsional antar galat ut
 Koefisien dari first order autocorrelation,
 Bernilai di antara -1 s/d 1
Dan εt adalah galat yang iid
• ρ=0, tidak ada autokorelasi
• ρ→1, positif korelasi serial, galat waktu sebelumnya
sangat mempengaruhi galat saat ini.
– Galat waktu t-1 yang (-) diikuti oleh galat waktu t
yang juga (-)
– Galat waktu t-1 yang (+) diikuti oleh galat waktu t
yang juga (+)
• ρ→-1, negatif korelasi serial, galat waktu
sebelumnya sangat mempengaruhi galat saat ini.
– Galat waktu t-1 yang (-) diikuti oleh galat waktu t
yang (+)
– Galat waktu t-1 yang (+) diikuti oleh galat waktu t
yang (-)
Positive Autocorrelation
+
uˆ t
uˆ t
-
+
+
uˆ t 1
Time
-
-
Autokorelasi positif, ditunjukkan oleh pola siklus dari galat seiring waktu.
Negative Autocorrelation
uˆ t
+
uˆ t
+
-
+
uˆ t 1
-
Time
-
Autokorelasi negatif, ditunjukkan dari pola yang ‘alternating’ dari galat seiring waktu
No pattern in residuals –
No autocorrelation
uˆ t
+
+
uˆ t
-
+
uˆ t 1
-
-
Tidak ada pola dari galat, tidak ada autokorelasi
Efek dari Autokorelasi
• Penduga OLS untuk koefisien regresi tetap tidak bias akan tetap
tidak lagi efisien (ragam besar)
– Tidak lagi BLUE
• Penduga ragam bagi koefisien regresi menjadi bias dan tidak
konsisten
– Uji hipotesis tidak lagi valid
– Tidak mencerminkan hal yang sebenarnya
• Overestimated R2:
– Lebih besar dari yang sebenarnya
– Model lebih sering dinyatakan ‘a good fit’ daripada hubungan yang
sebenarnya
– Uji t juga lebih sering dinyatakan nyata
Efek matematis terhadap ragam
penduga koefisien
• Ragam peragam penduga koefisien OLS tanpa autokorelasi:

var βˆ  X' X X' Euu'XX' X

1
1
var βˆ  X' X X'  2IXX' X

1
1
var βˆ   2 X' X X' XX' X   2 X' X
1
1
1

Jika terdapat autokorelasi, maka:
E ut , ut  E ut , ut 1 
 1

 
E u u'    2   2

 
  n 1

1
2
2

1
 n 2
 n 3
E ut , ut 2 
  n 1 

  n 2 
  n 3   Ω


 1 
• Ragam peragam penduga koefisien OLS dengan autokorelasi:

var βˆ AR1  X' X  X' E uu'XX' X   X' X1 X' ΩXX' X1
1
1
Detecting Autocorrelation:The
Durbin-Watson Test
Uji Durbin-Watson (DW):
- Uji untuk first order autocorrelation AR (1)
ut = ut-1 + vt
dengan vt  N(0, v2).
• Hipotesis uji:
– H0 : =0 and H1 : 0
• Statistik uji
T
  ut  ut 1 2
DW  t  2 T
 ut 2
t 2
The Durbin-Watson Test: Critical Values
Dengan penyederhanaan:
DW  21  ˆ 
ˆ : penduga koefisienkorelasipada AR(1)
 1  ˆ  1
0  DW  4
Sehingga:
ˆ  0 : DW  2
Untuk DW → 2, tidak akan ada cukup bukti untuk adanya autokorelasi
Terdapat dua nilai kritis bagi DW,
Upper critical value (du)
Lower critical value (dL)
Terdapat pula daerah yang ‘inconclusive’
The Durbin-Watson Test:
Interpretasi hasil uji
Syarat agar uji dapat dilakukan secara sah:
1. Ada suku konstan pada model regresi
2. Peubah eksogen non stokastik (fixed)
3. Tidak ada lag pada peubah eksogen
Uji Breusch-Godfrey
• Dapat dilakukan untuk menguji autokorelasi sampai derajat ke r
ut  1ut 1  2ut 2  3ut 3   rut r  vt
vt ~ N 0, v2 

Dengan mengkombinasikan sifat galat tsb dan model regresi:
Yt  1  2 X 2t   k X kt  1ut 1  2ut 2   rur1  vt
Hipotesis nol dan hipotesis alternatif:
H0 : 1 = 0 dan 2 = 0 dan ... dan r = 0
H1 : 1  0 atau 2  0 atau ... atau r  0
Langkah-langkah uji Breusch-Godfrey
• Langkah 1: Dapatkan penduga bagi model regresi
Yt  1  2 X 2t  3 X 3t   k X kt  ut

Langkah 2: Dapatkan penduga galat
uˆt  Yt  Yˆt

Langkah 3: Dapatkan penduga auxiliary regression bagi penduga
galat sebagai fungsi dari seluruh peubah eksogen dan galat sejumlah
lag yang ingin diuji
uˆt  0  1 X 2t   k X kt  k 1uˆt 1   k  puˆt  p
Langkah 4: Dapatkan statistik uji berdasarkan koefisien
determinasi dari auxiliary regression R2

LM  n  r R2 ~ r2

Langkah 5: Tolak H0 jika ada bukti yang nyata dari statistik uji

Penentuan r tergantung dari periode data (bulanan,
mingguan dsb) dan sifat siklusnya.
Cara Mengatasi Autokorelasi
• Berdasarkan pengetahuan tentang ρ diketahui
– ρ diketahui atau
– ρ tidak diketahui
Mengatasi autokorelasi ketika ρ
diketahui
• ρ diketahui dan diasumsikan autokorelasi terjadi seusai AR(1)
model.
Yt  1  2 X 2t  3 X 3t   k X kt  ut
(1)
ut  ut 1   t

Model yang sama berlaku pada waktu ke t-1
Yt 1  1  2 X 2t 1  3 X 3t 1   k X kt1  ut 1

Model pada t-1 dikalikan dengan ρ
Yt 1  1  2X 2t 1  3X 3t 1   k X kt1  ut 1
(2)
• Persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2)
Yt  1  2 X 2t  3 X 3t   k X kt  ut
Yt 1  1  2X 2t 1  3X 3t 1   k X kt1  ut 1
Yt  Yt 1  1 1     2  X 2t  X 2t 1    k X kt1  X kt1   ut  ut 1 
Yt*  1*  2 X 2*t   k X 3*t   t


Akibat pembedaan, pengamatan berkurang 1
Pengamatan pertama digantikan dengan:
Y1*  Y1 1   2 , X i*1  X i1 1   2
Mengatasi autokorelasi ketika ρ tidak diketahui: CochraneOrcutt Iterative Procedure
• Langkah 1: duga model regresi dan dapatkan penduga galat
• Langkah 2: duga koefisien korelasi serial orde 1 dengan metode OLS
dari:
uˆt  uˆt 1   t

Langkah 3: Lakukan transformasi untuk peubah peubah yang dipakai
dengan hubungan berikut:
Yt*  Yt  ˆYt 1 , 1*  1 1  ˆ , X it*  X it  ˆX it1
Y1*  Y1 1  ˆ 2 , X i*1  X i1 1  ˆ 2

Langkah 4: Dapatkan penduga regresi dan penduga galat untuk
persamaan berikut:
Yt*  t*  2 X 2*t   k X 3*t  t

Ulangi lagi langkah 2 sampai dengan 4 sampai dipenuhi kriteria
berikut:
ˆ iterasike  j   ˆ iterasike   j  1  0