Transcript 10Ekonometrikax

Ekonometrika
Program Studi Statistika, semester Ganjil 2012/2013
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Heteroskedasticity

Penyimpangan asumsi ketika ragam galat tidak konstan

Ragam galat populasi di setiap Xi tidak sama

Terkadang naik seiring dengan nilai Xi

Terkadang turun seiring dengan nilai Xi

Sering terjadi pada data cross section
Ilustrasi grafis asumsi Homokesdastisitas


var ui X i   E ui2 X i  
2
Ilustrasi grafis asumsi Heterokesdastisitas


var ui X i   E ui2 X i   i
2
X1  X 2  X 3
12   22   32
Contoh-contoh kasus dengan
Heteroskedastisitas

Error learning models




Pada kasus pendapatan dan saving



Kesalahan semakin sedikit seiring waktu
Pada kasus menduga jumlah kesalahan ketik berdasarkan lama jam
latihan.
Semakin lama jam latihan, rata-rata maupun ragam kesalahan ketik
semakin kecil
Semakin banyak pendapatan semakin banyak pilihan jumlah uang yang
ingin ditabung
Semakin banyak pendapatan semakin beragam jumlah saving
Adanya pencilan atau sebaran salah satu peubah eksogen yang
menjulur

Pendapatan , tingkat pendidikan

Kesalahan dalam spesifikasi model


Tidak menggunakan peubah eksogen yang sesuai
Bentuk fungsional yang kurang tepat
Efek dari Heterokesdastisitas

Penduga OLS bagi β tetap tidak bias dan konsisten.

Heterokesdastisitas meningkatkan ragam dari sebaran
penduga β


Pada uji t dan uji F terjadi underestimation bagi ragam atau
simpangan baku penduga parameter




Penduga β bukan lagi penduga yang paling efisien
Statistik uji t atau statistik uji F menjadi lebih besar dari yang
sebenarnya
Lebih sering terjadi penolakan H0 pada uji koefisien parameter
Uji-uji tersebut menjadi kurang terpercaya
Efek secara matematis terhadap struktur
ragam penduga koefisien

Untuk regresi linier sederhana:
varˆ   
2

 X
1
i X
2
1

2
x
i
2
Dengan modifikasi:
 
1
2
ˆ
var  2  


2
x
i

2
2
x
 x 
2
i
2 2
i
Jika ragam tidak konstan maka:

2 2
x
 i
 x 
2 2
i
 
var ˆ2 
2 2
x
 i i
 x 
2 2
i

var ˆ2



  x 
 x 
2
i
2
i
2 2
i
(*)
Pada kasus heterokesdastisitas, ragam berfluktuasi seiring nilai X
Ragam penduga β menjadi lebih besar → penduga yang tidak efisien
Jika heterokesdastisitas tidak terdeteksi:
 pada uji t dan uji F digunakan satu nilai penduga ragam, dan dipakai
2
hubungan berikut:
x

i
2
var ˆ2  ˆ
2 2
 
 x 
i

Nilai tersebut akan jauh lebih kecil daripada nilai ragam sebenarnya
sesuai hubungan di (*)

Underestimated variance or standard deviation:


Memberikan nilai statistik uji t atau F yang terlalu besar
Lebih sering menghasilkan penolakan H0
Cara mendeteksi

Secara grafis


Berdasarkan plot residual
Dengan uji statistik
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Breusch-Pagan LM test
Glesjer LM test
Harvey-Godfrey LM test
Park LM test
Goldfeld-Quant test
White test
Pada 1, 2, 3, 4, 6, dibentuk auxiliary regression dengan residual sebagai peubah
endogen dan X sebagai peubah eksogen
Koefisien determinasi dari auxiliary regression dipakai sebagai statistik uji
Pada 5 dilakukan sub sampling berdasarkan nilai X yang menyebabkan
heterokesdastisitas
Pendeteksian Heteroskedastisitas secara grafis
u^2
no heteroscedasticity
u^2
yes
^
Y
u^2
yes
yes
^
Y
u^2
^
Y
u^2
yes
^
Y
u^2
^
Y
yes
^
Y
Breusch-Pagan LM test
Yi  1  2 X 2i  3 X 3i  ...   k X ki  ui

Langkah 1: duga model regresi di atas dan dapatkan penduga
residualnya
uˆi  Yˆi  Yi

Langkah 2: menduga auxiliary regression berikut di mana peubah
bebas yang digunakan adalah peubah-peubah yang mungkin
mempengaruhi ragam galat
 Peubah eksogen X
uˆi2  a1  a2 X 2i  ... a2 X pi  vi

Langkah 3: formulasikan hipotesis nol dan alternatif
 Hipotesis nol: kasus homokesdastisitas, tidak ada hubungan
antara X dan residual
 Hipotesis alternatif: kasus heterokesdastisitas, terdapat
hubungan antara X dan residual
H0  a1  a2  ...  a p
H1 : palingsedikit satu ai  0

Langkah 4: Dapatkan statistik uji berdasarkan koefisien
determinasi dari auxiliary regression R2
LM  nR ~ 
2

2
p 1
Derajat bebas adalah jumlah X
yang digunakan di dalam
auxiliary regression
Langkah 5: Tolak H0 jika ada bukti yang nyata dari statistik uji
Glesjer LM test
Yi  1  2 X 2i  3 X 3i  ...   k X ki  ui

Langkah 1: duga model regresi di atas dan dapatkan penduga
residualnya
uˆi  Yˆi  Yi

Langkah 2: menduga auxiliary regression berikut di mana peubah
bebas yang digunakan adalah peubah-peubah yang mungkin
mempengaruhi ragam galat
 Peubah eksogen X
uˆi  a1  a2 X 2i  ... a2 X pi  vi

Langkah 3: formulasikan hipotesis nol dan alternatif
 Hipotesis nol: kasus homokesdastisitas, tidak ada hubungan
antara X dan residual
 Hipotesis alternatif: kasus heterokesdastisitas, terdapat
hubungan antara X dan residual
H0  a1  a2  ...  a p
H1 : palingsedikit satu ai  0

Langkah 4: Dapatkan statistik uji berdasarkan koefisien
determinasi dari auxiliary regression R2
LM  nR ~ 
2

2
p 1
Derajat bebas adalah jumlah X
yang digunakan di dalam
auxiliary regression
Langkah 5: Tolak H0 jika ada bukti yang nyata dari statistik uji
Harvey-Godfrey LM test
Yi  1  2 X 2i  3 X 3i  ...   k X ki  ui

Langkah 1: duga model regresi di atas dan dapatkan penduga
residualnya
uˆi  Yˆi  Yi

Langkah 2: menduga auxiliary regression berikut di mana peubah
bebas yang digunakan adalah peubah-peubah yang mungkin
mempengaruhi ragam galat
 Peubah eksogen X
 
ln uˆi2  a1  a2 X 2i  ... a2 X pi  vi

Langkah 3: formulasikan hipotesis nol dan alternatif
 Hipotesis nol: kasus homokesdastisitas, tidak ada hubungan
antara X dan residual
 Hipotesis alternatif: kasus heterokesdastisitas, terdapat
hubungan antara X dan residual
H0  a1  a2  ...  a p
H1 : palingsedikit satu ai  0

Langkah 4: Dapatkan statistik uji berdasarkan koefisien
determinasi dari auxiliary regression R2
LM  nR ~ 
2

2
p 1
Derajat bebas adalah jumlah X
yang digunakan di dalam
auxiliary regression
Langkah 5: Tolak H0 jika ada bukti yang nyata dari statistik uji
Park LM test
Yi  1  2 X 2i  3 X 3i  ...   k X ki  ui

Langkah 1: duga model regresi di atas dan dapatkan penduga
residualnya
uˆi  Yˆi  Yi

Langkah 2: menduga auxiliary regression berikut di mana peubah
bebas yang digunakan adalah peubah-peubah yang mungkin
mempengaruhi ragam galat
 Peubah eksogen X
 
ln uˆi2  a1  a2 ln X 2i  ... a2 ln X pi  vi

Langkah 3: formulasikan hipotesis nol dan alternatif
 Hipotesis nol: kasus homokesdastisitas, tidak ada hubungan
antara X dan residual
 Hipotesis alternatif: kasus heterokesdastisitas, terdapat
hubungan antara X dan residual
H0  a1  a2  ...  a p
H1 : palingsedikit satu ai  0

Langkah 4: Dapatkan statistik uji berdasarkan koefisien
determinasi dari auxiliary regression R2
LM  nR ~ 
2

2
p 1
Derajat bebas adalah jumlah X
yang digunakan di dalam
auxiliary regression
Langkah 5: Tolak H0 jika ada bukti yang nyata dari statistik uji
Goldfeld-Quant Test

Ide dasar: jika ragam sama untuk seluruh pengamatan
(homoskedastic) maka:


Uji dapat dilakukan jika diketahui peubah mana yang paling
berhubungan dengan galat residual


Ragam dari sub sampel pertama akan sama dengan ragam dari sub
sampel kedua
Dari plot antara residual dengan masing-masing peubah eksogen
Kelemahan:



Jika heteroskedastisitas disebabkan oleh lebih dari satu peubah
eksogen
Tidak dapat dilakukan pada data deret waktu
Lebih sesuai untuk regresi linier sederhana dengan satu peubah
eksogen

Langkah 1:



Tentukan peubah eksogen yang paling berhubungan dengan ragam
galat.
Urutkan pengamatan untuk peubah ini dari yang terbesar ke yang
terkecil
Langkah 2:





Bagi pengamatan terurut menjadi dua sub sampel yang sama besar
c pengamatan di tengah dihilangkan
2 sub sampel beranggotakan ½(n - c) pengamatan
Sub sampel I beranggotakan pengamatan dengan nilai-nilai besar
Sub sampel II beranggotakan pengamatan dengan nilai-nilai kecil

Langkah 3:



Lakukan analisis regresi untuk Y terhadap X yang digunakan di
langkah 1, pada masing-masing sub sampel
Dapatkan JK Residual untuk masing-masing model
Langkah 4:

Hitung statistik uji F sbb:
JKG1
F
~ F 1 n c k , 1 n c k 
2
2
JKG2

JKG1 adalah JK Galat dengan
nilai terbesar.
k jumlah parameter yang
diduga
Langkah 5: Tolak H0 jika ada bukti yang nyata dari statistik uji

Bagaimana menentukan nilai c, jumlah pengamatan di
tengah yang dihapuskan?

Umumnya digunakan 1/6 atau 1/3 dari jumlah pengamatan
White’s test

Uji LM yang mempunyai kelebihan dari uji-uji yang lain

Tidak memerlukan pengetahuan awal tentang peubah eksogen
penyebab heteroskedastisitas

Tidak sensitif terhadap asumsi kenormalan

Dapat dipakai untuk regresi dengan k parameter (k-1 peubah
eksogen)

Untuk ilustrasi digunakan regresi dengan 2 peubah eksogen
White’s test
Yi  1  2 X 2i  3 X 3i  ui

Langkah 1: duga model regresi di atas dan dapatkan penduga
residualnya
uˆi  Yˆi  Yi

Langkah 2: menduga auxiliary regression berikut
 Semua peubah eksogen digunakan
 Digunakan pangkat dua dari semua peubah eksogen
 Interaksi yang mungkin antara semua peubah eksogen
uˆi2  a1  a2 X 2i  a3 X 3i  a4 X 22i  a5 X 32i  a6 X 2i X 3i  vi

Langkah 3: formulasikan hipotesis nol dan alternatif
 Hipotesis nol: kasus homokesdastisitas, tidak ada hubungan
antara X dan residual
 Hipotesis alternatif: kasus heterokesdastisitas, terdapat
hubungan antara X dan residual
H0  a1  a2  ...  a6
H1 : palingsedikit satu ai  0

Langkah 4: Dapatkan statistik uji berdasarkan koefisien
determinasi dari auxiliary regression R2
LM  nR2 ~ 621

Langkah 5: Tolak H0 jika ada bukti yang nyata dari statistik uji
Metode mengatasinya


Weighted least square
White method
Weighted Least Square

Jika penyebab heterokesdastisitas diketahui, informasi ini dapat
digunakan untuk menerapkan metode Weighted Least Square (WLS)

Sebagai ilustrasi dari penerapan WLS: misalkan ragam galat
berhubungan dengan suatu peubah zi
varui    2 zi2

Bagi persamaan regresi dengan zt
yi
1
x2i
x3i
 1   2
 3
 vi
zi
zi
zi
zi
vt 
ut
zt

Dengan hubungan tersebut, dapat dibentuk ragam yang konstan, sbb:
 ui  varui   2 zi2
2
varvi   var  



2
2
z
z
z
i
i
 i

Parameter diperoleh dari model dengan peubah yang sudah diboboti
oleh zt
White’s Method




Heteroskedasticity – consistent estimation method
Dipakai ketika penyebab heteroskedastisitas tidak
diketahui
Diberikan koreksi tertentu dari White, pada penduga
ragam dan simpangan baku dari metode OLS.
White’s heteroskedasticity – corrected standard errors ~
Robust Standard Errors.