Transcript galat - GEOCITIES.ws

METODE NUMERIK
DERET TAYLOR & ANALISIS GALAT
Prinsip perhitungan dalam numerik
• Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus
“tidak ada algoritma untuk segalanya”
• Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan
error kecil
OUTLINE
•
•
•
•
Penyajian Bilangan
Angka Signifikansi
Teorema Deret Taylor
Konsep galat
Penyajian bilangan
Bilangan ada 2:
1. Eksak
2. Tidak eksak




Perhitungan matematika tidak eksak , e,
Perhitungan desimal yang berulang 0.3333….
Hasil perhitungan deret tak hingga e
Hasil pengukuran
Floating point
• f.p x = a x bn
– a = matise (0 ≤ a ≤ 1)
– b = basis
– n = eksponen (bilangan bulat)
Dalam alat hitung elektronik biasanya
digunakan basis b = 10
Desimal dan angka signifikan
• Misal
x = 0.05  2 desimal 1 angka signifikan
x = 0.30  2 desimal 2 angka signifikan
Angka signifikan adalah angka 0 yang diabaikan
untuk yang berada dibelakang sedangkan dihitung
untuk angka 0 yang berada di depan
Angka Signifikan
•
•
•
•
•
•
Komputasi thd suatu bilangan  Bilangan hrs meyakinkan ?
Konsep angka signifikan  keandalan sebuah nilai numerik
Banyak angka signifikan  banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkan
Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran
Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why?
Ketidakpastian kepastian, jk pakai notasi ilmiah
How?
0,000123
 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)
0,00123
 mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)
12.300
 Tidak jelas berapa AS, karena msh ditanyakan nol itu
berarti atau tidak…!
1,23 x 104
 mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah)
1,230 x 104
 mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)
1,2300 x 104
 mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)
Angka signifikansi
• Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana
jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai
tersebut diterima atau tidak. Sebagai contoh
perhatikan nilai pada penggaris :
Angka Signifikan
• Nilai yang ditunjuk tidak tepat pada angka yang ditentukan
karena selisih 1 strip, dalam kejadian ini bila dianggap nilai
signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60.
• Bila penggaris tersebut dilihat dengan skala lebih besar
pada daerah yang ditunjuk oleh jarum :
• Dari gambar ini, dengan nilai signifikan 10-1 (0,1) maka
diperoleh nilainya 59 atau 59,5.
Angka Signifikan
Dua arti penting angka signifikan
“AS akan memberikan
kriteria untuk merinci
seberapa keyakinan kita
mengenai hasil
pendekatan dalam
metode numerik”
“AS memberikan pengabaian dari
angka signifikan sisa utk
besaran-besaran yang spesifik
yang tidak bisa dinyatakan
secara eksak krn jumlah digit
yang terbatas”  (kesalahan
pembulatan/round-off-error)
Aritmatika dalam floating point
• Penjumlahan /pengurangan
– Ubah bilangan ke f.p
– Ubah eksponen mengikuti eksponen yang besar
– Jumlahkan/kurangkan
– Sesuaikan desimal/a.s yang diminta
Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal)
x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103
y = 0.14 = 0.00014 x 103 = 0.00 x 103
x + y = 0.12 x 103 + 0.00 x 103= 0.12 x 103 = 120
• Perkalian/pembagian
Ubah bilangan ke f.p
Untuk perkalian : jumlahkan eksponen dan kalikan
matise
Untuk pembagian : kurangkan eksponen dan bagikan
matise
Tulis hasil dalam f.p sesuai dengan desimal yang diminta
Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal)
x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103
y = 0.14 = 0. 14 x 100
x . y = (0.12 x 103) . (0.14 x 100)= 0.0168 x 103
= 0.02 x 103 = 20
Akurasi Dan Presisi
Akurasi Dan Presisi
• Nilai presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang
digunakan dan sebaran bacaan berulang pada alat ukur.
• Nilai akurat atau akurasi mengacu pada dekatnya nilai
pendekatan yang dihasilkan dengan nilai acuan atau nilai
eksak.
Misalkan nilai eksak diketahui ½, sedangkan hasil pendekatan
adalah 0.500001 maka hasil ini dikatakan akurat bila
torelansinya 10-4.
• Dari keadaan akurat dan presisi ini, akan muncul apa yang
dinamakan kesalahan (error).Dalam analisa numerik,
dimana penyelesaian dihitung menggunakan nilai-nilai
pendekatan, error menjadi hal yang sangat penting dan
diperhatikan.
Analisis Galat
• Galat berasosiasi dengan seberapa dekat
solusi hampiran dengan solusi sejatinya
• Bagaimana galat timbul
• Bagaimana menghitung galat
• Alur perhitungan
Input
Proses
Output
Sumber-sumber galat :
• Galat yang ada pada input :
– Chopping error
– Rounding error
– Bilangan yang dimasukkan bukan bilangan
eksak
• Galat yang ada pada proses :
– Rambatan galat
– Rumus/metode/algoritma tidak tepat
– Kesalahan alat
– Human error
• Galat pada output :
– Chopping error
– Rounding error
 Misal x adalah nilai eksak dan x*
adalah nilai pendekatan/hampiran
maka
galat  = x – x*
 Galat absolut ? a = |x – x*|
 Galat absolut relatif ? Galat relatif
sejati
a
r =
𝑥
r 
x x*
x
• Misal nilai sejati 10/3 dan nilai hampiran
3.333
• Hitung galat, galat mutlak galat relatif, dan
galat hampiran!
Galat = 10/3-3.333 = 10/3-3333/1000 = 1/3000= 0.000333…
Galat mutlak=|0.000333…| = 0.000333…
Galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/10000 = 0.0001
Galat Relatif Hampiran
• Dalam praktek tidak diketahui nilai sejati x, karena itu galat
seringkali dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga
sering disebut galat relatif hampiran (ERA)
• Pendekatan Lelaran (iteration)
• 𝞮.ra =
𝑎𝑟+1 − 𝑎𝑟
𝑎𝑟+1
• Iterasi berhenti jika | ERA| < Es
• Contoh soal
Misalkan prosedur lelaran
Xr+1 = (−𝑥𝑟 3 + 7𝑥𝑟 )/5
Misalkan x0 (nilai sejati dugaan awal) 0.94 dan Es yang diinginkan
adalah 0.000065 .berapakah nilai sejati yang dapat dipakai untuk
pengukuran?
Deret Taylor
• Fungsi kompleks  disederhanakan dengan
bentuk polinom
• Galat pada solusi numerik harus dihubungkan
dengan seberapa teliti polinom menghampiri
fungsi sebenarnya
• Tool untuk membuat polinom hampiran
adalah deret taylor
Definisi
Andaikan f dan turunannya f’, f’’, f’’’ dst di dalam selang [a,b].
Misalkan x0 𝞮 [𝑎, 𝑏] maka untuk nilai nilai x disekitar x0 dan x 𝞮 [
𝑎,𝑏] , f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret taylor :
𝑓 𝑥 = 𝑓𝑥0 +
(𝑥−𝑥0) ′
𝑓
1!
𝑥0 +
x
x0
(𝑥−𝑥0)2 ′′
𝑓
2!
𝑥0
(𝑥−𝑥0)𝑚 𝑚
+…
𝑓
𝑚!
𝑥0 +…
Definisi
• Deret taylor = tak berhingga
• Jika a = 0 maka akan menjadi deret MacLaurin
'
f ( x )  x.
f (0)
1!
''
 x .
2
f (0)
2!
''
 x .
3
f (0)
3!
 ...
contoh
• Hampiri fungsi f(x) = sin x ke dalam deret taylor di
sekitar xo = 1
• f(x) = sin x
– f’(x) = cos x
– f’’(x) = - sin x
– f’’’(x) = -cos x
– Dst….
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 1 +
𝑥−1
1!
cos(1) +
𝑥−1 2
(− sin
2!
1 )+
𝑥−1 3
(− cos
3!
1 )+…
contoh
• Bila dimisalkan x-1 = h, maka
ℎ2
ℎ3
ℎ4
sin 𝑥 = sin 1 + ℎ cos 1 − sin 1 − cos 1 + sin 1 +. .
2
6
24
= 0.8415 + 0.5403h-0.4208 ℎ2 - 0.0901 ℎ3 + 0.035ℎ4 + ⋯
• Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya,
maka -untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku
orde tertentu. Deret Taylor yang dipotong sampai suku orde
ke-n dinamakan deret Taylor terpotong dan dinyatakan oleh:
yang dalam hal ini,
disebut galat atau sisa (residu).
• Dengan demikian deret Taylor yang dipotong sampai suku
orde ke-n dapat ditulis sebagai
yang dalam hal ini,
• Sebagai contoh, sin(x) pada Contoh 2.1 jika dihampiri dengan
deret Taylor orde 4 di sekitar x0 = 1 adalah:
Contoh.
• Deret MacLaurin
f ( x )  x.
cos 0
 x .
2
 sin 0
1!
f ( x)  x 
 x .
3
2!
x
3
6

x
3!
5
120
 cos 0
 ...
 ...
• Uraikan cos(x) dalam deret Maclaurin!
f(x) = cos(x),
f ‘(x) = -sin(x),
f “(x) = -cos(x),
f “’(x) =sin(x),
f’’’’(x) = cos(x), dan seterusnya. Deret Maclaurin =
f ( x)  x 
x
2
2!

x
4
4!

x
6
6!
...
Deret Taylor & Deret MacLaurin
• Deret Taylor di titik a
'
f ( x )  ( x  a ).
f (a )
''
 (x  a) .
2
f (a )
1!
''
 (x  a) .
3
f (a )
2!
 ...
3!
• Jika a = 0 maka akan menjadi deret MacLaurin
'
f ( x )  x.
f (0)
1!
''
x .
2
f (0)
2!
''
x .
3
f (0)
3!
 ...
• Deret Taylor dan deret MacLaurin dapat digunakan
dalam perhitungan untuk mencegah hilangnya angka
signifikan
• Contoh.
3
5
3
3

x
x 
x
x
 x  
sin x  x   x 



6
120 
6
120

• Untuk x = 0.5 maka sin 0.5 – 0.5 = 0.02057 (4 a.s)
   1
x 


 x  x  x   
  

6
120
   6 120   
x
3
x
3
• Diperoleh 0.02031 (4 a.s)
Macam-macam galat
1.
Chopping error
Galat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka
sesuai desimal yang diminta
Contoh.
x = 0.378456x103 dipenggal hingga tiga desimal
x* = 0.378x103
galat a = |x – x*| = |0.378456x103 – 0.378x103|
= 0.000456x103 = 0.456
2. Round off error
Galat yang terjadi akibat membulatkan suatu
nilai
Contoh.
x = 0.378546x103 dibulatkan menjadi 3 desimal
x* = 0.379x103
galat a = |x – x*|
= |0.378546x103 – 0.379x103|
= 0.000454x103 = 0.454
3. Truncation error
Galat yang muncul akibat pemotongan
proses hitung tak hingga, misal deret
Taylor, deret MacLaurin
Contoh.
sin x  x 
x
3

3!
sin x  x 
x
5
5!
3
3!
x

x
5
5!

x
7
7!
 ...
Galat Pemotongan
(Truncation error)
• Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan
akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula
eksak, maksudnya Ekspresi matematika yang kompleks diganti
dengan formula yang sederhana
• Banyak metode numerik diperoleh dengan penghampiran
fungsi deret taylor. (pemotongannya pada orde tertentu)
• menghampiri galat pemotongan ini dengan rumus suku
sisa
• Nilai Rn yang tepat hampir tidak pernah dapat kita
peroleh, karena kita tidak mengetahui nilai c sebenarnya
terkecuali informasi bahwa c terletak pada suatu selang
tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai
maksimum yang mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang
yang diberikan itu, yaitu:
• Contoh
Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar x0 = 1 untuk menghampiri
ln(0.9) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang
dibuat
• Penyelesaian:
Tentukan turunan fungsi f(x) = ln(x) terlebih dahulu
f(x) = ln(x)  f(1)=0
f ’(x) = 1/x  f ‘(1)=1
f “(x) = -1/𝑥 2 f “(1) = -1
f ‘’’(x) = 2/𝑥 3 f ‘’’(1) = 2
6
4
𝑓
𝑥 = − 4 → 𝑓 4 1 = −6
𝑥
24
5
𝑓
𝑥 = 5 → 𝑓 5 𝑐 = 24/𝑐 5
𝑥
• Deret Taylornya adalah
• dan nilai Max |24/c5} di dalam selang 0.9 < c < 1 adalah pada
c = 0.9 (dengan mendasari pada fakta bahwa suatu pecahan
nilainya semakin membesar bilamana penyebut dibuat lebih
kecil), sehingga
• Jadi ln(0.9) = -0.1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil
dari 0.0000034.
Galat total
• Galat akhir atau galat total atau pada solusi
numerik merupakan jumlah galat pemotongan
dan galat pembulatan. Misalnya pada Contoh
sebelumnya kita menggunakan deret
Maclaurin orde-4 untuk menghampiri cos(0.2)
sebagai berikut:
Nested form
• Nested form menjadikan operasi perhitungan
lebih efisien dan dapat meminimalisasi galat
• Contoh. f(x) = 3 + 2.5x + 5.35x2 – 4x3
f(0.25) = 4.521875
– Nested form f(x) = 3 + x(2.5+x(5.35+x(-4)))
– f(0.25)=3.896875
– Galat yang terjadi 0.625
Hilangnya angka signifikan
• Hilangnya angka signifikan terjadi jika dua
buah bilangan yang hampir sama
dibandingkan. Hilangnya angka signifikan
sering berakibat fatal bagi perhitungan
numerik
• Contoh.
13 = 13.0000
6 a.s
168  12 . 9615
6 a.s
0.0385
3 a.s