De Markowitz à Monte Carlo

Les problèmes de la Mise en œuvre de la Théorie du portefeuille

Agenda      Part 1: Le paradoxe de Markowitz Part 2 : Les simulations Part 3 : Le resampling Part 4: Le modèle de Black & Litterman Part 5 : Les autres modèles bayésiens

Le paradoxe de Markowitz

Les difficultés de la théorie du portefeuille

La théorie du portefeuille

 Une théorie précise, élégante

Er

Portef ma ximisa nt le ra tio de Sha rpe Portef de va ria nce minima le



La théorie du portefeuille

 Aux résultats essentiels pour l’industrie :     Gestion indicielle Styles d’indices Méthodes d’évaluation des performances …

La théorie du portefeuille

 Dont la mise en œuvre a toujours rencontré beaucoup de difficultés.

   Leçons des optimisations sur données historiques : les portefeuilles sont très concentrés; les allocations sont très sensibles aux prévisions.

Un exemple

  Les données utilisées :    Indices MSCI en actions Avec une périodicité mensuelle De janvier 1988 à juillet 2007 Les pays : USA, UK, Japon, France, Allemagne, Italie, Espagne, Hong Kong, pays émergents hors Asie, pays émergents d’Asie

L’optimisation dans la pratique

USA UK GERMANY France ITALY SPAIN JAPAN HONG KONG EM ASIA EM ex ASIA Er 8,68% 6,62% 8,81% 9,71% 5,36% 8,47% -0,08% 9,40% 7,41% 15,09% volatilité 17,20% 16,46% 21,95% 19,74% 23,32% 22,47% 23,97% 27,92% 26,85% 29,87%

Un exemple

 Les paramètres de l’optimisation  pour un niveau d’aversion au risque = 5  Une absence de vente à découvert

L’optimisation dans la pratique

Un portefeuille optimal concentré

titre

USA UNITED KINGDOM GERMANY France ITALY SPAIN JAPAN HONG KONG EM ASIA EM ex ASIA

parts

44,52% 8,42% 0,00% 30,81% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 16,24%

Composition des portefeuilles optimaux

1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 10 0 90 80 70 60 50 45 40 35 30 25 20 19 18 17 16

aversion

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 EM ex ASIA EM ASIA HONG KONG JAPAN SPAIN ITALY France GERMANY UNITED KINGDOM USA

Un exemple

  Avec des portefeuilles longs, Positions sur 25 à 33% des titres   Des portefeuilles peu diversifiés Où la sélection doit être TRES judicieuse

L’impact des VADE

 L’impact des ventes à découvert

titre

USA UNITED KINGDOM GERMANY France ITALY SPAIN JAPAN HONG KONG EM ASIA EM ex ASIA

parts

56,43% 33,34% -11,78% 48,32% -1,69% -8,81% -32,67% 1,38% -10,00% 25,48%

Composition des portefeuilles optimaux

3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 100 90 80 70 60 50 45 40 35 30 25 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 -0,50 7 6 5 4 3 2 EM ex ASIA EM ASIA HONG KONG JAPAN SPAIN ITALY France GERMANY UNITED KINGDOM USA -1,00 -1,50 -2,00

aversion

Un exemple

   Avec des portefeuilles long/short, Des positions sur tous les titres Avec des effets de levier  Des risques considérables

L’impact de la VADE

 Un effet important sur la performance ex ante Eu Er StDev VAR normale 5% variance ratio de Sharpe sans VAD 2,50% 9,86% 17,17% -18,37% 0,03 0,46 avec VAD 3,87% 13,18% 19,30% -18,56% 0,04 0,58

L’impact des VAD

0,25 0,23 0,21 0,19 0,17 0,15 0,13 0,11 0,09 0,07 0,05 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 avec VAD sans VAD

Les leçons de l’optimisation des portefeuilles  Avec VADE ou sans VADE,  Des portefeuilles risqués pour des gérants institutionnels

L’impact des erreurs d’estimation

 Une pratique courante et intuitive :   Pour définir les inputs nécessaires des optimisateurs (rendements espérés, covariances), Recours aux données historiques

La sensibilité à l’échantillonnage

   Les données historiques : uniquement un échantillon de la « population » Le problème de l’inférence des vraies valeurs à partir de l’échantillon Question :

peut-on avoir confiance dans les données historiques

Contre-exemple par le resampling  Le comme si :    Les statistiques (moyennes, covariances) sont les paramètres définissant la « vraie » loi des rendements Resimulation de 1000 échantillons sur une durée de 20 ans (plus précisément 235 mois) Remarque : 20 ans une durée difficile à étendre

Les résultats : les rendements moyens

distribution des rendements moyens

8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% USA UNITED KINGDOM GERMANY France -2,00% ITALY SPAIN JAPAN HONG KONG EM ASIA EM ex ASIA -4,00% -6,00%

Les résultats : les volatilités

distribution des volatilités

14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% USA UNITED KINGDOM GERMANY France ITALY SPAIN JAPAN HONG KONG EM ASIA EM ex ASIA

Résultats sur les rendements

 La lenteur de la convergence des estimations même dans le cas iid normal!

Résultats sur les rendements

 Conséquence au niveau des portefeuilles :  l’éparpillement des performances de l’optimisation

La distribution des statistiques des portefeuilles optimaux

Distribution des statistiques des portefeuilles optimaux Eu

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -11,4% -10,0% -8,5% -7,1% -5,6% -4,2% -2,7% -1,3% 0,2% 1,6%

volatilité

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 17,7% 19,1% 20,4% 21,7% 23,1% 24,4% 25,8% 27,1% 28,5% 29,8%

Er

35 30 25 20 15 10 5 0 2,0% 3,4% 4,9% 6,4% 7,8% 9,3% 10,7% 12,2% 13,6% 15,1%

VAR 5%

2 0 6 4 16 14 12 10 8 -35,7% -33,9% -32,0% -30,2% -28,4% -26,5% -24,7% -22,9% -21,1% -19,2%

Le graphique le plus « informatif »

Eu

8 6 4 2 0 18 16 14 12 10 -1 1, 4% -1 0, 0% -8 ,5 % -7 ,1 % -5 ,6 % -4 ,2 % -2 ,7 % -1 ,3 % 0, 2% 1, 6%

Les rendements moyens

Er

35 30 25 20 15 10 5 0 2,0% 3,4% 4,9% 6,4% 7,8% 9,3% 10,7% 12,2% 13,6% 15,1%

Les volatilités

volatilité

8 6 4 2 0 18 16 14 12 10 17,7% 19,1% 20,4% 21,7% 23,1% 24,4% 25,8% 27,1% 28,5% 29,8%

La VAR paramétrique à 5%

VAR 5%

16 14 12 10 8 6 4 2 0 -3 5, 7% -3 3, 9% -3 2, 0% -3 0, 2% -2 8, 4% -2 6, 5% -2 4, 7% -2 2, 9% -2 1, 1% -1 9, 2%

Le ratio de Sharpe

Sharpe

25 20 15 10 5 0 -0,01 0,04 0,09 0,14 0,20 0,25 0,30 0,35 0,41 0,46

La sensibilité à l’échantillonnage  Si on relâche les contraintes de financement, les performances sont pires encore!

Le paradoxe de Markowitz

  Empiriquement il arrive fréquemment que le portefeuille equipondéré fasse mieux même sur 10 ans et plus que les portefeuilles optimisés!!!

« Optimisation du portefeuille ou maximisation des erreurs »

Le paradoxe de Markowitz  Explications   Mathématiquement : la linéarité des cpo le portefeuille optimal est alors très sensible à des modifications des paramètres …

Le paradoxe de Markowitz  Sans prise en compte du risque d’erreurs d’estimation,  l’optimisation conduit alors à parier excessivement sur des outliers  qui ne sont que des mirages  D’où « l’optimisation à la Markowitz = la maximisation des erreurs »

Que faire?

 4 pistes     Ne plus optimiser « Torturer » les modèles Recourir à la simulation Utiliser d’autres informations

Ne plus optimiser   Screening  Critères de sélection   Tri Sélection Recherche de Barra sur le screening :  performance inférieure à l’optimisation (« sophistiquée »)

« Torturer les modèles »  Introduire des contraintes de financement    L’impact positif de l’interdiction des VAD Et d’autres contraintes quantivatives L’explication : la pénalisation des rendements extrêmes

Le resampling  Utiliser la simulations des rendements pour  Évaluer ex-ante la distribution des performances  Construire des portefeuilles alternatifs

Le resampling  Resampling  À la Jorion  A la Michaud

Les méthodes de Simulation

Loi normale  Simulation d’une loi normale  univariée  multivariée

prob F rend

Loi normale multivariée   Le problème supplémentaire  La corrélation des variables Exemple :  N titres dont on simule les rendements sur T périodes

Loi normale multivariée  Les inputs    Le vecteur des N rendements espérés Le vecteur des N volatilités La matrice des NxN corrélations

Loi normale multivariée  La   démarche (1) Simulations de N variables séries indépendantes de aléatoires (v.a.) centrées réduites suivant la loi normale (2) La corrélation avec la matrice de Cholesky  (3) L’ajustement des moments

Le resampling

Simulations et gestion des erreurs d’estimation

La technique du resampling     Jorion (1992,

Financial Analyst Journal

) “Portfolio Optimization in Practice”.

Richard Michaud (1998) R. Michaud a aussi déposé un brevet pour cette méthode U.S. Patent #6,003,018 by Michaud et al., December 19, 1999.

Ibbotson Associates utilise aussi une technique de resampling notamment dans leur logiciel EnCorr

Le resampling

   Une technique Monte Carlo pour estimer les inputs de l’optimisation moyenne variance et éventuellement la frontière.

… conduisant à des portefeuilles diversifiés .

une technique brevetée par Richard Michaud depuis 1999.

La procédure

  Estimation du rendement, des écart-types et des corrélations.

Nouvelles simulations calibrées sur les statistiques précédentes conduisant à de nouvelles estimations.

 Estimations des portefeuilles efficients correspondants à ces nouvelles estimations et pour différents niveaux de volatilité.

La procédure (suite)

   Répétition de 2 et 3 (>1000 simulations) Calcul de l’allocation moyenne ainsi obtenu et estimation du rendement moyen pour chaque niveau de volatilité.

Détermination de la « frontière rééchantillonnée » à l’aide du portefeuille moyen et des statistiques initiales.

Un exemple de resampling : frontière efficiente des portefeuilles et nuage des portefeuilles rééchantillonnés

10 5 0 0 25 20 15 5 10 15 20 25

Le resampling  Deux critères pour sélectionner les portefeuilles   Les efficient resampled portfolios La définition d’un seuil statistique d’acceptation

Les efficient resampled portfolios    L’efficient resampled portfolio = moyenne des portefeuilles simulés correspondant soit au même niveau de volatilité exigé, soit au même niveau d’aversion Avantage : par construction, un portefeuille beaucoup plus diversifié Et donc susceptible de limiter des paris intempestifs

Exemple  Données de 1993 à 2007

La zone d’acceptation des portefeuilles  Une mesure de distance entre deux portefeuilles : la carré de la TE

d

(

x p

,

x i

)  (

x p



x i

)

T

 (

x p



x i

)

La zone d’acceptation des portefeuilles   Les portefeuilles appartenant à la même classe (même volatilité recherché ou même aversion) sont ensuite classés.

 minimale pour laquelle à ce seuil le portefeuille p est statistiquement différent du portefeuille le plus efficient.

La zone d’acceptation des portefeuilles   Avantage :   Une approche statistique Aboutissant souvent à minimiser les rebalancements de portefeuille et donc les coûts de transaction.

Limite : Test assez faible sur de nombreuses données.

Critique du resampling

    Critiques de Scherer (2002): les portefeuilles obtenus subissent les erreurs d’estimation initiales.

L’absence de théorie – pourquoi choisir les « portefeuilles rééchantillonnées ».

la frontière obtenue peut comporter des parties croissantes.

Critique du resampling (2)

  En l’absence d’opinions, le resampling conduit à des écarts par rapport au benchmark et donc à une gestion active – mais pourquoi prendre un pari sans avoir de raisons ou d’opinions?

A la différence de B&L et des approches bayésiennes, il n’existe pas de cadre théorique permettant de mixer opinions et données

Le resampling peut conduire à de fortes variations au cours du temps.

Une surestimation de la méthode   Aversion de 5 procédure de double simulation (100 x 100)  Estimation ex ante de l’espérance variance  Variance inconditionnelle = Variance des espérances conditionnelles + Espérance des Variances conditionnelles

Une surestimation de la méthode EC Er Volat Sharpe optim 10,24% 14,92% 13,68% 0,94 michaud^2 michaud 7,28% 8,51% 13,53% 15,81% 0,73 14,67% 15,70% 0,81 equipondéré 5,46% 9,60% 12,86% 0,59