La théorie du portefeuille Philippe Bernard

Master Ingénierie Economique Département d’Economie Appliquée Université Paris Dauphine

Historiquement    Avant Tobin et le théorème des deux fonds, optimisation d’un univers comprenant unique des titres risqués par Harry Markowitz « Portfolio Selection », Journal of Finance vol.7, pp. 77-91 Portfolio Selection : Efficient Diversification of Investments, 1959

Description   une technique opérationnelle pour obtenir des portefeuilles diversifiés En arbitrant entre le rendement moyen et le risque de marché induit (volatilité du rendement du portefeuille)

      Les inputs : les rendements espérés des titres leurs volatilités les covariances L’estimation : souvent sur données historiques

Présentation formelle      Cadre et notations: J actifs indicés j=1,…,J résumés par le rendement espéré la volatilité (= écart-type)

r j



j

la matrice de covariance σ   

ij

   Un portefeuille est défini par les parts des titres qui le composent part du titre j

x j

portefeuille : 

x

     

x

...

1

x

..

x J j

    

 portefeuille au sens stricte (a fully invested portfolio)  1

T

 .

x

 1 sinon une source de financement supplémentaire (si >1) est nécessaire

Le programme d’optimisation   min s.c.

2 1 :    

r p



r



T

 1

T

.

x



x

   1

r

ˆ

Les conditions marginales  Pour tout titre j Avec : 

i x

.

i



ij

 

r j

  

i x

.

i



ij

 cov(

r j

,

r p

)

  

i x i

.

 1

i

     

i



i x i

.

 ...

ji

 

x i

.



Ji

...

 

r J r

1  

r j

          

x

...

x

...

x J j

1        .

    

r r

...

r

1 ...

J j

       .

     1 ...

1 ...

1     

Sous forme vectorielle, les conditions marginales sont donc:  .



x

  .

r

   .

 1 et donc le 

x

 portefeuil  .

 le  1 .

r

  optimal  .

  1  1 est :

Le portefeuille efficient  Pour déterminer la valeur des   - contrainte budgétaire - contrainte de rendement

Le portefeuille efficient (suite) Les étapes des calculs :     

x

  

Er p



La frontière efficiente des portefeuilles  L’ensemble des couples (risque,rendement espéré) des portefeuilles efficients = la frontière efficiente des portefeuilles

enveloppe des portefeuilles efficients Er portefeuille maximisant le ratio de Sharpe portefeuille de variance minimale max SR volatilité

 Un exemple de frontière efficiente des portefeuilles: échantillon de 50 titres en données quotidiennes pour la France 1986-91

L'enveloppe des portefeuilles possibles

0,2500% 0,2000% 0,1500% 0,1000% 0,0500% 0,0000% 0,6% -0,0500% 0,7% 0,8% 0,9% 1,0% 1,1% 1,2% 1,3% 1,4% 1,5% -0,1000%

rendement moyen

Données mensuelles américaines 1987 - 2005

La gestion indicielle à nouveau     Le théorème des deux fonds à la Fischer Black (1972) Une base de deux portefeuilles (au sens stricte) Portefeuille de variance minimale Portefeuille maximisant le ratio de Sharpe

Le portefeuille de variance minimale 

x

min   1

T

1   1  1 .

  1  1 Le portefeuille maximisant le ratio de Sharpe 

x SR

  1

T

1   1 

r

.

  1

r



Er

Portef ma ximisa nt le ra tio de Sha rpe Portef de va ria nce minima le



Le portefeuille optimal comme combinaison des deux portefeuilles de la base : 

x

 (  .

 1   1 .

r

 ).



x SR

 (  .

 1 .

  1  1 ).



x

min

 Remarque : Les deux portefeuilles proposés définissent une des bases possibles donnant les portefeuilles efficients.

De même qu’en mathématiques, il existe une infinité de base vectorielles « équivalentes », dans la théorie il existe une infinité de couples de portefeuilles permettant d’obtenir l’ensemble des portefeuilles efficients.

Les limites de la théorie du portefeuille     Les restrictions sur les préférences l’importance des moments supérieures à 2 pour certains secteurs (hedge funds) Le problème de l’extension à la dynamique le modèle de Merton (1973)

Les limites de la théorie du portefeuille (suite)     Le problème essentiel pour les praticiens : la sensibilité du choix optimal aux inputs la concentration des portefeuilles obtenus par une estimation sur données historiques solutions : Black & Litterman, Michaud et le boostrap, etc.