Transcript Gestion de Portefeuille

Gestion de Portefeuille
Les portefeuilles caractéristiques
Une extension de la méthode
moyenne variance à la
« nouvelle finance »
La « nouvelle finance »

Avec le modèle factoriel (de Sharpe)
~
~
~
rj  j  j.rM  j
 Battre
le marché =
dégager une sur-performance positive par
une sélection appropriée, i.e.
 j 0
 Les
caractéristiques à sélectionner
pour battre le marché d’après les
travaux empiriques des années 80-90
 les indicateurs fondamentaux
PER, CF/P, PDR, B/M
 les indicateurs financiers
le rendement passé à CT, à LT
 les indicateurs de « style »
la taille
 Comment
minimiser le « risque de
marché » même si l’on veut sélectionner
les portefeuilles définies par les
caractéristiques?
 Le risque de marché
Une définition possible : la volatilité
Grinold – Kahn (2000)



La pertinence de la théorie du
portefeuille pour gérer le risque de
marché …
dès lors que la caractéristique du
portefeuille est linéairement
déterminée par celle des actifs qui le
composent.
pertinence pour les caractéristiques
déjà nommées
Cadre



Cadre et notations:
existence d’un actif sans risque que
l’on peut prêter ou emprunter au taux
d’intérêt du marché
le rendement espéré excédentaire :
rj
 La
 Le
caractéristique de l’actif j
vecteur des caractéristiques
cj
c 1
 ...
c  c j 
...
cJ 
 
 Hyp:
linéarité de l’agrégation des
caractéristiques.
 La caractéristique du portefeuille p
T 
cpc .x
Le programme d’optimisation
min 1 p2
2

s.c.
:

cp cT x1



Les conditions marginales

Pour tout titre j
x. c
i
ij
j
i

ou sous forme vectorielle
 
.x.c
Le « portefeuille caractéristique »


1.c
x


.



1





  
T 1c
c
T.x 1
c




1

1


xc T 1 . .c
c c
Propriétés
 variance du « portefeuille caractéristique »


T
1c
1c








2
T
 c xc x T 1    T 1 
c

c
c

c

 

 c2 T 11
c c
Propriétés (suite)
 Le bêta par rapport au « portefeuille
caractéristique »
~
~


rj,rc 
 j 2 ~
 rc 
T  T 1 
 j xj ..xc.c . .c 

 1.c  T 1 
 T
 j  x j .. T 1  .c . .c 
c
.

.
c


T 
 j x j .c c j
 
 c
Propriétés (suite)
 Covariance entre deux « portefeuilles
caractéristiques » c et d :
T 
~
~
 rd,rc  xd ..xc
T 
T  2
~
~
 rd,rc  xd .(.xc )  xd .(c.c )
~
~
 rd,rc   cd.c2
Applications des résultats




Portefeuilles minimisant le risque de
marché et
maximisant le ratio de Sharpe
donnant une exposition « unitaire » par
rapport au benchmark
maximisant le ratio d’information du
gérant actif
Le portefeuille / Er = 1

La caractéristique de chaque portefeuille p
T 
j cj rj, cpr .x

Le portefeuille optimal


1

1
xSR T 1. .r
r r
 1 
  T 1 
r

r


2
SR
Le portefeuille / Er = 1 (suite)

Le ratio de Sharpe
rend . excédentai re esp . rj
SR j 
 ~
écart type
(r )

Propriété : pour un portefeuille, son SR est
indépendant de la taille du portefeuille
 

 r .(x) .(r .x)

 SR (x)
 0, SR (x) ~  
~
(r ,x) .(r ,x)
Le portefeuille / Er = 1 (suite)

Conséquence:
Parmi les portefeuilles qui donnent le SR le
plus élevé, il en existe un dont le
rendement excédentaire espéré est de 1

Ce portefeuille est nécessairement

xSR
Le portefeuille / Er = 1 (suite)

Conséquence:
ratio de Sharpe maximum sur le marché
T 1
SRmax r  r
Le portefeuille / Er = 1 (suite)
Le ratio de Sharpe
Si portefeuille maximisant SR impossible,
quel portefeuille choisir?
À quelle condition choix se rapprochera
du portefeuille maximisant SR?
Le portefeuille / Er = 1 (suite)
Propriété
Pour tout portefeuille p

~
~
SRp(rp,rSR).SRmax
r
p
~
~


(rp,rSR). p. SR
SRp

p,SR
 p SRp 2 . p 
2 . p

2 
SR
SR
 p,SR rp. SR

(~
rp,~
rSR)
~
~
SRp 
(rp,rSR). SRmax
 SR
puisque SRmax 1
 SR
Le portefeuille de bêta unitaire


Le benchmark
Le(s) bêta(s)

xB
 1 

~
~

..


cov(rj,rB)
j  j  2 ~ ,   j  T .xB
 rB 
x

.
x
B
B
 ...
J 
Le portefeuille de bêta unitaire
(suite)

Le portefeuille « passif » (de bêta unitaire)


x  T 11  . 1
 
 2  T 11 
 
Le portefeuille de bêta unitaire
(suite)

Naturellement :
 

x  T 11  . 1 xB
 


1

x  T 1  . 1
  

x 

.xB )
1


. 1(  
T

.
x
B

.
x
B
T

1
xB ..xB
( T  )  ( T  )
xB ..xB
xB ..xB



x
B
1

x  T
.  T  xB

1
(xB). .(.xB) xB ..xB
T  2
(xB ..xB)
Le portefeuille de alpha
unitaire



xB
Le benchmark
Le modèle de marché de Sharpe
~
~
~
rj  j  j.rB j
Le portefeuille de alpha
unitaire (suite)

Le(s) alpha(s)
1 
  .. 
  j 
...
 J 
 
Le portefeuille de alpha
unitaire (suite)

Le portefeuille de alpha unitaire


1

1


x  T 1 . 
 
2 T 11 
 
Le portefeuille de alpha
unitaire (suite)
Propriété
Comme :

cov(~
rB,~
r). B2.2
maisque 0 (par définition)
 0
(portefeuille décorrélé)
Le portefeuille de alpha
unitaire (suite)

Si le rendement suit :
~
~
~
rj  j  j.rB j

Le ratio d’information
rend . résiduel esp .  j
IR j 
 ~
écart type
( j)
Le portefeuille de alpha
unitaire (suite)
Propriété
Comme pour SR, IR est indépendant de la
taille du portefeuille et donc un des
portefeuilles maximisant le IR est


x
Et donc :
T

1
IRmax1/    
Le portefeuille de alpha
unitaire (suite)
Propriété
Pour tout portefeuille P,

IRPIRmax.( P,)
Conclusion


Même si sélection en fonction de
caractéristiques, souci de gérer le risque
peut conduire à utiliser la logique de la
théorie du portefeuille.
La logique des portefeuilles caractéristiques
permet d’avoir rapidement des informations
cruciales (variance, corrélation, ratio max de
Sharpe, ratio max d’information, etc.)
Le rebalancement des portefeuilles
1er exemple
L’univers de titres :
actions
Er 10%
volatilité 16%
obligations
6%
6%
La périodicité : mensuelle
L’horizon : 100 ans
cash
2%
0%