Gestion de Portefeuille Les portefeuilles efficients Description une technique opérationnelle pour obtenir des portefeuilles diversifiés En arbitrant entre le rendement moyen et le risque.
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Gestion de Portefeuille Les portefeuilles efficients Description une technique opérationnelle pour obtenir des portefeuilles diversifiés En arbitrant entre le rendement moyen et le risque de marché induit (volatilité du rendement du portefeuille) Les inputs : les rendements espérés des titres leurs volatilités les covariances L’estimation : souvent sur données historiques Présentation formelle Cadre et notations: J actifs risqués indicés j=1,…,J résumés par rj le rendement espéré j la volatilité (= écart-type) la matrice de covariance σ ij Un portefeuille est défini par les parts des titres qui le composent part du titre j xj portefeuille : x1 ... x x j .. xJ portefeuille au sens stricte (a fully invested portfolio) 1T.x1 sinon une source de financement supplémentaire (si >1) est nécessaire Actif sans risque Contrainte budgétaire Investissements < W + financements x j 1 j Efficience La propriété d’efficience des portefeuilles : tout portefeuille efficient donne le rendement espéré le plus élevé pour son niveau de volatilité Tout portefeuille efficient donne le risque le plus faible pour son rendement espéré Efficience Programme : min σ 2p ou sous les contraint es ( x0 ) x j 1 j rp rˆ max rp sous les contraintes x j 1 (x0) j 2 ˆ 2 σ p La gestion du risque min σ 2p sous les contraintes (x0) x j 1 j rp rˆ Comment minimiser le risque? La contribution de Markowitz Il existe un mécanisme beaucoup plus important que le mécanisme de mutualisation. Un mécanisme qui repose sur les covariances. Une illustration : le cas à deux actifs 2p x12.122.x12.x22..1 2x22. 22 Diversification et covariance Couples variance / rendement possibles avec le titre CAC 40 38 ATX BEL-20 PX50 KFX DAX Budapest SE Index Total Share Moscow Times Madrid General Stockholm General ISE National-100 Er (en %) 33 28 23 18 10 11 12 13 14 15 Ecart-type (en %) 16 17 18 19 20 L’univers d’investissement Major Asset Classes Asset Classes Cash Stock Categories U.S. or Europe International Bond U.S. or Europe Global Real estate Region Type of Use Commodities Metals Agricultural Products Subcategories Growth or value Large, medium, or small cap Sector and industries By region or country (Asia, Europe) Emerging markets Corporate Treasury Municipal Mortgage backed Short, medium, or long maturity Investment grade Developed or emerging By region or country Northeast, West, Midwest, South, Southwest Healthcare, residential, shopping malls Gold, copper, aluminum, etc. Pork bellies, coffee, etc. 15 Le portefeuille de Calpers California Pension System $230.3 Billion Direct Partnership, 6% Real Estate, 8% Cash, 1% International Equities, 23% Global Fixed Income, 23% Domestic Equities, 40% Source: www.calpers.ca.gov Investment Portfolio Market Value as of Dec. 31, 2006 16 « Millionnaires » portfolio Households with investable assets of $1 million to $10 million Hedge Funds, 1% Commodities, 1% Other, 2% Private Equity, 5% Investment real estate, 7% 45% Source: Fortune, 3/5/2007 International equities, 11% 15% Cash, 13% 17 Le portefeuille suggéré par Swensen US Treasury Inflation Protected, 15% US Treasury bonds, 15% Real Estate, 20% Domestic equity, 30% Foreign developed Emerging market equity, 15% equity, 5% Source: Swensen, David, (2005) Unconventional Success, Free Press 18 Efficience des portefeuilles min σ 2p sous les contraintes (x0) x j 1 j rp rˆ The Efficient Portfolio Mix and match combinations of investments to maximize return for risk. 30% 25% Select where you want to be based on risk you want to take. Return (5-Year Average Annual Return) Insuranc e Low Risk S&P 500 15% 10% Real Estate 5% Health Care Financial Services Biotechnology Natural Gas Technology Software Computers European Telecommunications Long-Term Bonds GNMA Electronics Brokerage 20% Intermediate Bonds High Risk Small Cap Convertible High Yield Corporate Short-Term Bond 0% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% -5% Pacific Emerging Markets -10% Gold Indexes -15% Industries -20% Risk (5-Year Standard Deviation) Source: Representative funds from Thomson Investor Network www.thomsoninvest.net 20 La frontière efficiente 25 1 2 Var (rp ) w Vw C E (rp ) 2 AE (rp ) B D Mean Portfolio Returns, % T 20 Efficient Frontier 15 Global Minimum-Variance Portfolio 10 5 0 15 17 19 21 23 25 27 Portfolio Risk (Std. Dev),% 29 31 33 35 Le choix du portefeuille optimal 18 16 14 12 10 Optimal portfolio for Risk-Tolerant investor 8 6 Optimal portfolio for Risk-Averse investor 4 2 0 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 L’optimisation moyenne-variance Inputs : rendements volatilités corrélations calcul de la frontière des portefeuilles efficients résultat : sélection du portefeuille optimal sur la frontière Présentation formelle Cadre et notations: J actifs indicés j=1,…,J résumés par le rendement espéré rj la volatilité (= écart-type) j la matrice de covariance σ ij Un portefeuille est défini par les parts des titres qui le composent part du titre j xj portefeuille : x1 ... x x j .. xJ portefeuille au sens stricte (a fully invested portfolio) 1T.x1 sinon une source de financement supplémentaire (si >1) est nécessaire Le programme d’optimisation min 1 p2 2 s.c. : rp r T xrˆ T 1 .x1 Les conditions marginales Pour tout titre j x. r i ij j i Avec : ~ ~ xi.ijcov(rj,rp) i xi.1i r1 i ... x i. jirj i ... xi. JirJ i x1 r1 1 ... ... ... x j .rj . 1 ... ... ... xJ rJ 1 Sous forme vectorielle, les conditions marginales sont donc: .x.r . 1 et donc le portefeuille optimalest : 1 1 x. .r . 1 Le portefeuille efficient Pour déterminer la valeur des paramètres et : - contrainte budgétaire - contrainte de rendement Le portefeuille efficient (suite) Les étapes des calculs : Erp x p2 La frontière efficiente des portefeuilles L’ensemble des couples (risque,rendement espéré) des portefeuilles efficients = la frontière efficiente des portefeuilles enveloppe des portefeuilles efficients Er portefeuille maximisant le ratio de Sharpe portefeuille de variance minimale max SR volatilité Un exemple de frontière efficiente des portefeuilles: échantillon de 50 titres en données quotidiennes pour la France 1986-91 L'enveloppe des portefeuilles possibles 0,2500% 0,2000% rendement moyen 0,1500% 0,1000% 0,0500% 0,0000% 0,6% 0,7% 0,8% 0,9% 1,0% 1,1% -0,0500% -0,1000% rendement moyen 1,2% 1,3% 1,4% 1,5% La gestion indicielle optimale Le théorème des deux fonds à la Fischer Black (1972) Une base de deux portefeuilles (au sens stricte) Portefeuille de variance minimale Portefeuille maximisant le ratio de Sharpe Le portefeuille de variance minimale 1 1 xmin . 1 T 1 1 1 Le portefeuille maximisant le ratio de Sharpe 1 1 xSR . r 1T 1r Le portefeuille optimal comme combinaison des deux portefeuilles de la base : 1 1 x(. 1 .r ).xSR(. 1 . 1 ).xmin Remarque : Les deux portefeuilles proposés définissent une des bases possibles donnant les portefeuilles efficients. De même qu’en mathématiques, il existe une infinité de base vectorielles « équivalentes », dans la théorie il existe une infinité de couples de portefeuilles permettant d’obtenir l’ensemble des portefeuilles efficients. Conséquences Conséquence de la structure des modèles des prévisions sont nécessaires sur les rendements moyens, les volatilités, les corrélations futurs. en général, les optimisateurs utilisent soit les variables historiques, soit permettent de créer ses propres prévisions.