Diversification et covariances Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine Historiquement L’optimisation moyenne / variance développée par le prix Nobel Harry Nobel Laureate Harry Markowitz in.
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Diversification et covariances Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine Historiquement L’optimisation moyenne / variance développée par le prix Nobel Harry Nobel Laureate Harry Markowitz in 1952 « Portfolio Selection », Journal of Finance vol.7, pp. 77-91 Portfolio Selection : Efficient Diversification of Investments, 1959 Description une technique opérationnelle pour obtenir des portefeuilles diversifiés En arbitrant entre le rendement moyen et le risque de marché induit (volatilité du rendement du portefeuille) Les inputs : les rendements espérés des titres leurs volatilités les covariances L’estimation : souvent sur données historiques Présentation formelle Cadre et notations: J actifs risqués indicés j=1,…,J résumés par rj le rendement espéré j la volatilité (= écart-type) la matrice de covariance σ ij Présentation formelle S’il existe un actif sans risque r0 Un portefeuille est défini par les parts des titres qui le composent part du titre j xj portefeuille : x1 ... x x j .. xJ portefeuille au sens stricte (a fully invested portfolio) 1T.x1 sinon une source de financement supplémentaire (si >1) est nécessaire Actif sans risque Contraintes financières Parmi les contraintes susceptibles d’être prises en compte contraintes sur les ventes à découvert j, x j 0 Th. du portefeuille élémentaire : non prise en compte contrainte budgétaire Contrainte budgétaire Chaque investisseur est défini par : sa richesse initiale W investissement x j.W si x j 0 financement x j.W si x j 0 Contrainte budgétaire : investissements < W + financements Contrainte budgétaire (2) Investissements < W + financements x j 1 j Contrainte budgétaire (3) Investissements < W + financements x 1 x x j.W W x j 0 x j.W x j 0 j j x j 0 x j 0 x x 1 j x j 0 j x j 0 Le programme de l’investisseur Objectif : richesse terminale ~ W (1~ rj).(x j.W) j W W W ~ rp ~ rj.x j j ~ rj.x j j Le rendement du portefeuille Le programme (2) Hyp : utilité espérée ~ max E[u(W Wr p )] sousles contraintes: xj 1 j Hypothèse moyenne-variance ~ ~ ~ 2 Eu (W Wrp) V(E rp, (rp)) avec V10, V20 Efficience La propriété d’efficience des portefeuilles optimaux : tout portefeuille optimal donne le rendement espéré le plus élevé pour son niveau de volatilité Tout portefeuille optimal donne le risque le plus faible pour son rendement espéré Efficience (2) Conséquence : tout portefeuille optimal est un élément de l’ensemble des portefeuilles efficients, i.e. des portefeuilles qui maximisent : le rendement espéré à volatilité donnée, ou qui minimisent la volatilité à rendement espéré donné Efficience (3) Programme : min σ 2p sous les contraintes (x0) x j 1 j rp rˆ ou max rp sous les contraintes x j 1 (x0) j 2 ˆ 2 σ p La gestion du risque min σ 2p sous les contraintes (x0) x j 1 j rp rˆ Comment minimiser le risque? La gestion du risque La diversification traditionnelle L’exploitation des covariances La diversification traditionnelle volatilité du portefeuille nombre d ’actifs La covariance 2p x x . j i ij j 2p i x x . x2j 2j j x2j 2j j i ij j i j Risques « spécifiques » j x .x . j i ij j i j Risques « systématiques » La diversification traditionnelle 1er cas : risques indépendants et identiques 2p x2j 2, rj r j Portefeuille optimal : x j 1 , J p J La diversification traditionnelle 2ème cas : portefeuille equipondéré x .x . x .x . Covariance moyenne j i j i j 2p 12 J j i ij j i j J(J 1) 2 j 2 j J j limJ σ 2p σ 2 La diversification traditionnelle Effet de la diversification sur le risque du portefeuille 1985-1991 50 valeurs du marché parisien 0,0012 0,0010 variance 0,0008 0,0006 0,0004 0,0002 0,0000 0 5 10 15 nombre de titres 20 25 30 La contribution de Markowitz Il existe un mécanisme beaucoup plus important que le mécanisme de mutualisation. Un mécanisme qui repose sur les covariances. Une illustration : le cas à deux actifs 2p x12.122.x12.x22..1 2x22. 22 Diversification et covariance Application Diversifications : -Sectorielles - géographiques - (styles des titres ou des funds) - …. Distribution des corrélations 40,00 34,3 35,00 30,00 26,7 24,8 25,00 20,00 15,00 10,00 6,7 4,8 5,00 2,9 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,1 0,2 0,3 0,0 0,00 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Couples variance / rendement possibles avec le titre DJS AUTO 8 6 4 Er (en %) 2 0 18 20 22 24 -2 -4 -6 Ecart-type (en %) 26 28 30 DJ Stoxx BANK P DJ Stoxx BASI P DJ Stoxx CHEM P DJS CNS&MT DJS OIL&GAS DJ Stoxx FINS P DJ Stoxx F&BV P DJ Stoxx IND P DJ Stoxx INSU P DJ Stoxx MDIA P DJS HEA CR Distribution des corrélations 20,00 18,4 18,00 16,3 16,00 13,7 14,00 11,6 12,00 10,0 9,5 10,00 7,9 7,4 8,00 6,00 4,2 4,00 2,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 0,0 0,5 0,00 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Couples variance / rendement possibles avec le titre CAC 40 38 ATX BEL-20 PX50 KFX DAX Budapest SE Index Total Share Moscow Times Madrid General Stockholm General ISE National-100 Er (en %) 33 28 23 18 10 11 12 13 14 15 Ecart-type (en %) 16 17 18 19 20 Winkelman (2004) Base de données Nelson 1434 managers actifs sur 10 classes d’actifs Octobre 1992 – septembre 2002 Classes d'actifs US Large-Cap US Large-Cap Growth US Large-Cap Value US Small-Cap US Small-Cap Growth US Small-Cap Value EAFE Emerging Equity High Yield Core Plus alphas (bruts, bp) 83 231 51 423 717 277 334 337 254 24 Volatilité résiduelle (en bps) en fonction du nombre de managers 1 2 3 4 5 494 357 335 291 270 717 546 497 461 460 578 465 410 378 359 836 666 612 570 536 1093 925 800 718 662 878 687 630 582 558 599 434 390 373 357 713 601 546 515 493 270 226 199 196 194 90 72 67 64 62 Winkelman (2004) Base de données Nelson 1434 managers actifs sur 10 classes d’actifs Octobre 1992 – septembre 2002 Classes d'actifs US Large-Cap US Large-Cap Growth US Large-Cap Value US Small-Cap US Small-Cap Growth US Small-Cap Value EAFE Emerging Equity High Yield Core Plus Corrélation 0,07 0,19 0,17 0,21 0,16 0,27 0,20 0,30 0,22 0,23 1 0,97 0,86 0,97 0,91 0,96 1,00 0,96 0,98 0,82 1,00 2 0,96 0,88 0,97 0,89 0,98 1,01 0,95 0,98 0,80 0,99 Bêta 3 0,97 0,88 0,97 0,90 0,97 1,01 0,94 0,98 0,80 0,99 4 0,96 0,88 0,98 0,91 0,96 1,01 0,95 0,97 0,80 0,99 5 0,97 0,87 0,97 0,91 0,97 1,00 0,95 0,97 0,81 0,99