Transcript GTR im Mathematikunterricht des Beruflichen Gymnasiums
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Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht
des Beruflichen Gymnasiums
Unterrichtlicher
Mehrwert
Sek. II
GTR
oder
CAS
Rechtliche
Grundlagen
Einsatz
des GTR
in der Sek. II
Funktionalitäten
des GTR
Fortbildungsmöglichkeiten
1
Berufliches Gymnasium
Vorschläge zur
Einführung
Finanzierungsmodelle
Fachübergreifende
Möglichkeiten
Slide 2
Unterrichtlicher Mehrwert in der S II
Der graphikfähige Taschenrechner unterstützt den Erwerb
mathematischer Kompetenzen.
Reduktion
schematischer
Abläufe
Verständnisförderung durch
Visualisierung
Entdecken
mathematischer
Zusammenhänge
Kontrolle von
Ergebnissen
2
Konzentration auf
den mathematischen Kern
eines Problems
Unterstützung von
begriffsbildendem
Arbeiten
Verarbeitung
größerer
Datenmengen
Experimentieren
und Erkunden
Übersicht
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Rechtliche Grundlagen
3
Übersicht
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Rechtliche Grundlagen
Verpflichtung zum Einsatz eines graphikfähigen Taschenrechners
(GTR) für Schülerinnen und Schüler, die ab dem Schuljahr 2014/15
in die Einführungsphase eintreten (Erlass vom 27.6.2012).
• in der gymnasialen Oberstufe (Gymnasium, Gesamtschule,
Weiterbildungskolleg, Waldorfschule)
• im Beruflichen Gymnasium (Erziehung und Soziales, Gestaltung,
Informatik, Technik, Wirtschaft und Verwaltung; Anl. D 1 bis D 28)
Alternativ ist weiterhin der Einsatz eines Computer-AlgebraSystems (CAS) möglich.
4
Übersicht
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Rechtliche Grundlagen
- Berufliches Gymnasium -
6
Übersicht
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Rechtliche Grundlagen - Berufliches Gymnasium Konsequenzen für das Zentralabitur
• verpflichtender Einsatz des GTR ab dem Zentralabitur 2017
• alternativ weiterhin CAS als Hilfsmittel in GK und LK zugelassen
• Einführung eines hilfsmittelfreien Aufgabenteils in MathematikGrund- und Leistungskursen ab dem Zentralabitur 2017 geplant
• im GK nur noch ein gemeinsamer Aufgabensatz für GTR und CAS
7
Übersicht
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Rechtliche Grundlagen - Berufliches Gymnasium Technologie
• GTR-Erlass verpflichtet zur Einführung eines GTR-Handheld
• GTR-Software-Lösungen sind nicht zulässig
• Schulen können statt eines GTR auf freiwilliger Basis ein
CAS-Handheld oder eine CAS-Software einführen
• Entscheidung zwischen GTR und CAS in Verantwortung der Schule
8
Übersicht
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Rechtliche Grundlagen - Berufliches Gymnasium Besondere Bedingungen bei Einsatz einer CAS-Software
•
•
•
•
9
Die Anschaffung einer CAS-Software (ggf. mit entsprechender Hardware)
statt eines GTR ist freiwillig. Das Finanzierungsmodell enthält eine soziale
Komponente.
Schülerinnen und Schüler des Beruflichen Gymnasiums müssen ständigen
Zugriff auf die (gleiche) CAS-Software haben, d.h. in allen relevanten
Fächern, bei Hausaufgaben und in den Schulferien.
In Prüfungssituationen muss von der Schule sichergestellt werden, dass der
Zugriff nur auf die CAS-Software erfolgt und Zugriffe auf andere
Programme, eigene Dateien, Internet oder Netzwerke aller Art unterbunden
werden.
Das CAS-Software-Konzept muss der oberen Schulaufsicht formlos
angezeigt werden. Die Schulleitung oder Bildungsgangleitung bestätigt die
Einhaltung dieser Bedingungen durch Unterschrift.
Übersicht
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Rechtliche Grundlagen
Verpflichtung zur Anschaffung des GTR
in der gymnasialen Oberstufe und am Beruflichen Gymnasium
• Taschenrechner sind keine Lernmittel, sondern Gegenstände der
persönlichen Ausstattung der Schülerinnen und Schüler.
• Die Anschaffung obliegt damit grundsätzlich den Erziehungsberechtigten bzw. den volljährigen Schülerinnen und Schülern.
Empfehlung: Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells
mit sozialer Komponente auf der Basis umfassender Information und
Beteiligung der schulischen Mitwirkungsgremien.
10
Übersicht
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Rechtliche Grundlagen
Taschenrechnermodelle
• Kein Zulassungsverfahren für Taschenrechnermodelle
• Eingeführter Taschenrechner muss durch Graphikfähigkeit und
weitere Funktionalitäten dem Einsatz im Unterricht und in
Prüfungen gerecht werden.
• Die innerhalb einer Lerngruppe verwendeten Geräte müssen in ihrer
Funktionalität vergleichbar sein.
• Die vollständige Integration in die unterrichtliche Arbeit wird durch
ein einheitliches Taschenrechnermodell erleichtert.
• Die Verpflichtung zur Anschaffung von Taschenrechnern bezieht
sich jedoch nur auf die Funktionalitäten und nicht auf ein bestimmtes
Modell.
11
Übersicht
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Vorschläge zur
Einführung von
GTR/CAS an der
Schule
12
Übersicht
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Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS
Mögliche Entscheidungswege und Zeitplan
Ab Frühjahr 2013:
• Beratungen der Fachschaft Mathematik zur Auswahl eines
GTR-Modells oder der Einführung eines CAS-Konzepts
– Beachtung der geforderten GTR-Funktionalitäten
– Preisvergleich und Vergleich der Lieferbedingungen der
Hersteller/Händler
– Längerfristige Nutzung eines Modells (Verlässlichkeit,
Wiederverkaufsmöglichkeit, Aufbau eines Gerätepools)
– ggf. Abstimmung mit kooperierenden Schulen der Sek. I
(z.B. Sekundarschulen)
• Einbeziehung weiterer Fachschaften zur Abstimmung
fachübergreifender Nutzungsmöglichkeiten
13
Übersicht
Slide 13
Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS
• Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells in einem
Arbeitskreis (Schulleitung, evtl. weitere Vertreterinnen und
Vertreter der Lehrerkonferenz, Mitglieder der Schulpflegschaft, der
Schülervertretung und des Fördervereins)
• Beschluss der Fachkonferenz Mathematik und danach der
Bildungsgangkonferenz als Empfehlung zur Einführung des
ausgewählten GTR-Modells bzw. CAS-Konzepts
• Erstellung einer Vorlage für die schulischen Gremien
• Planung der Fortbildungsmaßnahmen zum GTR/CAS-Einsatz
14
Übersicht
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Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS
Ab September 2013:
• Information und Beteiligung der Mitwirkungsgremien
• Wahrnehmung der Fortbildungsmaßnahmen
• Methodische und didaktische Überlegungen zum GTR/CAS-Einsatz
im Mathematikunterricht
Zum Beginn des Schuljahres 2014/15:
• Nutzung des GTR/CAS im Rahmen des erarbeiteten
Finanzierungsmodells und der verhandelten Konditionen
15
Übersicht
Slide 15
Funktionalitäten
des GTR
16
Übersicht
Slide 16
Funktionalitäten des GTR
Anforderungen an die Funktionalität eines GTR in der S II
I. Wertetabellen und Listen
• Erstellen und bearbeiten von Tabellen und Listen
• graphische Darstellung von Werten einer Tabelle (z. B. als
Punktwolke)
II. Analysis
• Graphische Darstellung von
o Funktionen
o Tangenten an einen Funktionsgraphen an einer Stelle
o Integralfunktionen
• Variieren von Parametern von Funktionstermen
17
Übersicht
Slide 17
Funktionalitäten des GTR
• Ermitteln von Koordinaten ausgewählter Punkte, auch durch
Abfahren der Graphen (Trace-Modus), Kontrolle rechnerischer
Ergebnisse (z. B. lokale Extremstellen, Wendestellen, Schnittpunkte
zweier Funktionsgraphen)
• Numerische Berechnungen
o Ableitung einer Funktion an einer Stelle
o bestimmte Integrale
o Lösen von Gleichungen
18
Übersicht
Slide 18
Funktionalitäten des GTR
III. Lineare Algebra
Lineare Gleichungssysteme (mind. mit 6 Unbekannten)
• Bestimmung der Lösungsmenge von Gleichungssystemen
• Lösungsmengen auch von unterbestimmten linearen
Gleichungssystemen z.B. mithilfe der reduzierten Zeilenstufenform
einer erweiterten Koeffizientenmatrix
Analytische Geometrie/Matrizen (mind. bis zur Dimension 6 x 6)
• Elementare Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen
• Matrizenmultiplikation
• Potenzieren quadratischer Matrizen
19
Übersicht
Slide 19
Funktionalitäten des GTR
IV. Stochastik
• Berechnen von Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert,
Standardabweichung)
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen
– Erstellen von Histogrammen
– Variieren der Parameter
– Berechnen von Kennzahlen (Erwartungswert,
Standardabweichung)
• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomial- und
normalverteilten Zufallsgrößen
• Berechnen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten
• Generieren von Listen mit Zufallszahlen
20
Übersicht
Slide 20
Finanzierungsmodelle
21
Übersicht
Slide 21
Finanzierungsmodelle
Kauf
Miete
Mix
Soziale Komponente
22
Übersicht
Slide 22
Finanzierungsmodelle
Beispiel 1: Variante eines Kaufmodells
Kaufmodell
• Sammelbestellung über die Schule (Beteiligung freiwillig)
– vergünstigte Konditionen
– Nutzung von Sozialprogrammen der Hersteller möglich
– Freigeräte
• Freigeräte werden bedürftigen Schülerinnen und Schülern zur
Verfügung gestellt
• Schule hält ggf. zusätzliche Geräte zur Ausleihe bereit
• Option: Nach einem Durchgang wird eine Börse für gebrauchte
GTR eingerichtet (z. B. Weiterverkauf der GTR von Abiturienten)
23
Übersicht
Slide 23
Finanzierungsmodelle
Beispiel 2: Variante eines Mietmodells
Mietmodell
• Schule schafft einen Satz GTR zur Vermietung an
– vergünstigte Konditionen
– Freigeräte
• Anschubfinanzierung durch den Förderverein
• Festlegung eines angemessenen Mietpreises für den GTR
• Schriftliche Nutzungsvereinbarung zwischen Schule und
Erziehungsberechtigten
• Bei bedürftigen Schülerinnen und Schülern übernimmt der
Förderverein den Mietpreis oder es wird unentgeltlich ein GTR
ausgeliehen.
24
Übersicht
Slide 24
Finanzierungsmodelle
25
Übersicht
Slide 25
Finanzierungsmodelle
Beispiel 3: Mischmodell
Wahlmöglichkeit zwischen drei Optionen:
• Kauf des Gerätes über Sammelbestellung der Schule
• Mieten des Gerätes von der Schule
• Anschaffung des Gerätes in eigener Verantwortung
Für bedürftige Schülerinnen und Schüler übernimmt der Förderverein
der Schule die Mietkosten.
Anschubfinanzierung durch den Förderverein (Sponsoren, Darlehen)
26
Übersicht
Slide 26
Unterrichtlicher
Mehrwert in der S II
27
Übersicht
Slide 27
Übersicht über die Beispiele
28
1
EF
Modellieren mit
Exponentialfunktionen
5
EF, Q1
Extremwertprobleme
9
Q1
Lage von Gerade und
Ebene zueinander
(LGS lösen)
2
Q1
Ein Weg zur
linearen Regression
6
Q1
Berechnen von Integralen
(mit/ohne Bilanzierung)
10
Q2
Arbeiten mit
Übergangsmatrizen
3
EF
Entdecken der
Potenzregel
7
Q1
Untersuchung von
Integralfunktionen
11
Q1, Q2
Ein Weg zur
Normalverteilung
4
EF
Elemente einer
Kurvendiskussion
8
Q1, Q2
Ein Weg zur e-Funktion
12
Q2
Ein Weg zum
Vertrauensintervall
Übersicht
Slide 28
Beispiel 1
EF
Modellieren mit
Exponentialfunktionen
Der GTR …
Zu einer offenbar nicht linearen
Entwicklung wird ein neues, nicht
quadratisches Modell gesucht, z.B.:
Bierschaumzerfall
29
•
nimmt die Daten auf (Tabelle),
•
zeigt die Punktwolke
(Streudiagramm),
•
zeigt Graph zu neuem Modell
(nicht linear, nicht quadratisch),
•
übernimmt weitere Rechnungen
(„Wie lange dauert es, bis …“)
Schokolinsenabnahme
Abkühlungsprozesse
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 29
Beispiel 1
EF
Modellieren mit
Exponentialfunktionen
Der GTR …
Zu einer offenbar nicht linearen
Entwicklung wird ein neues, nicht
quadratisches Modell gesucht, z.B.:
Bierschaumzerfall
30
•
nimmt die Daten auf (Tabelle),
•
zeigt die Punktwolke
(Streudiagramm),
•
zeigt Graph zu neuem Modell
(nicht linear, nicht quadratisch),
•
übernimmt weitere Rechnungen
(„Wie lange dauert es, bis …“)
Schokolinsenabnahme
Abkühlungsprozesse
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 30
31
1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
3.
Ein mögliches
Modell:
Funktionsterm
5.
Ziel: Zeit bis
„Höhe“ 0,5
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
4.
Ein mögliches
Modell:
Graph
6.
Wertetabelle
zu Y1
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 31
32
1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
3.
Ein mögliches
Modell:
Funktionsterm
5.
Ziel: Zeit bis
„Höhe“ 0,5
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
4.
Ein mögliches
Modell:
Graph
6.
Wertetabelle
zu Y1
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 32
Beispiel 2
EF
Ein Weg zur linearen Regression
Zu einem bivariaten Datensatz (z.B.
Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein
lineares Modell gesucht, das diesen
Datensatz „optimal“ beschreibt.
33
Der GTR
•
zeigt das Streudiagramm und die
Lage der ersten Modelle,
•
berechnet Qualitätskriterien,
•
berechnet die Parameter für die
optimale Ausgleichsgerade (m, b),
•
zeigt den optimalen Graphen, und
•
berechnet Residuen bzw.
Abweichungssummen.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 33
Beispiel 2
EF
Ein Weg zur linearen Regression
Zu einem bivariaten Datensatz (z.B.
Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein
lineares Modell gesucht, das diesen
Datensatz „optimal“ beschreibt.
34
Der GTR
•
zeigt das Streudiagramm und die
Lage der ersten Modelle,
•
berechnet Qualitätskriterien,
•
berechnet die Parameter für die
optimale Ausgleichsgerade (m, b),
•
zeigt den optimalen Graphen und
•
berechnet Residuen bzw.
Abweichungssummen.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 34
1.
Die originalen
Daten
2.
Das Streudiagramm
35
3.
Ein erster
Versuch für eine
Ausgleichsgerade
4.
Eine erste
Evaluation:
Quadratsumme
Übersicht Beispiele
5.
Ein besseres
Modell
(oder
GTR-Regression)
6.
Eine weitere
Evaluation
Übersicht
Slide 35
1.
Die originalen
Daten
2.
Das Streudiagramm
36
3.
Ein erster
Versuch für eine
Ausgleichsgerade
4.
Eine erste
Evaluation:
Quadratsumme
Übersicht Beispiele
5.
Ein besseres
Modell
(oder
GTR-Regression)
6.
Eine weitere
Evaluation
Übersicht
Slide 36
Beispiel 3
EF
Entdeckung der Potenzregel
Kann man Regelmäßigkeiten entdecken,
wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2
bis x4) mittlere Änderungsraten
berechnet (z.B. mit h = 0,1) und
graphisch darstellt?
Der GTR …
•
berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem
ausgewählten Intervall 10 – 12
mittlere Änderungsraten,
•
plottet diese Daten zusammen mit
der Potenzfunktion,
•
Als Modell für die Änderungsraten
bietet sich an f*(x) = 4x3.
Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw.
Im Vergleich ergibt sich eine belastbare
Vermutung zur Potenzregel. Anschließen
wird sich der algebraische Beweis.
37
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 37
Beispiel 3
EF
Entdeckung der Potenzregel
Kann man Regelmäßigkeiten entdecken,
wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2
bis x4) mittlere Änderungsraten
berechnet (z.B. mit h = 0,1) und
graphisch darstellt?
Der GTR …
•
berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem
ausgewählten Intervall 10 – 12
mittlere Änderungsraten,
•
plottet diese Daten zusammen mit
der Potenzfunktion,
•
Als Modell für die Änderungsraten
bietet sich an f*(x) = 4x3.
Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw.
Im Vergleich ergibt sich eine belastbare
Vermutung zur Potenzregel. Anschließen
wird sich der algebraische Beweis.
38
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 38
39
1.
Der Graph zu
f(x) = x4
4.
Der Plot der
Änderungsraten
2.
Die Stützstellen
5.
Bildungsgesetz für die
Änderungsraten
(1. Versuch: x3)
3.
Die Änderungsraten
6.
(2. Versuch: 4x3)
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 39
40
1.
Der Graph zu
f(x) = x4
4.
Der Plot der
Änderungsraten
2.
Die Stützstellen
5.
Bildungsgesetz für die
Änderungsraten
(1. Versuch: x3)
3.
Die Änderungsraten
6.
(2. Versuch: 4x3)
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 40
Beispiel 4
EF
Elemente einer
Kurvendiskussion
Der GTR …
•
liefert eine erste wertemäßige
Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),
•
Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf
lokale Eigenschaften, z.B.
berechnet Nullstellen und
Ableitungen an isolierten Stellen,
•
zeigt die Ableitungsfunktion,
•
Nullstellen
•
•
Hoch-/Tiefpunkte
•
Wendepunkte
berechnet die (lokalen)
Extremstellen und die
Wendestellen,
•
zeigt ggf. Tangenten, u.a. die
(den Graphen schneidende!)
Wendetangente.
hin untersucht werden.
41
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 41
Beispiel 4
EF
Elemente einer
Kurvendiskussion
Der GTR …
•
liefert eine erste wertemäßige
Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),
•
Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf
lokale Eigenschaften, z.B.
berechnet Nullstellen und
Ableitungen an isolierten Stellen,
•
zeigt die Ableitungsfunktion,
•
Nullstellen
•
•
Hoch-/Tiefpunkte
•
Wendepunkte
berechnet die (lokalen)
Extremstellen und die
Wendestellen,
•
zeigt ggf. Tangenten, u.a. die
(den Graphen schneidende!)
Wendetangente.
hin untersucht werden.
42
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 42
43
1.
Der Graph
4.
Die Ableitung an
isolierten Stellen
7.
Der Hochpunkt
2.
Das Ablaufen
mit „Trace“
(erste Näherung)
5.
Der Ableitungsbefehl
8.
Die Wendestellen
3.
Die Nullstellen
6.
Der Ableitungsgraph
9.
Die Wendetangente(n)
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 43
44
1.
Der Graph
4.
Die Ableitung an
isolierten Stellen
7.
Der Hochpunkt
2.
Das Ablaufen
mit „Trace“
(erste Näherung)
5.
Der Ableitungsbefehl
8.
Die Wendestellen
3.
Die Nullstellen
6.
Der Ableitungsgraph
9.
Die Wendetangente(n)
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 44
Beispiel 5
EF, Q1
Extremwertprobleme
Zu einem Sachproblem soll eine optimale
Lösung gefunden und evaluiert werden.
45
Der GTR …
•
zeigt den Graphen der Zielfunktion,
•
berechnet ein (numerisches)
Optimum.
Direkt am Graphen erkennt man,
inwieweit die Randwerte für die Lösung
des Sachproblems von Bedeutung sind.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 45
Beispiel 5
EF, Q1
Extremwertprobleme
Zu einem Sachproblem soll eine optimale
Lösung gefunden und evaluiert werden.
46
Der GTR …
•
zeigt den Graphen der Zielfunktion,
•
berechnet ein (numerisches)
Optimum.
Direkt am Graphen erkennt man,
inwieweit die Randwerte für die Lösung
des Sachproblems von Bedeutung sind.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 46
2.
Die Zielfunktion
1.
Das Problem
3.
der Graph
und sein Hochpunkt
47
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 47
2.
Die Zielfunktion
1.
Das Problem
3.
der Graph
und sein Hochpunkt
48
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 48
Beispiel 6
Q1
Berechnen von Integralen
(mit/ohne Bilanzierung)
In einer Sachsituation sollen anhand
der Modellfunktion Berechnungen
durchgeführt werden, bei denen die
Orientierung der Flächen eine Rolle
spielt, z. B.
• „Veränderung der Wassermenge
im Becken“ vs.
• „Menge an gepumptem Wasser“
49
Der GTR …
•
berechnet die Bilanz der
beteiligten Flächen
(„Veränderung im Becken“)
•
berechnet mithilfe der
Betragsfunktion die
„echte/bilanzfreie“ Fläche
(„Menge gepumpten Wassers“),
•
zeigt anhand des Graphen eine
Veranschaulichung dieser beiden
Standardsituation.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 49
Beispiel 6
Q1
Berechnen von Integralen
(mit/ohne Bilanzierung)
In einer Sachsituation sollen anhand
der Modellfunktion Berechnungen
durchgeführt werden, bei denen die
Orientierung der Flächen eine Rolle
spielt, z. B.
• „Veränderung der Wassermenge
im Becken“ vs.
• „Menge an gepumptem Wasser“
50
Der GTR …
•
berechnet die Bilanz der
beteiligten Flächen
(„Veränderung im Becken“)
•
berechnet mithilfe der
Betragsfunktion die
„echte/bilanzfreie“ Fläche
(„Menge gepumpten Wassers“),
•
zeigt anhand des Graphen eine
Veranschaulichung dieser beiden
Standardsituation.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 50
1.
Der Funktionsterm
4.
Der neue Term
51
2.
Der Graph:
„Zufluss/Abfluss“
(Änderungsrate)
5.
Der neue Graph
Übersicht Beispiele
3.
„Die Veränderung
nach 5 Minuten“
6.
„In den 5 Minuten
bewegte
Wassermenge“
Übersicht
Slide 51
1.
Der Funktionsterm
4.
Der neue Term
52
2.
Der Graph:
„Zufluss/Abfluss“
(Änderungsrate)
5.
Der neue Graph
Übersicht Beispiele
3.
„Die Veränderung
nach 5 Minuten“
6.
„In den 5 Minuten
bewegte
Wassermenge“
Übersicht
Slide 52
Beispiel 7
Q1
Untersuchung von
Integralfunktionen
Integralfunktionen sind als Objekte
schwerer zu greifen als die
bestimmten Integral, die gut
veranschaulicht werden können.
53
Die Integralfunktion kann genutzt
werden, …
•
um die Bilanzierungseigenschaft
des Riemann-Integrals zu
vertiefen,
•
ggf. den Hauptsatz vor- oder
nachzubereiten,
•
Grenzen für ein Integral (bei
vorgegebener Fläche bzw.
Bilanz) zu berechnen.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 53
Beispiel 7
Q1
Untersuchung von
Integralfunktionen
Integralfunktionen sind als Objekte
schwerer zu greifen als die
bestimmten Integral, die gut
veranschaulicht werden können.
54
Die Integralfunktion kann genutzt
werden, …
•
um die Bilanzierungseigenschaft
des Riemann-Integrals zu
vertiefen,
•
Grenzen für ein Integral (bei
vorgegebener Fläche bzw.
Bilanz) zu berechnen,
•
ggf. den Hauptsatz vor- oder
nachzubereiten.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 54
55
1.
Der Randgraph
4.
„Ist es schon 1?“
Flächeninhalt
von 0 bis b sei 1
2.
Eingabe der
Integralfunktion,
Start bei a = 0
5.
Lösung mittels
Schnittpunkten
von Funktionen
3.
Der Graph der
Integralfunktion
(a = 0, a = -1)
6.
Lösung mittels
Wertetabelle
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 55
56
1.
Der Randgraph
4.
„Ist es schon 1?“
Flächeninhalt
von 0 bis b sei 1
2.
Eingabe der
Integralfunktion,
Start bei a = 0
5.
Lösung mittels
Schnittpunkten
von Funktionen
3.
Der Graph der
Integralfunktion
(a = 0, a = -1)
6.
Lösung mittels
Wertetabelle
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 56
Beispiel 8
Q2
Ein Weg zur e-Funktion
Gesucht wird (zunächst) nach einem
Zusammenhang zwischen einer
Exponentialfunktion und ihren
Ableitungen.
57
Der GTR …
•
berechnet für y = 2x (und y = 3x)
an ausgewählten Stellen mittlere
Änderungsraten,
•
führt mithilfe einerTabellierung zu
der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
•
ermöglicht mittels einer
graphischen Darstellung eine
erste Näherung für e:
Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 57
Beispiel 8
Q2
Ein Weg zur e-Funktion
Gesucht wird (zunächst) nach einem
Zusammenhang zwischen
Exponentialfunktion und ihren
Ableitungen.
58
Der GTR …
•
berechnet für y = 2x (und y = 3x)
an ausgewählten Stellen mittlere
Änderungsraten,
•
führt mithilfe einer Tabellierung zu
der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
•
ermöglicht mittels einer
graphischen Darstellung eine
erste Näherung für e:
Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 58
59
1.
Stützstellen,
Funktionswerte,
Änderungsraten
für f(x) = 2x
3.
Der Graph zu
f(x) = 2x und die
Änderungsraten
5.
b=3
Graph
2.
Quotientenprobe
4.
Variation der Basis:
b=3
Quotientenprobe
6.
gezielte Suche:
b = 2.7
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 59
60
1.
Stützstellen,
Funktionswerte,
Änderungsraten
für f(x) = 2x
3.
Der Graph zu
f(x) = 2x und die
Änderungsraten
5.
b=3
Graph
2.
Quotientenprobe
4.
Variation der Basis:
b=3
Quotientenprobe
6.
gezielte Suche:
b = 2.7
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 60
Beispiel 9
Q1
Lage von Gerade und Ebene
zueinander (LGS lösen)
Gegeben sind die beiden
Parameterformen zu den drei
möglichen Fällen. Bekannt sei das
algebraische Verfahren:
Lösen eines LGS mit dem GaussAlgorithmus.
61
Der GTR …
•
übernimmt die (normierte)
Koeffizientenmatrix
•
berechnet zu der Koeffizientenmatrix die zugehörige Dreiecksbzw. Diagonalmatrix.
Letztere ermöglicht das direkte
Ablesen der drei möglichen Fälle.
Zudem liefert sie, falls ein
Schnittpunkt existiert, die benötigten
Parameter.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 61
Beispiel 9
Q1
Lage von Gerade und Ebene
zueinander (LGS lösen)
Gegeben sind die beiden
Parameterformen zu den drei
möglichen Fällen. Bekannt sei das
algebraische Verfahren:
Lösen eines LGS mit dem GaussAlgorithmus.
62
Der GTR …
•
übernimmt die (normierte)
Koeffizientenmatrix
•
berechnet zu der Koeffizientenmatrix die zugehörige Dreiecksbzw. Diagonalmatrix.
Letztere ermöglicht das direkte
Ablesen der drei möglichen Fälle.
Zudem liefert sie, falls ein
Schnittpunkt existiert, die benötigten
Parameter.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 62
2.
g schneidet E
(in genau einem Punkt)
1.
Die drei Fälle
3.
g ist echt parallel
zu E
4.
g liegt in E
63
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 63
2.
g schneidet E
(in genau einem Punkt)
1.
Die drei Fälle
3.
g ist echt parallel
zu E
4.
g liegt in E
64
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 64
Beispiel 10
Q2
Arbeiten mit Übergangsmatrizen
Eine bekannte Übergangsmatrix soll
genutzt werden, um den ebenfalls
gegebenen Systemzustand
kurzfristig, langfristig oder
rückwirkend zu modellieren und ggf.
einen Fixvektor zu bestimmen.
65
Der GTR …
• führt die Potenzbildung für kleine
und große Intervalle durch,
• berechnet mittels der inversen
Matrix zurückliegende Zustände,
• nutzt die Einheitsmatrix, um den
Fixvektor zu berechnen.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 65
Beispiel 10
Q2
Arbeiten mit Übergangsmatrizen
Eine bekannte Übergangsmatrix soll
genutzt werden, um den ebenfalls
gegebenen Systemzustand
kurzfristig, langfristig oder
rückwirkend zu modellieren und ggf.
einen Fixvektor zu bestimmen.
66
Der GTR …
• führt die Potenzbildung für kleine
und große Intervalle durch,
• berechnet mittels der inversen
Matrix zurückliegende Zustände,
• nutzt die Einheitsmatrix, um den
Fixvektor zu berechnen.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 66
1.
Die Übergangsmatrix
2.
Die Verteilung
zu Beginn
3.
Die Verteilung
nach 1 Tag
67
4.
Die Verteilung
am Ende der Woche
7.
Fixvektor,
Schritt I
5.
Die Verteilung
nach 1 Monat
8.
Fixvektor,
Schritt II
6.
Hatte die
Startverteilung
einen Vorlauf?
9.
Fixvektor,
Schritt III
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 67
1.
Die Übergangsmatrix
2.
Die Verteilung
zu Beginn
3.
Die Verteilung
nach 1 Tag
68
4.
Die Verteilung
am Ende der Woche
7.
Fixvektor,
Schritt I
5.
Die Verteilung
nach 1 Monat
8.
Fixvektor,
Schritt II
6.
Hatte die
Startverteilung
einen Vorlauf?
x1 - 0.91x4 = 0
9.
…
x1 Fixvektor,
+ x2 + x 3 + x4 = 1
x4 0,42
Schritt
IIIx3 0,09
x1 0,39,
x2 0,1,
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 68
Beispiel 11
Q1, Q2
Ein Weg zur
Normalverteilung
Wichtige Kenngrößen für den
Werteverlauf einer binomialverteilten
Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man
diese beiden Werte für eine „Normierung“
nutzen?
Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“,
wenn man den Graphen
•
um µ Einheiten nach links verschiebt,
•
dann mit σ in x-Richtung staucht und
•
zur Kompensation in y-Richtung mit σ
streckt.
Als Modellfunktion bietet sich an
f ( x ) 0,4 e
69
Übersicht Beispiele
1
x
2
2
Übersicht
Slide 69
Beispiel 11
Q1, Q2
Ein Weg zur
Normalverteilung
Wichtige Kenngrößen für den
Werteverlauf einer binomialverteilten
Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man
diese beiden Werte für eine „Normierung“
nutzen?
Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“,
wenn man den Graphen
•
um µ Einheiten nach links verschiebt,
•
dann mit σ in x-Richtung staucht und
•
zur Kompensation in y-Richtung mit σ
streckt.
Als Modellfunktion bietet sich an
f ( x ) 0,4 e
70
Übersicht Beispiele
1
x
2
2
Übersicht
Slide 70
71
1.
Die Grunddaten
und Kenngrößen
3.
Die neu berechneten
Werte
5.
Ein weiteres Beispiel
mit neuen Werten
für n und p
2.
Die Werte der
Verteilung
4.
Die graphische
Darstellung
6.
Die Modellfunktion
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 71
72
1.
Die Grunddaten
und Kenngrößen
3.
Die neu berechneten
Werte
5.
Ein weiteres Beispiel
mit neuen Werten
für n und p
2.
Die Werte der
Verteilung
4.
Die graphische
Darstellung
6.
Die Modellfunktion
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 72
Beispiel 12
Q1, Q2
Ein Weg zum Vertrauensintervall
Im Vorfeld einer Wahl erhält eine
Partei bei einer Umfrage
621 Stimmen von
1200 Befragten.
Kann die Partei „halbwegs sicher“
sein, bei der Wahl 50% der Stimmen
zu bekommen?
73
Der GTR
•
berechnet mit Hilfe der σ-Regeln,
für welche Werte von p die
gegebene Häufigkeit in der 2σUmgebung liegt,
•
unterstützt mit einer graphischen
Darstellung vertiefende Analysen,
z. B. zu algebraischen Modellen
(Funktionen) für die Ellipse.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 73
Beispiel 12
Q1, Q2
Ein Weg zum Vertrauensintervall
Im Vorfeld einer Wahl erhält eine
Partei bei einer Umfrage
621 Stimmen von
1200 Befragten.
Kann die Partei „halbwegs sicher“
sein, bei der Wahl mindestens 50%
der Stimmen zu bekommen?
74
Der GTR
•
berechnet mit Hilfe der σ-Regeln,
für welche Werte von p die
gegebene Häufigkeit in der 2σUmgebung liegt,
•
unterstützt mit einer graphischen
Darstellung vertiefende Analysen,
z. B. zu algebraischen Modellen
(Funktionen) für die Ellipse.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 74
1.
µ und σ
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
2.
die 2σ-Umgebungen
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
und …
3.
… die „plausiblen“
Wahrscheinlichkeiten
4.
graphische
Darstellung
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
5.
graphische
Darstellung
für 0 ≤ p ≤ 1
6.
Rekonstruktion
mit Wurzelfunktionen
und Schnittpunkten
75
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 75
1.
µ und σ
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
2.
die 2σ-Umgebungen
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
und …
3.
… die „plausiblen“
Wahrscheinlichkeiten
4.
graphische
Darstellung
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
5.
graphische
Darstellung
für 0 ≤ p ≤ 1
6.
Rekonstruktion
mit Wurzelfunktionen
und Schnittpunkten
76
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 76
Ein GTR im Mathematikunterricht
unterstützt u.a.:
Beispiele
Exploratives und entdeckendes Arbeiten
3
8
Begriffsbildendes Arbeiten
2 Regression
12 Vertrauensintervall
Wechsel zwischen Darstellungsformen:
Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph
7
1
Integralfunktion
Exponentialfunktion
Reduktion von Routine-Algorithmen:
mehr Zeit für vertiefendes Verständnis
4
6
9
10
Kurvendiskussion
Integration
LGS
Übergangsmatrizen
Modellieren,
außer- und innermathematisch
5
11
Extremwerte
Normalverteilung
77
Potenzregel
e , e-Funktion
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 77
GTR oder CAS ?
78
Berufliches Gymnasium
Übersicht
Slide 78
Funktionalitäten CAS
Vorgaben Zentralabitur bei Auswahl des CAS Vorschlags
• Algebraische Ausdrücke vereinfachen und vergleichen
• Gleichungen symbolisch und numerisch lösen
• Lineare Gleichungssysteme lösen und
Matrizenberechnungen durchführen
• Funktionen symbolisch und numerisch differenzieren
und integrieren
• Funktionen und Daten zweidimensional graphisch
darstellen
• Werte der Binomialverteilung und Normalverteilung
bestimmen
79
Berufliches Gymnasium
Übersicht
Slide 79
GTR oder CAS ?
GTR
CAS
Wertetabellen
identisch
Graphische Darstellung von
Funktionsgraphen
identisch
Lösen von LGS mit Matrizen
Lösen von LGS
---
Lösen beliebiger GS
---
Vereinfachung und Vergleich von
algebraischen Ausdrücken
80
Gleichungen numerisch lösen
Gleichungen algebraisch lösen
numerische Bestimmung des
Ableitungswertes an einer Stelle
Funktionen algebraisch
Berufliches Gymnasium
differenzieren
Übersicht
Slide 80
GTR oder CAS ?
GTR
CAS
---
Bestimmung von Extremwerten mit
Parameter
numerische Bestimmung der
Funktionen algebraisch integrieren
Flächenmaßzahl
81
Matrizenberechnungen durchführen
(inkl. Inverse, reduz. Diagonalform)
identisch
Binomialverteilung (auch kumuliert)
identisch
Normalverteilung
identisch
Bestimmung von Statistik-Größen
identisch
Bestimmung Regressionsfunktionen
identisch
näherungsweise
Bestimmung von Grenzwerten
Berufliches Gymnasium
Übersicht
Slide 81
GTR oder CAS ?
82
Berufliches Gymnasium
GTR
CAS
GTR
CAS
Übersicht
Slide 82
Handheld oder Software?
GTR oder CAS
Netbook/Laptop/PC/Tablet mit
als Handheld
CAS-Software ( Bedingungen!)
• leichterer Schutz vor
• Schutz vor Täuschungsversuch
Täuschungsversuch
• überall leicht verfügbar
• läuft relativ stabil
deutlich aufwendiger
• aufwendigere Organisation
(Computerraum, Stromversorgung,
Internet-/Netzwerkkontrolle)
• Dokumentation der Lösung
auf Papier
• Dokumentation im Programm möglich,
Ausdruck von Lösungen möglich
• Nutzung weiterer Programme
(andere Fächer, digitale Schulbücher)
83
Berufliches Gymnasium
Übersicht
Slide 83
Einheitliche Lösung
Innerhalb eines AHR-Bildungsgangs soll ein einheitliches
Konzept implementiert werden.
• Möglichkeiten des Austauschs von Unterrichtsmaterialien
• Wiederholer-Problematik
• Wechsel des Bildungsganges (z.B. Quereinstieg Stufe 12)
• Vertretungsunterricht
• Fortbildung
• CAS: Es wird empfohlen, die Schülerinnen und Schüler
eine Einverständniserklärung zu dem CAS-Konzept
unterschreiben zu lassen (bei Schul-Anmeldung).
• Bei verschiedenen AHR-Bildungsgängen an einem
Berufskolleg ist ein einheitliches Konzept von Vorteil.
84
Berufliches Gymnasium
Übersicht
Slide 84
Fachübergreifende
Möglichkeiten
85
Übersicht
Slide 85
Beispiel 1
Physik:
Speicherung elektrischer Energie,
Kondensator
Der Kondensator bietet eine gute
Möglichkeit zum Einsatz von
Schülerexperimenten in der Sek II.
Untersucht werden kann z.B. der
Entladevorgang.
Nutzung des GTR
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung der
Punktwolke
•Bestimmung einer Regressionskurve
•Bestimmung von
Gesetzmäßigkeiten bei der
Kondensatorentladung
Kondensator
86
Übersicht
Slide 86
1.
Der Versuchsaufbau
(Schaltplan)
3.
Ein Beispielgraph
2.
Erfassung der
Messwerte
87
Übersicht
Slide 87
Beispiel 2
Chemie:
Erstellen einer Eichkurve,
Konzentrationsbestimmung
Bei der Bestimmung der
Konzentration von Natriumchlorid in
Meerwasser soll eine Eichkurve
erstellt werden.
Nutzung des GTR
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung der
Punktwolke
•Bestimmung der Eichkurve als
Funktion
Eichkurve
88
Übersicht
Slide 88
89
1.
Versuchsaufbau
3.
Messwertabelle
2.
Auswählen der
Sensoren
4.
Eichkurve
Übersicht
Slide 89
Beispiel 3
Nutzung des GTR
Technik:
Kennlinie einer Solarzelle
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung der
Punktwolke
•Berechnung der Leistung;
Bei der Untersuchung einer
Solarzelle stellt sich die Frage nach
•Graphische Darstellung der
einem optimalen Betriebspunkt, dazu Kennlinie
wird eine Kennlinie erstellt.
•Bestimmung des optimalen
Betriebspunktes
Solarzelle
90
Übersicht
Slide 90
1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
3.
Die
berechnete
Leistung
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
4.
Ein mögliches
Modell:
Graph
91
Übersicht
Slide 91
Beispiel 4
Nutzung des GTR
Sport/Biologie:
Trainingslehre und
Stoffwechselphysiologie
Zur Verknüpfung von Theorie und
Praxis wird der Puls vor, während
und nach einer Belastung gemessen
und anschließend hinsichtlich der
Fragestellung nach der
Sauerstoffversorgung ausgewertet.
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung
•Bestimmung und Vergleich der
Flächen zu Beginn und nach der
Belastung hinsichtlich der
Sauerstoffversorgung
92
Übersicht
Slide 92
1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
3.
Vergleich der Flächen
„Sauerstoffdefizit“
„Sauerstoffschuld“
93
Übersicht
Slide 93
Beispiel 5
Nutzung des GTR
Eine ökonomische Situation mit
• liefert die graphische Darstellung
von K und E
angegebener Kostenfunktion K und
Erlösfunktion E soll untersucht werden.
Denkbare mathematische Schwerpunkte:
• Wendepunkt der Kostenfunktion
• Schnittpunkte der Graphen
von E und K
• Nullstellen der Gewinnfunktion G
• lokaler Hochpunkt von G
• Minimumstelle der Stückkostenfunktion (Betriebsoptimum)
• zeichnet den Graphen von G und
gibt eine Wertetabelle an
• gibt Wertezusammenhänge an
• berechnet Nullstellen, lokale
Extrema und Ableitungen sowie
Wendepunkte an isolierten Stellen
• zeichnet den Graphen der
Stückkostenfunktion und gibt die
Koordinaten des Tiefpunktes an
• gibt die Koordinaten des Schnittpunktes von k und K‘ an
Übersicht
Slide 94
1.
3.
... liefert die graphische
Darstellung von
K und E
... gibt Wertezusammenhänge an
4.
2.
... zeichnet den Graphen von G
und gibt Wertetabellen an
... berechnet Nullstellen
und lokale Extrema
an isolierten Stellen
Übersicht
Slide 95
5.
... berechnet die Ableitung
und Wendepunkte an isolierten
Stellen
6.
... zeichnet Graphen der
Stückkostenfunktion
7.
... gibt die Koordinaten des
Tiefpunktes an
8.
... gibt Schnittpunktkoordinaten an
Übersicht
Slide 96
Fortbildungsmöglichkeiten
97
Übersicht
Slide 97
Fortbildung
- Angebote zur Unterrichtsentwicklung durch
die Bezirksregierungen ab Sj. 2013/2014
- Angebote zur Geräte-/Software-Bedienung
und -Anwendung durch Hersteller und
Anbieter
- …
Übersicht
Slide 98
Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht
des Beruflichen Gymnasiums
Unterrichtlicher
Mehrwert
Sek. II
GTR
oder
CAS
Rechtliche
Grundlagen
Einsatz
des GTR
in der Sek. II
Funktionalitäten
des GTR
Fortbildungsmöglichkeiten
99
Vorschläge zur
Einführung
Finanzierungsmodelle
Fachübergreifende
Möglichkeiten
Berufliches Gymnasium
Impressum: MSW, Ref. 312, Roebers, 10.04.2013
Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht
des Beruflichen Gymnasiums
Unterrichtlicher
Mehrwert
Sek. II
GTR
oder
CAS
Rechtliche
Grundlagen
Einsatz
des GTR
in der Sek. II
Funktionalitäten
des GTR
Fortbildungsmöglichkeiten
1
Berufliches Gymnasium
Vorschläge zur
Einführung
Finanzierungsmodelle
Fachübergreifende
Möglichkeiten
Slide 2
Unterrichtlicher Mehrwert in der S II
Der graphikfähige Taschenrechner unterstützt den Erwerb
mathematischer Kompetenzen.
Reduktion
schematischer
Abläufe
Verständnisförderung durch
Visualisierung
Entdecken
mathematischer
Zusammenhänge
Kontrolle von
Ergebnissen
2
Konzentration auf
den mathematischen Kern
eines Problems
Unterstützung von
begriffsbildendem
Arbeiten
Verarbeitung
größerer
Datenmengen
Experimentieren
und Erkunden
Übersicht
Slide 3
Rechtliche Grundlagen
3
Übersicht
Slide 4
Rechtliche Grundlagen
Verpflichtung zum Einsatz eines graphikfähigen Taschenrechners
(GTR) für Schülerinnen und Schüler, die ab dem Schuljahr 2014/15
in die Einführungsphase eintreten (Erlass vom 27.6.2012).
• in der gymnasialen Oberstufe (Gymnasium, Gesamtschule,
Weiterbildungskolleg, Waldorfschule)
• im Beruflichen Gymnasium (Erziehung und Soziales, Gestaltung,
Informatik, Technik, Wirtschaft und Verwaltung; Anl. D 1 bis D 28)
Alternativ ist weiterhin der Einsatz eines Computer-AlgebraSystems (CAS) möglich.
4
Übersicht
Slide 5
Rechtliche Grundlagen
- Berufliches Gymnasium -
6
Übersicht
Slide 6
Rechtliche Grundlagen - Berufliches Gymnasium Konsequenzen für das Zentralabitur
• verpflichtender Einsatz des GTR ab dem Zentralabitur 2017
• alternativ weiterhin CAS als Hilfsmittel in GK und LK zugelassen
• Einführung eines hilfsmittelfreien Aufgabenteils in MathematikGrund- und Leistungskursen ab dem Zentralabitur 2017 geplant
• im GK nur noch ein gemeinsamer Aufgabensatz für GTR und CAS
7
Übersicht
Slide 7
Rechtliche Grundlagen - Berufliches Gymnasium Technologie
• GTR-Erlass verpflichtet zur Einführung eines GTR-Handheld
• GTR-Software-Lösungen sind nicht zulässig
• Schulen können statt eines GTR auf freiwilliger Basis ein
CAS-Handheld oder eine CAS-Software einführen
• Entscheidung zwischen GTR und CAS in Verantwortung der Schule
8
Übersicht
Slide 8
Rechtliche Grundlagen - Berufliches Gymnasium Besondere Bedingungen bei Einsatz einer CAS-Software
•
•
•
•
9
Die Anschaffung einer CAS-Software (ggf. mit entsprechender Hardware)
statt eines GTR ist freiwillig. Das Finanzierungsmodell enthält eine soziale
Komponente.
Schülerinnen und Schüler des Beruflichen Gymnasiums müssen ständigen
Zugriff auf die (gleiche) CAS-Software haben, d.h. in allen relevanten
Fächern, bei Hausaufgaben und in den Schulferien.
In Prüfungssituationen muss von der Schule sichergestellt werden, dass der
Zugriff nur auf die CAS-Software erfolgt und Zugriffe auf andere
Programme, eigene Dateien, Internet oder Netzwerke aller Art unterbunden
werden.
Das CAS-Software-Konzept muss der oberen Schulaufsicht formlos
angezeigt werden. Die Schulleitung oder Bildungsgangleitung bestätigt die
Einhaltung dieser Bedingungen durch Unterschrift.
Übersicht
Slide 9
Rechtliche Grundlagen
Verpflichtung zur Anschaffung des GTR
in der gymnasialen Oberstufe und am Beruflichen Gymnasium
• Taschenrechner sind keine Lernmittel, sondern Gegenstände der
persönlichen Ausstattung der Schülerinnen und Schüler.
• Die Anschaffung obliegt damit grundsätzlich den Erziehungsberechtigten bzw. den volljährigen Schülerinnen und Schülern.
Empfehlung: Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells
mit sozialer Komponente auf der Basis umfassender Information und
Beteiligung der schulischen Mitwirkungsgremien.
10
Übersicht
Slide 10
Rechtliche Grundlagen
Taschenrechnermodelle
• Kein Zulassungsverfahren für Taschenrechnermodelle
• Eingeführter Taschenrechner muss durch Graphikfähigkeit und
weitere Funktionalitäten dem Einsatz im Unterricht und in
Prüfungen gerecht werden.
• Die innerhalb einer Lerngruppe verwendeten Geräte müssen in ihrer
Funktionalität vergleichbar sein.
• Die vollständige Integration in die unterrichtliche Arbeit wird durch
ein einheitliches Taschenrechnermodell erleichtert.
• Die Verpflichtung zur Anschaffung von Taschenrechnern bezieht
sich jedoch nur auf die Funktionalitäten und nicht auf ein bestimmtes
Modell.
11
Übersicht
Slide 11
Vorschläge zur
Einführung von
GTR/CAS an der
Schule
12
Übersicht
Slide 12
Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS
Mögliche Entscheidungswege und Zeitplan
Ab Frühjahr 2013:
• Beratungen der Fachschaft Mathematik zur Auswahl eines
GTR-Modells oder der Einführung eines CAS-Konzepts
– Beachtung der geforderten GTR-Funktionalitäten
– Preisvergleich und Vergleich der Lieferbedingungen der
Hersteller/Händler
– Längerfristige Nutzung eines Modells (Verlässlichkeit,
Wiederverkaufsmöglichkeit, Aufbau eines Gerätepools)
– ggf. Abstimmung mit kooperierenden Schulen der Sek. I
(z.B. Sekundarschulen)
• Einbeziehung weiterer Fachschaften zur Abstimmung
fachübergreifender Nutzungsmöglichkeiten
13
Übersicht
Slide 13
Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS
• Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells in einem
Arbeitskreis (Schulleitung, evtl. weitere Vertreterinnen und
Vertreter der Lehrerkonferenz, Mitglieder der Schulpflegschaft, der
Schülervertretung und des Fördervereins)
• Beschluss der Fachkonferenz Mathematik und danach der
Bildungsgangkonferenz als Empfehlung zur Einführung des
ausgewählten GTR-Modells bzw. CAS-Konzepts
• Erstellung einer Vorlage für die schulischen Gremien
• Planung der Fortbildungsmaßnahmen zum GTR/CAS-Einsatz
14
Übersicht
Slide 14
Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS
Ab September 2013:
• Information und Beteiligung der Mitwirkungsgremien
• Wahrnehmung der Fortbildungsmaßnahmen
• Methodische und didaktische Überlegungen zum GTR/CAS-Einsatz
im Mathematikunterricht
Zum Beginn des Schuljahres 2014/15:
• Nutzung des GTR/CAS im Rahmen des erarbeiteten
Finanzierungsmodells und der verhandelten Konditionen
15
Übersicht
Slide 15
Funktionalitäten
des GTR
16
Übersicht
Slide 16
Funktionalitäten des GTR
Anforderungen an die Funktionalität eines GTR in der S II
I. Wertetabellen und Listen
• Erstellen und bearbeiten von Tabellen und Listen
• graphische Darstellung von Werten einer Tabelle (z. B. als
Punktwolke)
II. Analysis
• Graphische Darstellung von
o Funktionen
o Tangenten an einen Funktionsgraphen an einer Stelle
o Integralfunktionen
• Variieren von Parametern von Funktionstermen
17
Übersicht
Slide 17
Funktionalitäten des GTR
• Ermitteln von Koordinaten ausgewählter Punkte, auch durch
Abfahren der Graphen (Trace-Modus), Kontrolle rechnerischer
Ergebnisse (z. B. lokale Extremstellen, Wendestellen, Schnittpunkte
zweier Funktionsgraphen)
• Numerische Berechnungen
o Ableitung einer Funktion an einer Stelle
o bestimmte Integrale
o Lösen von Gleichungen
18
Übersicht
Slide 18
Funktionalitäten des GTR
III. Lineare Algebra
Lineare Gleichungssysteme (mind. mit 6 Unbekannten)
• Bestimmung der Lösungsmenge von Gleichungssystemen
• Lösungsmengen auch von unterbestimmten linearen
Gleichungssystemen z.B. mithilfe der reduzierten Zeilenstufenform
einer erweiterten Koeffizientenmatrix
Analytische Geometrie/Matrizen (mind. bis zur Dimension 6 x 6)
• Elementare Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen
• Matrizenmultiplikation
• Potenzieren quadratischer Matrizen
19
Übersicht
Slide 19
Funktionalitäten des GTR
IV. Stochastik
• Berechnen von Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert,
Standardabweichung)
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen
– Erstellen von Histogrammen
– Variieren der Parameter
– Berechnen von Kennzahlen (Erwartungswert,
Standardabweichung)
• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomial- und
normalverteilten Zufallsgrößen
• Berechnen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten
• Generieren von Listen mit Zufallszahlen
20
Übersicht
Slide 20
Finanzierungsmodelle
21
Übersicht
Slide 21
Finanzierungsmodelle
Kauf
Miete
Mix
Soziale Komponente
22
Übersicht
Slide 22
Finanzierungsmodelle
Beispiel 1: Variante eines Kaufmodells
Kaufmodell
• Sammelbestellung über die Schule (Beteiligung freiwillig)
– vergünstigte Konditionen
– Nutzung von Sozialprogrammen der Hersteller möglich
– Freigeräte
• Freigeräte werden bedürftigen Schülerinnen und Schülern zur
Verfügung gestellt
• Schule hält ggf. zusätzliche Geräte zur Ausleihe bereit
• Option: Nach einem Durchgang wird eine Börse für gebrauchte
GTR eingerichtet (z. B. Weiterverkauf der GTR von Abiturienten)
23
Übersicht
Slide 23
Finanzierungsmodelle
Beispiel 2: Variante eines Mietmodells
Mietmodell
• Schule schafft einen Satz GTR zur Vermietung an
– vergünstigte Konditionen
– Freigeräte
• Anschubfinanzierung durch den Förderverein
• Festlegung eines angemessenen Mietpreises für den GTR
• Schriftliche Nutzungsvereinbarung zwischen Schule und
Erziehungsberechtigten
• Bei bedürftigen Schülerinnen und Schülern übernimmt der
Förderverein den Mietpreis oder es wird unentgeltlich ein GTR
ausgeliehen.
24
Übersicht
Slide 24
Finanzierungsmodelle
25
Übersicht
Slide 25
Finanzierungsmodelle
Beispiel 3: Mischmodell
Wahlmöglichkeit zwischen drei Optionen:
• Kauf des Gerätes über Sammelbestellung der Schule
• Mieten des Gerätes von der Schule
• Anschaffung des Gerätes in eigener Verantwortung
Für bedürftige Schülerinnen und Schüler übernimmt der Förderverein
der Schule die Mietkosten.
Anschubfinanzierung durch den Förderverein (Sponsoren, Darlehen)
26
Übersicht
Slide 26
Unterrichtlicher
Mehrwert in der S II
27
Übersicht
Slide 27
Übersicht über die Beispiele
28
1
EF
Modellieren mit
Exponentialfunktionen
5
EF, Q1
Extremwertprobleme
9
Q1
Lage von Gerade und
Ebene zueinander
(LGS lösen)
2
Q1
Ein Weg zur
linearen Regression
6
Q1
Berechnen von Integralen
(mit/ohne Bilanzierung)
10
Q2
Arbeiten mit
Übergangsmatrizen
3
EF
Entdecken der
Potenzregel
7
Q1
Untersuchung von
Integralfunktionen
11
Q1, Q2
Ein Weg zur
Normalverteilung
4
EF
Elemente einer
Kurvendiskussion
8
Q1, Q2
Ein Weg zur e-Funktion
12
Q2
Ein Weg zum
Vertrauensintervall
Übersicht
Slide 28
Beispiel 1
EF
Modellieren mit
Exponentialfunktionen
Der GTR …
Zu einer offenbar nicht linearen
Entwicklung wird ein neues, nicht
quadratisches Modell gesucht, z.B.:
Bierschaumzerfall
29
•
nimmt die Daten auf (Tabelle),
•
zeigt die Punktwolke
(Streudiagramm),
•
zeigt Graph zu neuem Modell
(nicht linear, nicht quadratisch),
•
übernimmt weitere Rechnungen
(„Wie lange dauert es, bis …“)
Schokolinsenabnahme
Abkühlungsprozesse
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 29
Beispiel 1
EF
Modellieren mit
Exponentialfunktionen
Der GTR …
Zu einer offenbar nicht linearen
Entwicklung wird ein neues, nicht
quadratisches Modell gesucht, z.B.:
Bierschaumzerfall
30
•
nimmt die Daten auf (Tabelle),
•
zeigt die Punktwolke
(Streudiagramm),
•
zeigt Graph zu neuem Modell
(nicht linear, nicht quadratisch),
•
übernimmt weitere Rechnungen
(„Wie lange dauert es, bis …“)
Schokolinsenabnahme
Abkühlungsprozesse
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 30
31
1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
3.
Ein mögliches
Modell:
Funktionsterm
5.
Ziel: Zeit bis
„Höhe“ 0,5
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
4.
Ein mögliches
Modell:
Graph
6.
Wertetabelle
zu Y1
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 31
32
1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
3.
Ein mögliches
Modell:
Funktionsterm
5.
Ziel: Zeit bis
„Höhe“ 0,5
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
4.
Ein mögliches
Modell:
Graph
6.
Wertetabelle
zu Y1
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 32
Beispiel 2
EF
Ein Weg zur linearen Regression
Zu einem bivariaten Datensatz (z.B.
Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein
lineares Modell gesucht, das diesen
Datensatz „optimal“ beschreibt.
33
Der GTR
•
zeigt das Streudiagramm und die
Lage der ersten Modelle,
•
berechnet Qualitätskriterien,
•
berechnet die Parameter für die
optimale Ausgleichsgerade (m, b),
•
zeigt den optimalen Graphen, und
•
berechnet Residuen bzw.
Abweichungssummen.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 33
Beispiel 2
EF
Ein Weg zur linearen Regression
Zu einem bivariaten Datensatz (z.B.
Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein
lineares Modell gesucht, das diesen
Datensatz „optimal“ beschreibt.
34
Der GTR
•
zeigt das Streudiagramm und die
Lage der ersten Modelle,
•
berechnet Qualitätskriterien,
•
berechnet die Parameter für die
optimale Ausgleichsgerade (m, b),
•
zeigt den optimalen Graphen und
•
berechnet Residuen bzw.
Abweichungssummen.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 34
1.
Die originalen
Daten
2.
Das Streudiagramm
35
3.
Ein erster
Versuch für eine
Ausgleichsgerade
4.
Eine erste
Evaluation:
Quadratsumme
Übersicht Beispiele
5.
Ein besseres
Modell
(oder
GTR-Regression)
6.
Eine weitere
Evaluation
Übersicht
Slide 35
1.
Die originalen
Daten
2.
Das Streudiagramm
36
3.
Ein erster
Versuch für eine
Ausgleichsgerade
4.
Eine erste
Evaluation:
Quadratsumme
Übersicht Beispiele
5.
Ein besseres
Modell
(oder
GTR-Regression)
6.
Eine weitere
Evaluation
Übersicht
Slide 36
Beispiel 3
EF
Entdeckung der Potenzregel
Kann man Regelmäßigkeiten entdecken,
wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2
bis x4) mittlere Änderungsraten
berechnet (z.B. mit h = 0,1) und
graphisch darstellt?
Der GTR …
•
berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem
ausgewählten Intervall 10 – 12
mittlere Änderungsraten,
•
plottet diese Daten zusammen mit
der Potenzfunktion,
•
Als Modell für die Änderungsraten
bietet sich an f*(x) = 4x3.
Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw.
Im Vergleich ergibt sich eine belastbare
Vermutung zur Potenzregel. Anschließen
wird sich der algebraische Beweis.
37
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 37
Beispiel 3
EF
Entdeckung der Potenzregel
Kann man Regelmäßigkeiten entdecken,
wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2
bis x4) mittlere Änderungsraten
berechnet (z.B. mit h = 0,1) und
graphisch darstellt?
Der GTR …
•
berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem
ausgewählten Intervall 10 – 12
mittlere Änderungsraten,
•
plottet diese Daten zusammen mit
der Potenzfunktion,
•
Als Modell für die Änderungsraten
bietet sich an f*(x) = 4x3.
Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw.
Im Vergleich ergibt sich eine belastbare
Vermutung zur Potenzregel. Anschließen
wird sich der algebraische Beweis.
38
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 38
39
1.
Der Graph zu
f(x) = x4
4.
Der Plot der
Änderungsraten
2.
Die Stützstellen
5.
Bildungsgesetz für die
Änderungsraten
(1. Versuch: x3)
3.
Die Änderungsraten
6.
(2. Versuch: 4x3)
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 39
40
1.
Der Graph zu
f(x) = x4
4.
Der Plot der
Änderungsraten
2.
Die Stützstellen
5.
Bildungsgesetz für die
Änderungsraten
(1. Versuch: x3)
3.
Die Änderungsraten
6.
(2. Versuch: 4x3)
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 40
Beispiel 4
EF
Elemente einer
Kurvendiskussion
Der GTR …
•
liefert eine erste wertemäßige
Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),
•
Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf
lokale Eigenschaften, z.B.
berechnet Nullstellen und
Ableitungen an isolierten Stellen,
•
zeigt die Ableitungsfunktion,
•
Nullstellen
•
•
Hoch-/Tiefpunkte
•
Wendepunkte
berechnet die (lokalen)
Extremstellen und die
Wendestellen,
•
zeigt ggf. Tangenten, u.a. die
(den Graphen schneidende!)
Wendetangente.
hin untersucht werden.
41
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 41
Beispiel 4
EF
Elemente einer
Kurvendiskussion
Der GTR …
•
liefert eine erste wertemäßige
Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),
•
Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf
lokale Eigenschaften, z.B.
berechnet Nullstellen und
Ableitungen an isolierten Stellen,
•
zeigt die Ableitungsfunktion,
•
Nullstellen
•
•
Hoch-/Tiefpunkte
•
Wendepunkte
berechnet die (lokalen)
Extremstellen und die
Wendestellen,
•
zeigt ggf. Tangenten, u.a. die
(den Graphen schneidende!)
Wendetangente.
hin untersucht werden.
42
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 42
43
1.
Der Graph
4.
Die Ableitung an
isolierten Stellen
7.
Der Hochpunkt
2.
Das Ablaufen
mit „Trace“
(erste Näherung)
5.
Der Ableitungsbefehl
8.
Die Wendestellen
3.
Die Nullstellen
6.
Der Ableitungsgraph
9.
Die Wendetangente(n)
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 43
44
1.
Der Graph
4.
Die Ableitung an
isolierten Stellen
7.
Der Hochpunkt
2.
Das Ablaufen
mit „Trace“
(erste Näherung)
5.
Der Ableitungsbefehl
8.
Die Wendestellen
3.
Die Nullstellen
6.
Der Ableitungsgraph
9.
Die Wendetangente(n)
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 44
Beispiel 5
EF, Q1
Extremwertprobleme
Zu einem Sachproblem soll eine optimale
Lösung gefunden und evaluiert werden.
45
Der GTR …
•
zeigt den Graphen der Zielfunktion,
•
berechnet ein (numerisches)
Optimum.
Direkt am Graphen erkennt man,
inwieweit die Randwerte für die Lösung
des Sachproblems von Bedeutung sind.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 45
Beispiel 5
EF, Q1
Extremwertprobleme
Zu einem Sachproblem soll eine optimale
Lösung gefunden und evaluiert werden.
46
Der GTR …
•
zeigt den Graphen der Zielfunktion,
•
berechnet ein (numerisches)
Optimum.
Direkt am Graphen erkennt man,
inwieweit die Randwerte für die Lösung
des Sachproblems von Bedeutung sind.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 46
2.
Die Zielfunktion
1.
Das Problem
3.
der Graph
und sein Hochpunkt
47
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 47
2.
Die Zielfunktion
1.
Das Problem
3.
der Graph
und sein Hochpunkt
48
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 48
Beispiel 6
Q1
Berechnen von Integralen
(mit/ohne Bilanzierung)
In einer Sachsituation sollen anhand
der Modellfunktion Berechnungen
durchgeführt werden, bei denen die
Orientierung der Flächen eine Rolle
spielt, z. B.
• „Veränderung der Wassermenge
im Becken“ vs.
• „Menge an gepumptem Wasser“
49
Der GTR …
•
berechnet die Bilanz der
beteiligten Flächen
(„Veränderung im Becken“)
•
berechnet mithilfe der
Betragsfunktion die
„echte/bilanzfreie“ Fläche
(„Menge gepumpten Wassers“),
•
zeigt anhand des Graphen eine
Veranschaulichung dieser beiden
Standardsituation.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 49
Beispiel 6
Q1
Berechnen von Integralen
(mit/ohne Bilanzierung)
In einer Sachsituation sollen anhand
der Modellfunktion Berechnungen
durchgeführt werden, bei denen die
Orientierung der Flächen eine Rolle
spielt, z. B.
• „Veränderung der Wassermenge
im Becken“ vs.
• „Menge an gepumptem Wasser“
50
Der GTR …
•
berechnet die Bilanz der
beteiligten Flächen
(„Veränderung im Becken“)
•
berechnet mithilfe der
Betragsfunktion die
„echte/bilanzfreie“ Fläche
(„Menge gepumpten Wassers“),
•
zeigt anhand des Graphen eine
Veranschaulichung dieser beiden
Standardsituation.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 50
1.
Der Funktionsterm
4.
Der neue Term
51
2.
Der Graph:
„Zufluss/Abfluss“
(Änderungsrate)
5.
Der neue Graph
Übersicht Beispiele
3.
„Die Veränderung
nach 5 Minuten“
6.
„In den 5 Minuten
bewegte
Wassermenge“
Übersicht
Slide 51
1.
Der Funktionsterm
4.
Der neue Term
52
2.
Der Graph:
„Zufluss/Abfluss“
(Änderungsrate)
5.
Der neue Graph
Übersicht Beispiele
3.
„Die Veränderung
nach 5 Minuten“
6.
„In den 5 Minuten
bewegte
Wassermenge“
Übersicht
Slide 52
Beispiel 7
Q1
Untersuchung von
Integralfunktionen
Integralfunktionen sind als Objekte
schwerer zu greifen als die
bestimmten Integral, die gut
veranschaulicht werden können.
53
Die Integralfunktion kann genutzt
werden, …
•
um die Bilanzierungseigenschaft
des Riemann-Integrals zu
vertiefen,
•
ggf. den Hauptsatz vor- oder
nachzubereiten,
•
Grenzen für ein Integral (bei
vorgegebener Fläche bzw.
Bilanz) zu berechnen.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 53
Beispiel 7
Q1
Untersuchung von
Integralfunktionen
Integralfunktionen sind als Objekte
schwerer zu greifen als die
bestimmten Integral, die gut
veranschaulicht werden können.
54
Die Integralfunktion kann genutzt
werden, …
•
um die Bilanzierungseigenschaft
des Riemann-Integrals zu
vertiefen,
•
Grenzen für ein Integral (bei
vorgegebener Fläche bzw.
Bilanz) zu berechnen,
•
ggf. den Hauptsatz vor- oder
nachzubereiten.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 54
55
1.
Der Randgraph
4.
„Ist es schon 1?“
Flächeninhalt
von 0 bis b sei 1
2.
Eingabe der
Integralfunktion,
Start bei a = 0
5.
Lösung mittels
Schnittpunkten
von Funktionen
3.
Der Graph der
Integralfunktion
(a = 0, a = -1)
6.
Lösung mittels
Wertetabelle
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 55
56
1.
Der Randgraph
4.
„Ist es schon 1?“
Flächeninhalt
von 0 bis b sei 1
2.
Eingabe der
Integralfunktion,
Start bei a = 0
5.
Lösung mittels
Schnittpunkten
von Funktionen
3.
Der Graph der
Integralfunktion
(a = 0, a = -1)
6.
Lösung mittels
Wertetabelle
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 56
Beispiel 8
Q2
Ein Weg zur e-Funktion
Gesucht wird (zunächst) nach einem
Zusammenhang zwischen einer
Exponentialfunktion und ihren
Ableitungen.
57
Der GTR …
•
berechnet für y = 2x (und y = 3x)
an ausgewählten Stellen mittlere
Änderungsraten,
•
führt mithilfe einerTabellierung zu
der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
•
ermöglicht mittels einer
graphischen Darstellung eine
erste Näherung für e:
Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 57
Beispiel 8
Q2
Ein Weg zur e-Funktion
Gesucht wird (zunächst) nach einem
Zusammenhang zwischen
Exponentialfunktion und ihren
Ableitungen.
58
Der GTR …
•
berechnet für y = 2x (und y = 3x)
an ausgewählten Stellen mittlere
Änderungsraten,
•
führt mithilfe einer Tabellierung zu
der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
•
ermöglicht mittels einer
graphischen Darstellung eine
erste Näherung für e:
Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 58
59
1.
Stützstellen,
Funktionswerte,
Änderungsraten
für f(x) = 2x
3.
Der Graph zu
f(x) = 2x und die
Änderungsraten
5.
b=3
Graph
2.
Quotientenprobe
4.
Variation der Basis:
b=3
Quotientenprobe
6.
gezielte Suche:
b = 2.7
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 59
60
1.
Stützstellen,
Funktionswerte,
Änderungsraten
für f(x) = 2x
3.
Der Graph zu
f(x) = 2x und die
Änderungsraten
5.
b=3
Graph
2.
Quotientenprobe
4.
Variation der Basis:
b=3
Quotientenprobe
6.
gezielte Suche:
b = 2.7
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 60
Beispiel 9
Q1
Lage von Gerade und Ebene
zueinander (LGS lösen)
Gegeben sind die beiden
Parameterformen zu den drei
möglichen Fällen. Bekannt sei das
algebraische Verfahren:
Lösen eines LGS mit dem GaussAlgorithmus.
61
Der GTR …
•
übernimmt die (normierte)
Koeffizientenmatrix
•
berechnet zu der Koeffizientenmatrix die zugehörige Dreiecksbzw. Diagonalmatrix.
Letztere ermöglicht das direkte
Ablesen der drei möglichen Fälle.
Zudem liefert sie, falls ein
Schnittpunkt existiert, die benötigten
Parameter.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 61
Beispiel 9
Q1
Lage von Gerade und Ebene
zueinander (LGS lösen)
Gegeben sind die beiden
Parameterformen zu den drei
möglichen Fällen. Bekannt sei das
algebraische Verfahren:
Lösen eines LGS mit dem GaussAlgorithmus.
62
Der GTR …
•
übernimmt die (normierte)
Koeffizientenmatrix
•
berechnet zu der Koeffizientenmatrix die zugehörige Dreiecksbzw. Diagonalmatrix.
Letztere ermöglicht das direkte
Ablesen der drei möglichen Fälle.
Zudem liefert sie, falls ein
Schnittpunkt existiert, die benötigten
Parameter.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 62
2.
g schneidet E
(in genau einem Punkt)
1.
Die drei Fälle
3.
g ist echt parallel
zu E
4.
g liegt in E
63
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 63
2.
g schneidet E
(in genau einem Punkt)
1.
Die drei Fälle
3.
g ist echt parallel
zu E
4.
g liegt in E
64
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 64
Beispiel 10
Q2
Arbeiten mit Übergangsmatrizen
Eine bekannte Übergangsmatrix soll
genutzt werden, um den ebenfalls
gegebenen Systemzustand
kurzfristig, langfristig oder
rückwirkend zu modellieren und ggf.
einen Fixvektor zu bestimmen.
65
Der GTR …
• führt die Potenzbildung für kleine
und große Intervalle durch,
• berechnet mittels der inversen
Matrix zurückliegende Zustände,
• nutzt die Einheitsmatrix, um den
Fixvektor zu berechnen.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 65
Beispiel 10
Q2
Arbeiten mit Übergangsmatrizen
Eine bekannte Übergangsmatrix soll
genutzt werden, um den ebenfalls
gegebenen Systemzustand
kurzfristig, langfristig oder
rückwirkend zu modellieren und ggf.
einen Fixvektor zu bestimmen.
66
Der GTR …
• führt die Potenzbildung für kleine
und große Intervalle durch,
• berechnet mittels der inversen
Matrix zurückliegende Zustände,
• nutzt die Einheitsmatrix, um den
Fixvektor zu berechnen.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 66
1.
Die Übergangsmatrix
2.
Die Verteilung
zu Beginn
3.
Die Verteilung
nach 1 Tag
67
4.
Die Verteilung
am Ende der Woche
7.
Fixvektor,
Schritt I
5.
Die Verteilung
nach 1 Monat
8.
Fixvektor,
Schritt II
6.
Hatte die
Startverteilung
einen Vorlauf?
9.
Fixvektor,
Schritt III
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 67
1.
Die Übergangsmatrix
2.
Die Verteilung
zu Beginn
3.
Die Verteilung
nach 1 Tag
68
4.
Die Verteilung
am Ende der Woche
7.
Fixvektor,
Schritt I
5.
Die Verteilung
nach 1 Monat
8.
Fixvektor,
Schritt II
6.
Hatte die
Startverteilung
einen Vorlauf?
x1 - 0.91x4 = 0
9.
…
x1 Fixvektor,
+ x2 + x 3 + x4 = 1
x4 0,42
Schritt
IIIx3 0,09
x1 0,39,
x2 0,1,
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 68
Beispiel 11
Q1, Q2
Ein Weg zur
Normalverteilung
Wichtige Kenngrößen für den
Werteverlauf einer binomialverteilten
Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man
diese beiden Werte für eine „Normierung“
nutzen?
Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“,
wenn man den Graphen
•
um µ Einheiten nach links verschiebt,
•
dann mit σ in x-Richtung staucht und
•
zur Kompensation in y-Richtung mit σ
streckt.
Als Modellfunktion bietet sich an
f ( x ) 0,4 e
69
Übersicht Beispiele
1
x
2
2
Übersicht
Slide 69
Beispiel 11
Q1, Q2
Ein Weg zur
Normalverteilung
Wichtige Kenngrößen für den
Werteverlauf einer binomialverteilten
Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man
diese beiden Werte für eine „Normierung“
nutzen?
Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“,
wenn man den Graphen
•
um µ Einheiten nach links verschiebt,
•
dann mit σ in x-Richtung staucht und
•
zur Kompensation in y-Richtung mit σ
streckt.
Als Modellfunktion bietet sich an
f ( x ) 0,4 e
70
Übersicht Beispiele
1
x
2
2
Übersicht
Slide 70
71
1.
Die Grunddaten
und Kenngrößen
3.
Die neu berechneten
Werte
5.
Ein weiteres Beispiel
mit neuen Werten
für n und p
2.
Die Werte der
Verteilung
4.
Die graphische
Darstellung
6.
Die Modellfunktion
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 71
72
1.
Die Grunddaten
und Kenngrößen
3.
Die neu berechneten
Werte
5.
Ein weiteres Beispiel
mit neuen Werten
für n und p
2.
Die Werte der
Verteilung
4.
Die graphische
Darstellung
6.
Die Modellfunktion
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 72
Beispiel 12
Q1, Q2
Ein Weg zum Vertrauensintervall
Im Vorfeld einer Wahl erhält eine
Partei bei einer Umfrage
621 Stimmen von
1200 Befragten.
Kann die Partei „halbwegs sicher“
sein, bei der Wahl 50% der Stimmen
zu bekommen?
73
Der GTR
•
berechnet mit Hilfe der σ-Regeln,
für welche Werte von p die
gegebene Häufigkeit in der 2σUmgebung liegt,
•
unterstützt mit einer graphischen
Darstellung vertiefende Analysen,
z. B. zu algebraischen Modellen
(Funktionen) für die Ellipse.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 73
Beispiel 12
Q1, Q2
Ein Weg zum Vertrauensintervall
Im Vorfeld einer Wahl erhält eine
Partei bei einer Umfrage
621 Stimmen von
1200 Befragten.
Kann die Partei „halbwegs sicher“
sein, bei der Wahl mindestens 50%
der Stimmen zu bekommen?
74
Der GTR
•
berechnet mit Hilfe der σ-Regeln,
für welche Werte von p die
gegebene Häufigkeit in der 2σUmgebung liegt,
•
unterstützt mit einer graphischen
Darstellung vertiefende Analysen,
z. B. zu algebraischen Modellen
(Funktionen) für die Ellipse.
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 74
1.
µ und σ
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
2.
die 2σ-Umgebungen
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
und …
3.
… die „plausiblen“
Wahrscheinlichkeiten
4.
graphische
Darstellung
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
5.
graphische
Darstellung
für 0 ≤ p ≤ 1
6.
Rekonstruktion
mit Wurzelfunktionen
und Schnittpunkten
75
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 75
1.
µ und σ
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
2.
die 2σ-Umgebungen
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
und …
3.
… die „plausiblen“
Wahrscheinlichkeiten
4.
graphische
Darstellung
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
5.
graphische
Darstellung
für 0 ≤ p ≤ 1
6.
Rekonstruktion
mit Wurzelfunktionen
und Schnittpunkten
76
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 76
Ein GTR im Mathematikunterricht
unterstützt u.a.:
Beispiele
Exploratives und entdeckendes Arbeiten
3
8
Begriffsbildendes Arbeiten
2 Regression
12 Vertrauensintervall
Wechsel zwischen Darstellungsformen:
Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph
7
1
Integralfunktion
Exponentialfunktion
Reduktion von Routine-Algorithmen:
mehr Zeit für vertiefendes Verständnis
4
6
9
10
Kurvendiskussion
Integration
LGS
Übergangsmatrizen
Modellieren,
außer- und innermathematisch
5
11
Extremwerte
Normalverteilung
77
Potenzregel
e , e-Funktion
Übersicht Beispiele
Übersicht
Slide 77
GTR oder CAS ?
78
Berufliches Gymnasium
Übersicht
Slide 78
Funktionalitäten CAS
Vorgaben Zentralabitur bei Auswahl des CAS Vorschlags
• Algebraische Ausdrücke vereinfachen und vergleichen
• Gleichungen symbolisch und numerisch lösen
• Lineare Gleichungssysteme lösen und
Matrizenberechnungen durchführen
• Funktionen symbolisch und numerisch differenzieren
und integrieren
• Funktionen und Daten zweidimensional graphisch
darstellen
• Werte der Binomialverteilung und Normalverteilung
bestimmen
79
Berufliches Gymnasium
Übersicht
Slide 79
GTR oder CAS ?
GTR
CAS
Wertetabellen
identisch
Graphische Darstellung von
Funktionsgraphen
identisch
Lösen von LGS mit Matrizen
Lösen von LGS
---
Lösen beliebiger GS
---
Vereinfachung und Vergleich von
algebraischen Ausdrücken
80
Gleichungen numerisch lösen
Gleichungen algebraisch lösen
numerische Bestimmung des
Ableitungswertes an einer Stelle
Funktionen algebraisch
Berufliches Gymnasium
differenzieren
Übersicht
Slide 80
GTR oder CAS ?
GTR
CAS
---
Bestimmung von Extremwerten mit
Parameter
numerische Bestimmung der
Funktionen algebraisch integrieren
Flächenmaßzahl
81
Matrizenberechnungen durchführen
(inkl. Inverse, reduz. Diagonalform)
identisch
Binomialverteilung (auch kumuliert)
identisch
Normalverteilung
identisch
Bestimmung von Statistik-Größen
identisch
Bestimmung Regressionsfunktionen
identisch
näherungsweise
Bestimmung von Grenzwerten
Berufliches Gymnasium
Übersicht
Slide 81
GTR oder CAS ?
82
Berufliches Gymnasium
GTR
CAS
GTR
CAS
Übersicht
Slide 82
Handheld oder Software?
GTR oder CAS
Netbook/Laptop/PC/Tablet mit
als Handheld
CAS-Software ( Bedingungen!)
• leichterer Schutz vor
• Schutz vor Täuschungsversuch
Täuschungsversuch
• überall leicht verfügbar
• läuft relativ stabil
deutlich aufwendiger
• aufwendigere Organisation
(Computerraum, Stromversorgung,
Internet-/Netzwerkkontrolle)
• Dokumentation der Lösung
auf Papier
• Dokumentation im Programm möglich,
Ausdruck von Lösungen möglich
• Nutzung weiterer Programme
(andere Fächer, digitale Schulbücher)
83
Berufliches Gymnasium
Übersicht
Slide 83
Einheitliche Lösung
Innerhalb eines AHR-Bildungsgangs soll ein einheitliches
Konzept implementiert werden.
• Möglichkeiten des Austauschs von Unterrichtsmaterialien
• Wiederholer-Problematik
• Wechsel des Bildungsganges (z.B. Quereinstieg Stufe 12)
• Vertretungsunterricht
• Fortbildung
• CAS: Es wird empfohlen, die Schülerinnen und Schüler
eine Einverständniserklärung zu dem CAS-Konzept
unterschreiben zu lassen (bei Schul-Anmeldung).
• Bei verschiedenen AHR-Bildungsgängen an einem
Berufskolleg ist ein einheitliches Konzept von Vorteil.
84
Berufliches Gymnasium
Übersicht
Slide 84
Fachübergreifende
Möglichkeiten
85
Übersicht
Slide 85
Beispiel 1
Physik:
Speicherung elektrischer Energie,
Kondensator
Der Kondensator bietet eine gute
Möglichkeit zum Einsatz von
Schülerexperimenten in der Sek II.
Untersucht werden kann z.B. der
Entladevorgang.
Nutzung des GTR
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung der
Punktwolke
•Bestimmung einer Regressionskurve
•Bestimmung von
Gesetzmäßigkeiten bei der
Kondensatorentladung
Kondensator
86
Übersicht
Slide 86
1.
Der Versuchsaufbau
(Schaltplan)
3.
Ein Beispielgraph
2.
Erfassung der
Messwerte
87
Übersicht
Slide 87
Beispiel 2
Chemie:
Erstellen einer Eichkurve,
Konzentrationsbestimmung
Bei der Bestimmung der
Konzentration von Natriumchlorid in
Meerwasser soll eine Eichkurve
erstellt werden.
Nutzung des GTR
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung der
Punktwolke
•Bestimmung der Eichkurve als
Funktion
Eichkurve
88
Übersicht
Slide 88
89
1.
Versuchsaufbau
3.
Messwertabelle
2.
Auswählen der
Sensoren
4.
Eichkurve
Übersicht
Slide 89
Beispiel 3
Nutzung des GTR
Technik:
Kennlinie einer Solarzelle
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung der
Punktwolke
•Berechnung der Leistung;
Bei der Untersuchung einer
Solarzelle stellt sich die Frage nach
•Graphische Darstellung der
einem optimalen Betriebspunkt, dazu Kennlinie
wird eine Kennlinie erstellt.
•Bestimmung des optimalen
Betriebspunktes
Solarzelle
90
Übersicht
Slide 90
1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
3.
Die
berechnete
Leistung
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
4.
Ein mögliches
Modell:
Graph
91
Übersicht
Slide 91
Beispiel 4
Nutzung des GTR
Sport/Biologie:
Trainingslehre und
Stoffwechselphysiologie
Zur Verknüpfung von Theorie und
Praxis wird der Puls vor, während
und nach einer Belastung gemessen
und anschließend hinsichtlich der
Fragestellung nach der
Sauerstoffversorgung ausgewertet.
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung
•Bestimmung und Vergleich der
Flächen zu Beginn und nach der
Belastung hinsichtlich der
Sauerstoffversorgung
92
Übersicht
Slide 92
1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
3.
Vergleich der Flächen
„Sauerstoffdefizit“
„Sauerstoffschuld“
93
Übersicht
Slide 93
Beispiel 5
Nutzung des GTR
Eine ökonomische Situation mit
• liefert die graphische Darstellung
von K und E
angegebener Kostenfunktion K und
Erlösfunktion E soll untersucht werden.
Denkbare mathematische Schwerpunkte:
• Wendepunkt der Kostenfunktion
• Schnittpunkte der Graphen
von E und K
• Nullstellen der Gewinnfunktion G
• lokaler Hochpunkt von G
• Minimumstelle der Stückkostenfunktion (Betriebsoptimum)
• zeichnet den Graphen von G und
gibt eine Wertetabelle an
• gibt Wertezusammenhänge an
• berechnet Nullstellen, lokale
Extrema und Ableitungen sowie
Wendepunkte an isolierten Stellen
• zeichnet den Graphen der
Stückkostenfunktion und gibt die
Koordinaten des Tiefpunktes an
• gibt die Koordinaten des Schnittpunktes von k und K‘ an
Übersicht
Slide 94
1.
3.
... liefert die graphische
Darstellung von
K und E
... gibt Wertezusammenhänge an
4.
2.
... zeichnet den Graphen von G
und gibt Wertetabellen an
... berechnet Nullstellen
und lokale Extrema
an isolierten Stellen
Übersicht
Slide 95
5.
... berechnet die Ableitung
und Wendepunkte an isolierten
Stellen
6.
... zeichnet Graphen der
Stückkostenfunktion
7.
... gibt die Koordinaten des
Tiefpunktes an
8.
... gibt Schnittpunktkoordinaten an
Übersicht
Slide 96
Fortbildungsmöglichkeiten
97
Übersicht
Slide 97
Fortbildung
- Angebote zur Unterrichtsentwicklung durch
die Bezirksregierungen ab Sj. 2013/2014
- Angebote zur Geräte-/Software-Bedienung
und -Anwendung durch Hersteller und
Anbieter
- …
Übersicht
Slide 98
Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht
des Beruflichen Gymnasiums
Unterrichtlicher
Mehrwert
Sek. II
GTR
oder
CAS
Rechtliche
Grundlagen
Einsatz
des GTR
in der Sek. II
Funktionalitäten
des GTR
Fortbildungsmöglichkeiten
99
Vorschläge zur
Einführung
Finanzierungsmodelle
Fachübergreifende
Möglichkeiten
Berufliches Gymnasium
Impressum: MSW, Ref. 312, Roebers, 10.04.2013