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Lineare Funktionen
mit der Gleichung y = mx
• Wenn sich eine Schildkröte
mit einer gleich bleibenden
Geschwindigkeit von 1,5
m/min fortbewegt, so besteht
zwischen
zurückgelegtem
Weg und verflossener Zeit
ein spezieller funktionaler
Zusammenhang:
• Es handelt sich um einen
direkte Proportionalität mit
dem Proportionalitätsfaktor
1,5 m/min.
t
in min
s
in m
0
0
1
1,5
2
3,0
3
4,5
1
Jeder direkt proportionaler Zusammenhang zwischen
zwei Größen y und x kann durch eine spezielle lineare
Funktion mit der Gleichung y = f(x) = mx beschrieben
werden.
Solche Funktionen haben
folgende Eigenschaften:
• Der Definitions- und der
Wertebereich ist R.
• Der Graph von y = f(x)
= mx ist stets eine
Gerade, die durch den
Koordinatenursprung
verläuft.
2
Die Zahl m heißt dabei der Anstieg der
Funktion f.
Anschaulich betrachtet,
kann man sagen:
• Wenn x um 1 vergrößert wird, so verändert sich y um m.
• Wir sagen: „1 nach
rechts und m nach
oben.“
3
Der Anstieg m
• Ist dabei m > 0, so
wachsen die Funktionswerte an, d.h. die
Gerade steigt.
• Ist dagegen m < 0, so
fallen
die
Funktionswerte,
d.h.
die
Gerade
fällt.
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Um den Graphen einer linearen Funktion mit y = mx
zu zeichnen, werden nur zwei Punkte benötigt.
•
•
Als ein Punkt kann z.B.
immer der Koordinatenursprung
gewählt
werden.
Einen
zweiten
Punkt
erhält man, indem man
den Anstieg m benutzt.
(Oder man berechnet die
Koordinaten dieses Punktes
mithilfe
der
Funktionsgleichung.)
5
m ist ein Bruch
5
y x
2
3
y x
4
6
m < 0  der Graph fällt
y  2 x
1
y x
2
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Steigungsdreieck
Steigungsdreiecke kann man
• in beliebiger Größe und an
beliebiger Stelle zeichnen
• sowie entlang des Graphen
verschieben.
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Durch die Gleichung y = f(x) = mx wird eine
ganze Schar von Funktionen beschrieben, die
sich nur im Anstieg m unterscheiden.
•
Diese Schar von
Funktionen verläuft
• durch den
Koordinatenursprung
• für m > 0 wachsen
(oder steigen)
• und für m < 0 fallen
die Geraden.
9
• Eine Funktion der Form
y = n, (d.h. y = mx + n
mit m = 0), heißt
konstante Funktion.
Sonderfall einer
linearen Funktion
y=n
• Der
Graph
einer
konstanten
Funktion
mit y = n ist eine
Parallele zur x-Achse
im Abstand n.
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Für Funktionen mit der Gleichung y = f (x) = mx + n
gilt:
• Die Graphen bestehen aus
Punkten, die auf einer
Geraden liegen.
• n heißt absolutes Glied
und gibt an, an welcher
Stelle die Gerade die
y-Achse schneidet.
• Bei gleichem Anstieg m
und unterschiedlichem n
sind die Graphen zueinander
parallele
Geraden.
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Zeichnen der Graphen von Funktionen
z. B. y = 0,5 x + 1
y=0,5x+1
-1
0
1
2
3
x
0,5
1
1,5
2
2,5
• Die einfache Möglichkeit, den Graphen einer
linearen Funktion zu
zeichnen, ist das Verwenden von Werten
aus
einer
Wertetabelle.
• Dabei
sollte
man
günstige, d.h. leicht
errechenbare Werte
nutzen.
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Zeichnen der
Graphen
von Funktionen
z. B. y = 0,5 x + 1
Man kann auch ein
Steigungsdreieck
und den Schnittpunkt
mit der y-Achse (0; n)
nutzen:
1. n = 1 auf der y-Achse
markieren.
2. m = 0,5 bedeutet für
das Steigungsdreieck:
„1 nach rechts und
0,5 nach oben.“
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1. n = 1 Der Punkt (0; -1)
ist der Schnittpunkt
mit der y-Achse.
2. m = - 3/2 Von diesem
Punkt aus wird das
Steigungsdreieck (um
2
Einheiten
nach
rechts und um 3
Einheiten nach unten)
angetragen.
Der Graph der
Funktion
3
y   x 1
2
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Nullstellen von Funktionen
• Unter der Nullstelle einer
Funktion versteht man die
Schnittstelle mit der xAchse (Abzissenachse).
• Also liegt die Nullstelle
hier bei xn = 0,5.
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Rechnerische
Nullstellenermittlung
• Um die Nullstelle einer
linearen Funktion zu
ermitteln, wird in die
Funktionsgleichung
für
y = 0 eingesetzt
• und die entstehende
Bestimmungsgleichung
nach x aufgelöst.
3
y  
x 1
2
y 0
3
0 
x 1
2
3
x  1
2
2
x  
3
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Fortsetzung: Nullstellen
• Funktionsgraphen können
keinen, einen oder mehrere
Schnitt- bzw. Berührungspunkt(e) mit der x-Achse
haben.
• Die zugehörigen Funktionen haben dann keine,
eine oder mehrere Nullstelle(n).
xn1= -2 und xn2= 3
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Eine Funktion kann
keine,
eine
oder mehrere
Nullstellen haben.
xn = /
xn = 0
xn1 = -1 und xn2 = 1
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