Transcript Präsentation_Gleichungen

Gleichungen und
Gleichungssysteme
5. Klasse
© Andrea Berger, Martina Graner, Nadine Pacher
Inhaltlichen Grundlagen
zur standardisierten schriftlichen Reifeprüfung
•Inhaltsbereich Algebra und Geometrie (AG)
•(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
•AG 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen,
umformen und im Kontext deuten können
•AG 2.2 Lineare Gleichungen aufstellen,
interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im
Kontext deuten können
Inhaltlichen Grundlagen
zur standardisierten schriftlichen Reifeprüfung
• AG 2.3 Quadratische Gleichungen in einer
Variablen umformen/lösen, über
Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und
Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten
können.
• AG 2.4 Lineare Ungleichungen aufstellen,
interpretieren, umformen/lösen, Lösungen
(auch geometrisch) deuten können.
• AG 2.5 Lineare Gleichungssysteme in zwei
Variablen aufstellen, interpretieren,
umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid
wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch
geometrisch) deuten können.
1. Woche – 1. Stunde
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1. Woche – 1. Stunde
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Gruppenarbeit /
Gruppenpuzzle (Seite 74)
Gruppenarbeit /
Gruppenpuzzle (Seite 74)
Gruppenarbeit /
Gruppenpuzzle (Seite 74)
Gruppenarbeit /
Gruppenpuzzle (Seite 74)
Grundkompetenzen
Formvariablen
• 1-2 Stunden
• 2. Woche
• Gegebene Gleichungen und
Textaufgaben
Tafelbild
• Formvariablen sind
Parameter, unbestimmte
Zahlen. Sie sind keine
Unbekannte, nach denen die
Gleichung gelöst wird! Die
Variable (Unbekannte) ist
damit abhängig von der
Formvariable.
• Eine Gleichung muss nicht für
alle Werte einer Formvariable
lösbar sein.
Tafelbild
• Schritt 1 - Beispiele zu
Gleichungen mit einer
Formvariablen:
• Beispiel: Dazu, dass eine
Gleichung nicht für alle a (und
x) definiert sein muss.
• Beispiel:
SchülerInnen
• Zuerst: Für welche x ist diese
Gleichung definiert
• Dann: Für welche a ist sie
definiert
Schritt I: gegebene
Gleichung
• Löse x2 +2ax + (a2 – a +3) = 0 in
Abhängigkeit von der Formvariable a!
• Die Gleichung ist für alle x und a
definiert
• Schritt 1: Lösen wie eine normale
Gleichung
• Da die Wurzel nur dann gezogen
werden kann, wenn (a-3)>0 ist kann
man nun mehrere Fälle für die
Lösung unterscheiden:
• Schritt 2: Lösungsfälle unterscheiden
Schritt II - Textaufgabe
• Beispiel: Bernhard behauptet: „In
meiner Klasse gibt es um die Hälfte
mehr Burschen als Mädchen, insgesamt
24 Schüler.“ Wie viele Mädchen gehen in
seine Klasse?
• Gleichung:
• x…Anzahl der Mädchen
• Suchen jetzt Lösung in
Abhängigkeit zur
SchülerInnenzahl der Klasse.
• a muss also ein Vielfaches von
5 sein.
Graphisches Lösen Einführungsbeispiel
• Wir wollen als Einführungsbeispiel, das
folgende Gleichungssystem lösen:
I: 4x+y = 38
II: y = x-2
• Als ersten Schritt schreiben wir einmal beide
Gleichungen auf y= um!
• Das wäre dann:
I: y = -4x + 38
II: y = x – 2
• Dies macht man damit man die Steigung der
Gerade erkennen kann. Denn die allgemeine
Formel lautet: y = kx + d!
• Da wir nun die Steigung wissen, können wir
diese beiden Geraden in ein
Koordinatensystem einzeichnen. Nennen wir
hierbei die Gleichung I = g und II = h!
Graphisches Lösen Einführungsbeispiel
• Graphisches Darstellung:
• Um die Lösung überprüfen zu können, lösen wir
die Gleichung nun auf und kommen auf das
Ergebnis, dass die Gleichung einen Schnittpunkt
hat und zwar bei S=(8/6).
• Stimmt das nun mit unserer graphischen
Lösung? Ja!
Parallele bzw. identische
Geraden
• Diskussion:
– Muss eine Gleichung jetzt immer
genau eine Lösung haben? Nein,
eine Gleichung kann auch zwei
parallele Geraden bzw. zwei
identische Geraden enthalten.
Parallele bzw. identische
Geraden
• Zeigen wir nun zwei solche Beispiele wo
wir keine eindeutige Lösung haben:
• Man kann nun erkennen, dass eine
Gleichung nicht immer eindeutig lösbar
sein muss.
Übung – Beispiele
• aus dem Buch – Seite: 208
– Bsp. 525
– Bsp. 526
– Bsp. 527
Handout – Zettel
Gleichsetzungsverfahren
• I: 4x + 2y = 24
• II: -7x + y = -33
Dann wird umgeformt auf y=…!
• I: y = -2x + 12
• II: y = 7x – 33
Danach setzt man die Gleichung gleich!
• -2x + 12 = 7x – 33
Danach löst man die Gleichung nach x auf!
• -9x = -45
• x=5
Gleichsetzungsverfahren
Nun setzt man den x-Wert, oben in eine
Gleichung ein und erhält den
dazugehörigen y-Wert!
•y = -10 + 12
•y = 2
Zur Kontrolle kann man die Angabe (beide
Gleichungen) einsetzen!
Die Lösung heißt nun:
Einsetzungsverfahren
Man beginnt damit, dass man eine der
Gleichungen in die Hauptform y = kx + d
bringt und setzt diese dann in eine andere
Gleichung für y ein.
•I: 4x + 2y = 24
•II: -7x + y = -33
Wir formen nun die zweite Gleichung auf
y= … um!
•II: y = 7x – 33
Nun setzen wir diese umgeformte
Gleichung in die andere ein!
Einsetzungsverfahren
Nun lösen wir dieses Gleichungssystem
nach x auf!
•4x +14x – 66 = 24
•18x = 90
•x = 5
Danach setzen wir den x-Wert wieder in
eine der anderen Gleichungen ein und
erhalten so den y-Wert.
•y = 2
Die Lösung heißt nun:
Additionsverfahren
• I: 4x + 2y = 24
• II: -7x + y = -33
Wir multiplizieren nun die zweite Gleichung
mit -2, damit das y wegfällt!
• I: 4x + 2y = 24
• II: 14x - 2y = 66
Nun fällt uns das y weg und wir erhalten
eine Gleichung nur mit dem x-Wert:
• 18x = 90
• x=5
Wir erhalten nun wieder die Lösung:
Übungsphase
• Danach werden einige Beispiele
eigenständig von den
SchülerInnen gelöst, die einzige
Bedingung ist, dass sie alle
Methoden einmal verwenden
sollen!
• In der nächsten Stunde könnte
man den Stoff durch einen
Stationenbetrieb festigen!
• es gibt auch ein Handout, zum
Nachschlagen für die SchülerInnen
Danke für eure
Aufmerksamkeit!
© Andrea Berger, Martina Graner, Nadine Pacher