Transcript didaktische Hinweise ganz kurz

handlungsorientierte Zugänge zur Algebra
Fachsprache und
fachliche Konsequenzen
des Modells didaktische Hinweise zum
Termbaukasten
Ansatz eines auf Größen basierenden Modells für
Terme
Wir verwenden Längen normierter Trinkhalme,
um außer der Summe auch Produkte von zwei
oder drei Variablen betrachten zu können.
Das Arbeiten mit Größen hat fachliche
Konsequenzen.
a  (1  b) ist in diesem Modell nicht möglich.
b  b  b  b  1  b  1  b  1  b  (1  1  1)  b  3
ist in diesem Modellein Fremdkörper.
IQSH
Ansatz eines auf Größen basierenden Modells für
Terme
Wir verwenden Längen normierter Trinkhalme,
um außer der Summe auch Produkte von zwei
oder drei Variablen betrachten zu können.
Das Arbeiten mit Variablen, deren Werte fest
belegt sind, hat fachliche Konsequenzen.
Für mathematische Zeichen, Tätigkeiten und
Eigenschaften muss es definierte Namen geben.
Wie sprechen wir in der Algebra?
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
2  a  2  b ist ein Term.
a und b heißen Variablen.
Wertebelegung: Man weist einer Variablen
einen (Zahlen)wert zu. Geschieht dies mit
allen Variablen im Term, kann man dessen
(Zahlen)wert ausrechnen.
2  a  2  b  2 12,5 cm  2  5 cm  35 cm
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
2  ( a  b)  2  a  2  b
Die beiden Terme sind gleichwertig.
Definition:
Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie
bei allen Wertebelegungen der Variablen
stets den gleichen (Zahlen)wert ergeben.
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
3 x  4  c  4  x  2  c
Diese beiden Terme sind verschieden.
Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.
Erinnerung an die Definition:
Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie
bei allen Wertebelegungen der Variablen
stets den gleichen (Zahlen)wert ergeben.
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
3 x  4  c  4  x  2  c
Diese beiden Terme sind verschieden.
Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.
Problem: 3  x  4  c  4  x  2  c
Durch
unsere
feste
Wertebelegung
der
3 15 cm  4  7,5 cm  4 15 cm  2  7,5 cm
Variablen ergeben beide Terme zwar den
45 cm
 30aber
cm die
 60Terme
cm  sind
15 cm
gleichen
Wert,
nicht
gleichwertig. 75 cm  75 cm
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
3 x  4  c  4  x  2  c
Diese beiden Terme sind verschieden.
Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.
Die Gleichung ist erfüllt. Der linke Term und
der rechte Term haben durch die Wertebelegung der Variablen den gleichen Wert.
Darauf basieren viele interessante
Aufgaben in Termbaukasten 1.
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
3 x  4  c  4  x  2  c
Diese beiden Terme sind verschieden.
Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.
Der linke und der rechte Term haben durch die Wertebelegung der Variablen den gleichen Wert.
IQSH
Die Gleichung ist erfüllt.
fachliche Hintergründe und Fachsprache
3 x  4  c  4  x  2  c
Diese beiden Terme sind verschieden.
Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.
Das Wertepaar x = 15 cm ; c = 7,5 cm
ist eine Lösung der Gleichung.
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
3 x  4  c  4  x  2  c
Diese beiden Terme sind verschieden.
Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig.
Wir müssen uns klarmachen:
Das Gleichheitszeichen kann
verschiedene Bedeutungen haben!
Ein einziger Begriff „gleich“ genügt nicht!
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
2  ( a  b)  2  a  2  b
Dies ist eine allgemeingültige Gleichung.
Definition:
Eine Gleichung heißt allgemeingültig,
wenn mit jedem Variablenwert aus der
Grundmenge die Gleichung erfüllt ist (der
linke und der rechte Term den gleichen
Wert haben).
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
2  ( a  b)  2  a  2  b
Dies ist eine allgemeingültige Gleichung.
Eine Termumformung erzeugt aus dem linken
Term den rechten. Beide Terme sind gleichwertig.
Setzt man ein Gleichheitszeichen zwischen beide
Terme, ist die so erzeugte Gleichung stets erfüllt,
also allgemeingültig. Man hat „richtig gerechnet“.
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
2  ( a  b)  2  a  2  b
Dies ist eine allgemeingültige Gleichung.
Diese Gleichung ist nicht allgemeingültig!
3 x  4  c  4  x  2  c
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
2  ( a  b)  2  a  2  b
Dies ist eine allgemeingültige Gleichung.
Diese Gleichung ist nicht allgemeingültig!
3 x  4  c  4  x  2  c
Diese Gleichung ist für x = 15 cm und c = 7,5 cm
erfüllt (es entsteht eine wahre Aussage). Das
Wertepaar ist eine Lösung. Für andere Wertebelegungen ist die Gleichung i.A. nicht erfüllt.
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
Was wir berücksichtigen müssen:
Wir führen Terme ein, noch keine Gleichungen.
Dennoch müssen die Begriffe der Algebra schon
zu Beginn auf das abgestimmt sein, was später
kommt.
Ein konsistentes System von Begriffen, eine
konsistente Notation sind erforderlich.
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
Exkurs:
3  z  8  5  z  26

8  2  z  26
Diese beiden Gleichungen sind äquivalent.
Definition:
Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn
sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
Exkurs:
3  z  8  5  z  26

8  2  z  26
Die Lösungsmenge dieser Gleichungen ist
L = { 17 }. z = 17 ist Lösung der Gleichungen.
Definition:
Ein Wert der Variablen heißt Lösung, wenn
mit dieser Wertebelegung der linke und der
rechte Term den gleichen Wert besitzen. IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
3  z  8  5  z  26
Tl (17)  3 17  8  51  8  59
Tr (17)  5 17  26  85  26  59
8  2  z  26
Tl (17)  8
Tr (17)  2 17  26  34  26  8
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
Vorschlag:
Für Terme den Begriff gleichwertig verwenden.
Für Gleichungen später den Begriff äquivalent
verwenden.
Obwohl „gleichwertig“ die Übersetzung von „äquivalent“
ist, werden die Begriffe als verschieden verstanden.
IQSH
fachliche Hintergründe und Fachsprache
Vorschlag
Für Terme den Begriff gleichwertig verwenden.
Den Wert eines Terms
(nach dem „Einsetzen von Variablenwerten“)
und
gleichwertige Terme unterscheiden.
Verschiedene (nicht gleichwertige) Terme
können für eine bestimmte Variablenbelegung den
gleichen Wert besitzen.
IQSH