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9. Geometrie des
3
Abstand
oder
Distanz
ist eine Abbildung 3 3 Eine Abbildung, welche die folgenden drei Axiome erfüllt, heißt eine
Metrik
und der sie beinhaltende Raum heißt ein
metrischer Raum
.
Abstand
oder
Distanz
ist eine Abbildung 3 3 Eine Abbildung, welche die folgenden drei Axiome erfüllt, heißt eine
Metrik
und der sie beinhaltende Raum heißt ein
metrischer Raum
.
A
,
B
,
C
:
d
(
A
,
B
) ≥ 0 und
d
(
A
,
B
) = 0
A
=
B
(9.1)
d
(
A
,
B
) =
d
(
B
,
A
)
d
(
A
,
B
) ≤
d
(
A
,
C
) +
d
(
C
,
B
) (9.3) heißt auch Dreiecksungleichung. (9.2) (9.3)
Abstand
oder
Distanz
ist eine Abbildung 3 3 Eine Abbildung, welche die folgenden drei Axiome erfüllt, heißt eine
Metrik
und der sie beinhaltende Raum heißt ein
metrischer Raum
.
A
,
B
,
C
:
d
(
A
,
B
) ≥ 0 und
d
(
A
,
B
) = 0
A
=
B
(9.1)
d
(
A
,
B
) =
d
(
B
,
A
) (9.2)
d
(
A
,
B
) ≤
d
(
A
,
C
) +
d
(
C
,
B
) (9.3) heißt auch Dreiecksungleichung. (9.3) Die Metrik ist mit der Definition von Differenz und Betrag zweier Vektoren in Übereinstimmung
d
(
A
,
B
) = |
A
-
B
|
9.1 Geradengleichungen
Jede Gerade besitzt zwei Richtungen.
G
(
A
0
) = {
P
3
|
P
= l
A
0
mit l } Anstelle eines Einheitsvektors
A
0
jeden beliebigen Vektor
A
0
kann man eben so gut verwenden.
G
= {
P
|
P
= l
A
+
B
mit l } Durch zwei Punkte des
3
verläuft genau eine Gerade.
G'
= {
P
|
P
= l (
A
-
B
) +
B
mit l }
P
= l
A
+
B
x
y z
= l
a x
l l
a y a z
+
b b y b x z
x
= l
a x
+
b x y
= l
a y
+
b y z
= l
a z
+
b z
9.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden
Abstand
d =
| N | der Geraden vom Ursprung 0 .
N
=
N
0
|
N
| =
N
0
d
N
liegt auf der Geraden und gehört daher zu
G
= {
P
|
P
= l
A
+
B
} Gesucht ist der Parameter l
N
mit
N
= l
N A
+
B A
und
N
stehen senkrecht aufeinander
A
N
= 0 =
A
l
N A
+
A
B
= 0.
l
N
= -
A
B A
A
a
x
b
x
= -
a
x
a
x
a
y
b
y
a
y
a
y
a
z
b
z
a
z
a
z
Für
jeden
Vektor
P
mit
N
0
G
ist das Skalarprodukt die Projektion auf die Normale
N
0
P
= |
P
| cos(
N
0
,
P
) =
d
(9.9) Dieser Gleichung gehorchen alle Geraden, die durch den Punkt
N
verlaufen und senkrecht darauf stehen.
Wählt man eine Ebene aus, indem z. B.
z
bestimmt (9.9) eine Gerade in der
x
-
y
-Ebene 0 gesetzt wird, so
n
0
x
x
+
n
0
y
y
=
d Hessesche Normalform
der Geradengleichung für eine Gerade in der
x
-
y
-Ebene.
2
9.3
Man berechne die Projektion des Vektors 4 1 auf die
x
-Achse.
2
9.3
Man berechne die Projektion des Vektors 4 1 auf die
x
-Achse.
9.4
Die Kanten eines Würfels liegen in den Achsen des kartesischen Koordinatensystems (im rein positiven Bereich). Man berechne den Einheitsvektor der Würfeldiagonalen und 2 die Projektion des Vektors 4 1 auf diese Diagonale.
2
9.3
Man berechne die Projektion des Vektors 4 1 auf die
x
-Achse.
9.4
Die Kanten eines Würfels liegen in den Achsen des kartesischen Koordinatensystems (im rein positiven Bereich). Man berechne den Einheitsvektor der Würfeldiagonalen und die 2 Projektion des Vektors 4 1 auf diese Diagonale.
9.5
Eine Quader besitzt die Seitenlängen 3, 2 und 1. Man berechne den Einheitsvektor einer Raumdiagonale. Man berechne die Projektion der längsten Seite auf die Diagonale.
Zur Berechnung des Abstandes zwischen der Geraden
G
= {
P
|
P
= l
A
+
B
} und dem Punkt
Q
transformiert man alle Geradenpunkte
G'
= {
P'
|
P'
= l
A
+ (
B
-
Q
) } und verfährt weiter wie oben.
Kreuzprodukt: Für jeden Vektor
P
der Geraden gilt
Q P‘
|
P
A
0
| =
d
also auch für
B
oder, wenn der Abstand des Punktes
Q
der Geraden gesucht ist, für
B
–
Q
von |(
B
-
Q
)
A
0
| =
d
2
9.6
Welchen Abstand besitzt die Gerade
G
= {
P
|
P
= l 4 1 + Welchen Abstand besitzt sie vom Punkt 1 1 1 ? 2 3 1 } vom Ursprung?
9.3 Ebenengleichungen
Eine Ebene, die den Ursprung enthält, wird durch zwei Vektoren
A
0
und
B
0
, aufgespannt, sofern die Vektoren nicht zu ein und derselben Geraden gehören, sofern also l :
A
l
B
. Die Ebene ist dann gegeben durch
E
(
A
,
B
) = {
P
|
P
= l
A
+ m
B
mit l , m } } Ebene, die drei beliebige Punkte
A
,
B
,
C
enthält:
E
(
A
,
B
,
C
) = {
P
|
P
= l (
A
-
C
) + m (
B
-
C
) +
C
mit m , l
Normalenvektor
N
0
und ein Punkt
A
: Sei
N
0
n n n x y z
x
N
0
| = 1 und
A
a x
=
a z
E
. Jeder Punkt
P
=
z
E
erfüllt:
N
0 (
P
-
A
) = 0
N
0
P
-
N
0
A
= 0
N
0
P
=
N
0
A
=
d
In Komponenten erhalten wir die
Hessesche Normalform
der Ebenengleichung
n x x
+
n y y
+
n z z
=
d
9.7
Welchen Abstand vom Ursprung besitzt die Ebene mit Normale
N
0
=
3/5 0 4/5
durch den Punkt
A
=
3 1 7
?
9.7
Welchen Abstand vom Ursprung besitzt die Ebene mit Normale
N
0
=
3/5 0 4/5
durch den Punkt
A
=
3 1 7
?
9.8
Welche Achsenabschnitte besitzt diese Ebene?
[
Hinweis
: Den Achsenabschnitt der
x
-Achse findet man, wenn man in der Hesseschen Normalform für Ebenen
y
= 0 =
z
setzt.]
1 1
9.9
Gleichung und
d
für die Ebenen durch 1 1 senkrecht zu
N
= 1 1
1 1
9.9
Gleichung und
d
für die Ebenen durch 1 1 senkrecht zu
N
= 1 1
9.10
Gleichung und
d
für die Ebene durch 2 4 7 senkrecht zu
N
= 3 0 2
1 1
9.9
Gleichung und
d
für die Ebenen durch 1 1 senkrecht zu
N
= 1 1
9.10
Gleichung und
d
für die Ebene durch 2 4 7 senkrecht zu
N
= 3 0 2
9.11
Gleichung und
d
für die Ebene durch 0 1 2 senkrecht zu
N
= 1 1 3
9.4 Reguläre Polyeder
Reguläres Polyeder
(Vielflach) auch
Platonischer Körper
genannt. Durch reguläre Polygone begrenzt. Die Winkelsumme an einer Ecke muss kleiner als 2 p (360 °) sein.
Platon Die fünf regulären Polyeder: Tetraeder (4 Dreiecke, Eckwinkel 3 60 °), Würfel (6 Quadrate, Eckwinkel 3 90 °), Oktaeder (8 Dreiecke, Eckwinkel 4 60 °), Dodekaeder (12 Pentagone, Eckwinkel 3 108 °) und Ikosaeder (20 Dreiecke, Eckwinkel 5 60 °).
9.5 Orthonormalbasis
linear unabhängig
für alle a , b , g gilt a
U
+ b
V
+ g
W
=
0
a = b = g = 0
U
,
V
,
W normiert
und
orthogonal
{
U
,
V
,
W
}
Orthonormalbasis
(ONB)
kanonische
Basis {
X
0
,
Y
0
,
Z
0
}
Satz
Es gibt unendlich viele Orthonormalbasen des 3 .
U
0
cos sin 0
V
0
sin 0
W
0
= 0 0 1
9.1
Welche der folgenden Vektortripel sind linear unabhängig?
a)
1 1 0 , 2 0 0 , 0 1 0 ;
b)
1 1 0 , 2 4 2 , 10 20 10 ;
9.1
Welche der folgenden Vektortripel sind linear unabhängig?
a)
1 1 0 , 2 0 0 , 0 1 0 ;
b)
1 1 0 , 2 4 2 , 10 20 10 ;
c)
1 1 1 , 2 0 1 , 0 1 1 ;
d)
1 2 3 , 2 3 1 , 3 1 3 .
9.1
Welche der folgenden Vektortripel sind linear unabhängig?
a)
1 1 0 , 2 0 0 , 0 1 0 ;
b)
1 1 0 , 2 4 2 , 10 20 10 ;
c)
1 1 1 , 2 0 1 , 0 1 1 ;
d)
1 2 3 , 2 3 1 , 3 1 3 .
9.2
Man berechne die Darstellung des Vektors 9 6 1 in der Basis 1 1 0 , 2 0 1 , 2 3 1 .
9.12
E
1
= {
y x z
|
x
+
y
+
z
= 3 },
E
2
= {
x y z
|
x
= 0 },
E
3
= {
y x z
| 2
x
+
y
+
z
= 4 },
G
1
=
E
1
E
2
,
G
2
=
E
1
E
3
. Welchen Winkel schließen die Geraden
G
1
und
G
2
ein?
9.13
E
1 = {
y x z
|
x
+
y
+
z
= 3 },
E
2 = {
y x z
|
y
= 0 },
E
3 = {
y x z
|
x
-
z
= 1 },
G
1 =
E
1
E
2 ,
G
2 =
E
2
E
3 . Welchen Winkel schließen die Geraden
G
1 und
G
2 ein?
9.14
E
1 = {
x y z
|
x
+
y
+
z
= 3 },
E
2 = {
x y z
|
x
+
y
= 2 },
E
3 = {
y x z
|
x
-
y
= 4 },
G
1 =
E
1
E
2 ,
G
2 =
E
2
E
3 . Welchen Winkel schließen die Geraden
G
1 und
G
2 ein?