Transcript 3. Wichtige Schaltungen der Elektrotechnik

Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3
Grundlagen der Elektrotechnik
Kapitel 3: Wichtige Schaltungen der Elektrotechnik
3
3.1
3.2
3.2.1
3.2.2
3.3
3.4
14.10.2014
Wichtige Schaltungen der Elektrotechnik
Belasteter Spannungsteiler
Messschaltungen
Wheatstone-Messbrücke
Kompensationsschaltung
Stern-Dreiecktransformation
Aufgaben
3-1
2
2
4
4
6
7
8
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3
3.
Wichtige Schaltungen der Elektrotechnik
An dieser Stelle sollen Schaltungsvarianten mit einer besonderen Bedeutung in der Elektrotechnik behandelt werden. Dabei handelt es sich um Grundschaltungen, die für besondere Anwendungen entwickelt wurden, wie z. B. die Messtechnik.
3.1
Belasteter Spannungsteiler
Die für den unbelasteten Spannungsteiler geltenden Zusammenhänge wurden bereits angegeben. Diese Schaltung wird eingesetzt, wenn die Versorgungsspannung eines Systems größer
als die Nennspannung des anzuschließenden Verbrauchers ist. Der Spannungsteiler wird dann
häufig als Widerstand mit variablem Abgriff ausgeführt. An einen Festanschluss und den variablen Abgriff wird dann der Verbraucher angeschlossen (Abbildung 3.1.1).
I1
U1
R1
U
IL
R
R2
RL
UL
U2
I2
Abbildung 3.1.1: Variabler Spannungsteiler mit angeschlossenem Verbraucher
Über den veränderlichen Spannungsteiler kann nun die Lastspannung UL eingestellt werden.
Setzt man die Spannungsteilerregel an, muss die Parallelschaltung des Teilwiderstandes R2 mit
dem Lastwiderstand RL beachtet werden.
Gleichung 3.1.1
R2 || R L
UL U2 U 
R1  ( R2 || RL )
Bildet man das Spannungsverhältnis U2 zu U ergibt sich Gleichung 3.1.2
Gleichung 3.1.2
R2  R L
U2
R2  R L
R2  R L


R2  R L
U
R1  ( R2  R L )  R2  R L
R1 
R2  R L
Da die Werte für R1 und R2 meist nicht direkt bekannt sind, sondern oftmals über die Schleiferstellung ermittelt werden müssen, ist es sinnvoll, sie durch Ausdrücke von R zu ersetzen. Dabei
soll angenommen werden, dass es sich bei dem Widerstand R um einen Widerstand mit
verstellbarem Mittelabgriff handelt (Abbildung 3.1.2).
Es gilt dann Gleichung 3.1.3.
R2    R mit  [0..1] und R1  R  R2  R  (1   )
Gleichung 3.1.3
Es folgt daher für Gleichung 3.1.2:
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3
Schleiferstellung 
Endstellung =1
R1
R2
Anfangsstellung =0
R
Abbildung 3.1.2: Widerstand mit Mittelabgriff
U2
  R  RL
  R  RL


2
2
U
R  (1   )  (  R  RL )    R  RL   R  R  RL    R 2    R  RL    R  RL
Gleichung 3.1.4
U2
  RL
  RL


2
U   R    R  RL   R  (1   )  RL
Damit lässt sich der Laststrom ermitteln.
U
U 
Gleichung 3.1.5
IL  2 
R L   R  (1   )  R L
Damit lassen sich Grenzwertbetrachtungen für die Schleiferstellungen =0 und =1 anstellen.
U
Gleichung 3.1.6
  0  I L  0 und   1  I L 
RL
Dies stimmt mit den in Abbildung 3.1.1 dargestellten Verhältnissen überein. Es kann weiterhin
aus Gleichung 3.1.4 ein Kennlinienfeld für den Laststrom in Abhängigkeit von Schleiferstellung
und Lastwiderstand entwickelt werden (Abbildung 3.1.3). Die Kurven weisen eine deutliche
Krümmung auf. Je kleiner der Lastwiderstand im Verhältnis zum Schleifwiderstand R wird,
desto stärker wird die Krümmung. Für einen Widerstand von RL gegen unendlich ergibt sich
aus Gleichung 3.1.4:
U2/U, 1
IL/ILmax
unbelastet
R=RL
R=10RL
RL
0
0
1

Abbildung 3.1.3: Kennlinienfeld des belasteten Spannungsteilers
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3
U2

U
Für RL=0 ergibt sich U2=0.
3.2
Gleichung 3.1.7
Messschaltungen
Zur Bestimmung eines ohmschen Widerstands können ein Amperemeter und ein Voltmeter
verwendet werden. Misst man den Strom durch den Widerstand und den Spannungsabfall am
Widerstand, kann der Widerstandswert nach dem ohmschen Gesetz berechnet werden. Als
Messschaltung kommen die in Abbildung 3.2.1 angegebenen Schaltungen in Frage.
a)
b)
V
R
V
R
IR
A
IR
A
UR
UR
Abbildung 3.2.1: Messschaltungen zur Bestimmung eines ohmschen Widerstands
Beide Schaltungen sind mit einem prinzipiellen Messfehler behaftet. Da ein ideales Amperemeter einen Innenwiderstand von Null Ohm hat und das Messergebnis nicht beeinflusst, hat ein
reales Amperemeter sehr wohl einen messbaren Innenwiderstand. Ein idealer Spannungsmesser
hat hingegen einen Innenwiderstand von Unendlich, ein realer jedoch einen endlichen. Bei
Schaltung a) wird daher zum Widerstandsstrom vom Amperemeter der Strom durch den Spannungsmesser addiert. Die Spannung wird korrekt gemessen. Die Schaltung wird daher als
spannungsrichtig bezeichnet.
Im Fall b) wird vom Spannungsmesser der Spannungsabfall am Amperemeter mit gemessen.
Der Strom wird korrekt angegeben. Entsprechen wird die Schaltung auch als stromrichtig bezeichnet.
3.2.1 Wheatstone-Messbrücke
Um diese prinzipiellen Fehler bei der Bestimmung von Widerständen zu vermeiden, wurden
Messbrücken entwickelt. Sie bilden einen doppelten Spannungsteiler. Der prinzipielle Aufbau
der Wheatstone-Messbrücke ist in Abbildung 3.2.1.1 dargestellt.
Dabei handelt es sich um zwei parallel geschaltete Spannungsteiler. Die Widerstände des Spannungsteilers sind dabei so zu bemessen, dass der Stromfluss durch das Amperemeter zu Null
wird. Ist dies der Fall, teilt sich bei beiden Spannungsteilern die Versorgungsspannung im gleichen Verhältnis auf die Widerstände auf. Es gilt dann Gleichung 3.2.1.1.
Gleichung 3.2.1.1
R3
R1
U 3  U1  U 
U 
R1  R2
R3  R4
Ebenso muß Gleichung 3.2.1.2 Gültigkeit haben.
Gleichung 3.2.1.2
R2
R4
U4  U2  U 
U 
R1  R2
R3  R4
Bildet man daraus den Quotienten der Spannungsabfälle, erhält man die Abgleichbedingung
(Gleichung 3.2.1.3).
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3
I
I3
I1
U1
R1
R3
U3
A
U
I4
I2
U2
R2
R4
U4
Abbildung 3.2.1.1: Wheatstone-Messbrücke
U 1 U 3 R1 R3
Gleichung 3.2.1.3



U 2 U 4 R2 R4
Wie der Spannungsteiler kann diese Messbrücke mit einem Schleifdrahtwiderstand realisiert
werden, der die Kombination R1 und R2 ersetzt. Der Widerstand R3 wird weiterhin durch einen
Normwiderstand RN mit hoher Langzeitkonstanz und vernachlässigbarer Temperaturabhängigkeit ersetzt. An Stelle des Widerstands R4 wird der unbekannte, auszumessende Widerstand RX
eingesetzt. Das Verhältnis von R1 und R2 wird dabei über den Mittelabgriff solange geändert,
bis der Amperemeter keinen Stromfluss mehr anzeigt. Über die Einstellung am Schleifdraht
kann dann der unbekannte widerstand mit Hilfe des bekannten Normwiderstands berechnet
werden. Abbildung 3.2.1.2 zeigt das Prinzipbild der Messbrücke. Der unbekannte Widerstand
berechnet sich dann nach Gleichung 3.2.1.4.
IN
I
U1
U
A
R
U2
RN
UN
R1
IX
R2
UX
RX
Abbildung 3.2.1.2: Realisierungsform der Wheatstone-Meßbrücke
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3
Gleichung 3.2.1.4
R 
R1 R3
R  (1   ) RN



 RX  N
R2 R4
R 
RX
1 
3.2.2 Kompensationsschaltung
Eine Messschaltung zur genauen Bestimmung von Spannungen bildet die Kompensationsschaltung (Abbildung 3.2.2.1). Der Strom IA kann mittels zweier Maschenumläufe bestimmt
werden.
I
U1
U
R1
A
R
U2
UA
RA
IA
R2
UX
Abbildung 3.2.2.1: Schaltung zur Spannungsmessung
Gleichung 3.2.2.1
U  U 2  U 1  0  U  R2   I  I A   R1  I  0
Daraus ergibt sich:
U  R2  I  R2  I A  R1  I  0
Der zweite Maschenumlauf ergibt:
Gleichung 3.2.2.2
U X  U 2  U A  0  U X  R2   I  I A   R A  I A  0
Aus dem ersten Maschenumlauf (Gleichung 3.2.2.1) folgt die Bestimmungsgleichung für den
Strom I.
U  R2  I A
Gleichung 3.2.2.3
I
R1  R2
Setzt man dies in Gleichung 3.2.2.2 ein, ergibt sich:
 U  R2  I A   R1  R2   I A 
  RA  I A  0
U X  R2  

R

R
1
2


Werden alle Ausdrücke gleichnamig gemacht, ergibt sich:
 R1  R2   U X  R2  U  R22  I A  I A  R1  R2  I A  R22  I A  R1  R A  I A  R A  R2  0
Für den Strom IA ergibt sich daraus Gleichung 3.13.
R U  R U X
Gleichung 3.2.2.4
IA  2
R1  R2  R A  R
Für den Fall, dass IA=0 gilt, liegt ein unbelasteter Spannungsteiler vor mit den entsprechenden
Zusammenhängen.
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3
3.3
Stern-Dreiecktransformation (nur Elektrotechnik)
Für den Fall einer unabgeglichenen Messbrücke (Abbildung 3.3.1) ist es notwendig den Strom
I2 zu bestimmen, um den unbekannten Widerstand R4 zu ermitteln. Betrachtet man die
Schaltung genau, ist ersichtlich, dass sie mit Strom- und Spannungsteilerregel nicht
berechenbar ist. Gelänge es, eine der Beiden Dreieckschaltungen in eine Sternschaltung
umzuwandeln, sind wieder die Gesetze von Strom- und Spannungsteiler anwendbar. Für diese
Umwandlung gelten Gleichungen 3.3.1 bis 3.3.3.
I
U1
R1
R3
U3
R2
I1
I3
I2
U
U2
U5
R5
R4
U4
I5
I4
Abbildung 3.3.1: Unabgeglichene Messbrücke
R2  R3
R1  R2  R3
R1  R3
R2* 
R1  R2  R3
R1  R2
R3* 
R1  R2  R3
Für den umgekehrten Transformationsweg gelten Gleichungen 3.3.4 bis 3.3.6
R2*  R3*
*
*
R1  R2  R3 
R1*
Gleichung 3.3.1
R1*  R3*
R2  R  R 
R2*
Gleichung 3.3.5
R1* 
*
1
*
3
Gleichung 3.3.2
Gleichung 3.3.3
Gleichung 3.3.4
Gleichung 3.3.6
R1*  R2*
R3  R  R 
R3*
Die Transformation wird nach der in Abbildung 3.3.2 dargestellten Anordnung durchgeführt.
Die zu den Konten A, B und C fließenden Ströme bleiben dabei in Größe und Richtung
erhalten.
*
1
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*
2
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3
IA
A
IA
A
U1
R1
U3
*
R3
U2
*
R2
B
IB
R3
C
U2
IC
*
R1
C
B
*
U3
IB
Abbildung 3.3.2: Stern-Dreiecktransformation
14.10.2014
*
R2
3-8
*
U1
IC
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3
3.4
Aufgaben
Aufgabe 3.4.1
Bestimmen Sie die Verlustleistung eines belasteten Spannungsteilers in Abhängigkeit vom
Schleifwiderstand R, der Schleiferstellung  und dem Lastwiderstand RL.
Aufgabe 3.4.2
Gegeben ist der in Abbildung 3.4.2.1 dargestellte Spannungsteiler. Bestimmen Sie den
Laststrom IL und die Lastspannung UL zunächst allgemein (Formel) und als Zahlenwert.
U=100V
R=20
RL=40
R
R
R
U
RL
UL
IL
Abbildung 3.4.2.1: Spannungsteiler zu 3.4.2
Aufgabe 3.4.3
Gegeben ist ein belasteter Spannungsteiler (Abbildung 3.4.3.1). Der Spannungsteiler arbeitet
auf einen nichtlinearen Widerstand mit der in Abbildung 3.4.3.2 dargestellten Kennlinie. Die
Spannung U beträgt 20V, der Widerstand R hat einen Wert von 8 und die Schleiferstellung
beträgt =0,5. Bestimmen Sie den Laststrom IL und die Spannung UL.
I
U
IL
R
RL
UL
Abbildung 3.4.3.1: Belasteter Spannungsteiler
14.10.2014
3-9
Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3
I/A
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U/V
Abbildung 3.4.3.2: Widerstandskennlinie von RL in Aufgabe 3.4.3
Aufgabe 3.4.4 (nur Elektrotechnik)
Weisen Sie die Richtigkeit der Transformationsvorschrift für die Widerstände bei DreieckSterntransformation nach.
Aufgabe 3.4.5
Die Messschaltung zur Spannungsbestimmung mittels Kompensation befindet sich im abgeglichenem Zustand. Der Wert für  ist dann 0,5. Der Widerstand RA beträgt die Hälfte des
Schleifwiderstandes. Die unbekannte Spannungsquelle UX wird nun umgepolt. Bestimmen Sie
den Strom durch RA.
I
U1
U
R1
UA
A
R
U2
RA
IA
R1
UX
Abbildung 3.4.5.1: Abgeglichene Schaltung
Aufgabe 3.4.6
Gegeben ist die Schaltung in Abbildung 3.4.6.1. Der markierte Schaltungsteil soll in eine
Dreieckschaltung umgewandelt werden. Bestimmen Sie dazu den Querwiderstand in der resultierende Brückenschaltung, den Strom durch diesen Widerstand und den Spannungsabfall.
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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3
A
IA
U1
2R
R
U
2R
C
B
U2
IB
U3
U4
2R
U5
Abbildung 3.4.6.1: Umzuformende Schaltung
14.10.2014
IC
3-11
R