Transcript Potenzfunktionen mit ganzzahligen positiven ungeraden Exponenten

Funktionen
Welche Funktionen kennt ihr???
Lineare Funktion
f(x)  2x  3
Graph:
Gerade
Definitionsmenge:
ID=IR
Wertemenge:
IW=IR
Allgemeine
y = mx + t
Form:
Nullstelle:
3
x
2
Wertetabelle für 0  x  12 :
x
f(x)
0
1
5 2,25
2
3
0
-1,75
4
Quadratische Funktion
5
6
7
8
-3 -3,75 -4 -3,75
9
-3 -1,75
10
0
11
12
2,25 5
1
f(x)  x²  3x  5
4
Tiefpunkt:
T(6/-4)
Nullstellen:
x1=2
x2=10
Graph:
Parabel
Definitionsmenge:
ID=IR
Wertemenge:
IW  y / y  4
Allgemeine
y=ax²+bx+c
Form:
1
2
3
4
x
1
2
3
4
x
Volumen des Würfels?
1
2
3
4
x
x
1
2
V(x)
1
8
3
4
27 64
Für das Volumen eines Würfels kann allgemein geschrieben werden:
x  x  x  x3
Jedem x wird eindeutig ein y zugeordnet,
deshalb spricht man auch hier von einer Funktion.
f(x)=x³
Potenzfunktionen
Def. : Eine Funktion der Form f(x)  x n mit n  / 0
heißt Potenzfunktion n  ter Ordnung.
Abhängig vom Exponenten n unterscheiden sich die Graphen der
Potenzfunktionen erheblich.
Sonderfälle:
n=0

n=1

f(x) = 1
f(x) = x
n=0

f(x) = 1

Graph ?
n=1

f(x) = x

Graph ?
Wie aber sieht eine Funktion f(x) = x³ aus ???
Eine „alte Bekannte“ kann uns dabei weiterhelfen:
Die
Wertetabelle!!!
x
f(x)=x³
-2
-1,5
-1
-0,5
-0,25
-8 -3,375 -1 -0,125 -0,016
0
0
0,25
0,5
1
0,016 0,125 1
1,5
2
3,375 8
x
-2
-1,5
-3,375
-1
-1
-0,5
-0,25
f(x)=x³
-8
g(x)=x5
-32 -7,594 -1 -0,031 -0,001
0
-0,125 -0,016 0
0
0,25
0,5
0,016 0,125
0,001
0,03
1
1
1
1,5
3,375
7,594
2
8
32
1) Potenzfunktionen mit ganzzahligen
positiven ungeraden Exponenten
Beispiele: f(x) = x³, g(x) = x5;
Steckbrief:
h(x) = x7
Graph:
Kubische
Parabel
DefinitionsMenge:
ID=IR
WerteMenge:
IW=IR
Symmetrieeigenschaft:
Punktsymmetrisch
zum Koordinatenursprung
Gemeinsame P1(0/0); P2(1/1);
Punkte:
P3(-1/-1)
Auswirkung
von n auf den
Verlauf des
Graphen:
Je größer n ist,
desto steiler
verlaufen die
Parabeln
Prüfe dein Wissen!
Beurteile, ob die Aussage richtig oder falsch ist:
R
1) Links ist der Graph einer Potenzfunktion mit ganzzahligem positiven
ungeraden Exponenten abgebildet.
2) Die Wertemenge ist
IW=IR
3) Die Definitionsmenge ist
ID  IR0
4) Der Graph ist achsensymmetrisch
zur y-Achse
F
x
x
x
x
Das waren Potenzfunktionen mit ganzzahligen
positiven ungeraden Exponenten.
Nun ist es Zeit für
ein Rätsel!
Der Frachter "Kleine Prinzessin" liegt im Hamburger
Hafen. Der Matrose Hein streicht das Schiff. Seine
Strickleiter reicht bis 10 cm über das Wasser, die
Sprossen sind je 25 cm voneinander entfernt. Hein steht
auf der untersten Sprosse, als die Flut kommt. Der
Wasserspiegel steigt um 65 cm. Wie viele Sprossen muss
er höher steigen, damit er keine nassen Füße bekommt?
Hein muss keine Stufe hoch gehen,
weil das Schiff ja mit steigt.
Und noch ein Rätsel!
Wie viele Karten hat das Kartenspiel noch?
Ein Kartenspiel, das normalerweise 52 Karten hat, ist nicht mehr komplett.
Wenn man die Karten gleichmäßig auf 9 Personen aufteilt, bleiben 2 Karten übrig.
Wenn man sie auf 4 Personen aufteilt, bleiben 3 übrig.
Wenn man sie auf 7 Personen aufteilt bleiben 5 übrig.
Wie viele Karten sind im Spiel?
Es fehlen 5 Karten; 47 sind im Spiel!
2) Potenzfunktionen mit ganzzahligen
positiven geraden Exponenten
Steckbrief:
Beispiele: f(x) = x², g(x) = x4; h(x) = x6
x
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
f(x)=x²
4 2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
g(x)=x4
16 5,06
1
0,06 0
0,06
1
5,06
16
Graph:
Parabel
DefinitionsMenge:
ID=IR
WerteMenge:
IW=IR+0
Symmetrieeigenschaft:
Achsensymmetrisch
Zur y-Achse
Gemeinsame
Punkte:
P1(0/0); P2(1/1);
P3(-1/1)
Auswirkung
von n auf den
Verlauf des
Graphen:
Je größer n wird,
desto schlanker
verlaufen die
Parabeln.
Prüfe dein Wissen!
Beurteile, ob die Aussage richtig oder falsch ist:
R
1) Links ist der Graph einer Potenzfunktion mit ganzzahligem positiven
ungeraden Exponenten abgebildet.
2) Die Wertemenge ist
IW  IR0
3) Die Definitionsmenge ist
ID  IR0
4) Der Graph ist punktsymmetrisch zum
Koordinatenursprung.
F
x
x
x
x
Ermittle mögliche Funktionsgleichungen:
Eigenschaften:
Eigenschaften:
1) D= R
2) W= R+0
3) P(1/1); Q(-1/1); R(0/0)
f(x)=x2
f(x)=x4
1) D= R
2) W= R
3) P(1/1); Q(-1/-1); R(0/0)
f(x)=x3
f(x)=x5
Arbeitsaufträge:
1) Zeichne die Graphen der Funktionen f(x) = - x³ und g(x) = - x5
in ein Koordinatensystem
a) Erläutere, welche Zusammenhänge zu den Graphen der
Funktionen h(x) = x³ und k(x)= x5 bestehen.
b) Bestimme jeweils den Definitionsbereich ID und den
Wertebereich ID.
2) Zeichne die Graphen der Funktionen f(x) = - x² und g(x) = - x4
in ein Koordinatensystem
a) Was lässt sich aus der Zeichnung ersehen?
b) Bestimme jeweils den Definitionsbereich ID und den
Wertebereich ID.