Transcript Zusammenfassung funktionale Abhängigkeiten

Funktionale
Abhängigkeiten
Amstetten 2014
Evelyn Süss-Stepancik
O Darstellen & Modellbilden
O Variation der Parameter
Darstellen/Modellbild
en
Bildungsstandards
O Inhaltsbereich „Variable und funktionale
Abhängigkeiten“
O verbale, tabellarische, grafische und
symbolische Darstellungen funktionaler
Zusammenhänge
O lineare Funktionen und indirekte Proportionalität
Bildungsstandards
O Handlungsbereiche
O Darstellen/Modellbilden
O Arbeiten mit verschiedenen Darstellungsformen
O Modellbilden
O Interpretieren
O aus mathematischen Darstellungen ablesen,
interpretieren, Kontext beachten
O Argumentieren/Begründen
Grundwissen – SRP
O Kennen der für die Anwendungen wichtigsten
Funktionstypen
O Namen und Gleichungen kennen,
O typische Verläufe von Graphen (er)kennen,
O zwischen den Darstellungsformen wechseln,
O charakteristische Eigenschaften wissen und im
Kontext deuten (können)
(bildungstheoretische Orientierung SRP)
Quelle: https://www.bifie.at/node/1442
Darstellungsformen
Verbal
Graph
Kontext
Term
Quelle: http://www.schulalgebra.de
Tabelle
Empirische Ergebnisse ...
O Das Arbeiten innerhalb einer Darstellungsform fällt
den Schülern/innen leichter!
O
leicht fällt v.a. der Wechsel von der Tabelle zum
Graphen
O Umkehrung schon nicht mehr so
O Manchmal auch Unsicherheit bzgl. dessen, was ein
Punkt beschreibt
O Wechsel von einer Darstellungsart zu anderen fällt
den Schülern/innen besonders schwer!
O
größte Schwierigkeit ist das Verbalisieren
O schwierig: Lesen von und Arbeiten innerhalb einer
Tabelle
Schulstufen 8, 9, 10
O Alle Darstellungsformen und deren
Zusammenhang präzise erarbeiten!
O Vorteile der Darstellungen herausarbeiten!
O Den Wechsel zwischen diesen vier
Darstellungsformen üben!
O Wann immer möglich mit Kontexten arbeiten!
O Kontexte wiederholen – mit neuen
Funktionstypen bearbeiten!
O Energieerzeugung und -verbrauch,
Bevölkerungsentwicklung, Zeit-Weg in ganz
unterschiedlichen Kontexten, Produktionskosten, ...
Schulstufe 8, 9, 10
O Bei allen Funktionstypen aufgreifen!
O direkt proportionale & indirekt proportionale
Funktionen (Unterstufe, 5. Klasse)
O quadratische Funktionen & Potenz- und
Polynomfunktionen (5. und 6. Klasse)
O Exponential- und Logarithmusfunktionen;
Winkelfunktionen (6. Klasse)
O Vernetzung mit Gleichungen!
Quelle: http://kira.dzlm.de/front_content.php?idart=323
Stufenaufbau
Darstellen/Modellbilden
1. Bereitschaft sich auf mathematische Aufgabenstellungen
einzulassen, die eine bestimmte Darstellungsform (z. B. Gleichung)
einfordern.
2. Verschiedene (mathematische) Darstellungsformen zu einer
(gegebenen) Situation finden können. Kennen und Anwenden von
unterschiedlicher Darstellungsformen (wechseln!) zum besseren
Verstehen eines mathematischen Problems.
3. Kennen von (mathematischen) Standard-Modellen (z. B. direkte
Proportionalität) und Anwenden dieser auf „neuartige“ Situationen.
4. Eigenständiges Finden von Modellen und Durchlaufen des
Modellbildungskreislaufes (inkl. Reflexion der Lösungsmöglichkeiten).
(Siller & Götz)
Vorteile der Technologie
O Rasches Erzeugen von Darstellungen
O Finden/Prüfen eines mathematischen Modells
O GeoGebra liefert alle Darstellungen (außer
verbale)
O Konzentration auf die Modellbildung, das
Interpretieren
O Rechenaufwand geht gegen 0
O Technologiekompetenz gefragt
Variation der
Parameter
Polynomfunktion [ f(x) =
ai ∙ x mit n ! ! ]
FA 4.1
Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
FA 4.2
Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln
können
Parametervariation
FA 4.3
Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und
Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik
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Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
FA 4.4
Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extremund Wendestellen wissen
Anmerkung: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wende1
stellen sollte fürO
beliebige n bekannt sein,
konkrete Aufgabenstellungen beschränken
sich auf Polynomfunktionen mit n ² 4.
z
Lineare Funktionen
Potenzfunktion mit f(x) = a ∙ x + b, z ! " , oder mit f(x) = a ∙ x2 + b
Argumentwerte sollen aus Tabellen und Graphen, für Polynomfunktionen bis n = 2 und solchen, die sich durch einfaches
Herausheben oder einfache Substitution auf quadratische Funktionen zurückführen lassen, auch aus der jeweiligen FunktiFA 3.1
Verbal,werden
tabellarisch,
onsgleichung
ermittelt
können. grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge
dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen
Darstellungsformen
Exponentialfunktion
[ f(x) = a ∙ bxwechseln
bzw. f(x) können
= a ∙ e! ∙ x mit a, b ! $ +, ! ! $ ]
FA 3.2
FA 5.1
FA 3.3
FA 5.2
FA 3.4
Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter
Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusama und b ermitteln
und im Kontext deuten können
O
menhänge
als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen
könnena und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
Die Wirkungwechseln
der Parameter
Potenzfunktionen
Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen
Werte(paare) ermitteln und im
a
Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f(x) !=! (bzw. f(x) = a ∙ x -1) beschreiben könO
x
Kontext
deuten können
Exponentialfunktionen
nen
!
FA 5.3
Die Wirkung der Parameter a und b (bzw. e ) kennen1 und die Parameter in unterschiedlichen KonAnmerkung: Wurzelfunktionen
bleiben auf den quadratischen Fall a ∙ x2 + b beschränkt.
texten deuten können
FA 5.4
Charakteristische Eigenschaften (f(x + 1) = b ∙ f(x); [ex]' = ex) kennen und im Kontext deuten können
FA
5.5
Die Begriffe
und
kennen, die entsprechenden Werte berechnen
Polynomfunktion
[ f(x) =Halbwertszeit
ai ∙ xi mit
n !Verdoppelungszeit
! ]
O im Kontext deuten können
und
Sinus- und Cosinusfunktion
FA 5.6
Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
FA 4.1
Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
FA 4.2
Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln
können
FA 4.3
Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und
Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
Darstellungsformen
Verbal
Graph
Tabelle
Term