Transcript Matrices - Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
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UPC
Universidad Peruana de Ciencias
Aplicadas
TÓPICOS DE MATEMÁTICA 1
MA49 (EPE)
TEMA:
MATRICES
1
Slide 2
Competencias:
.Define una matriz.Tipos de matrices
.Igualdad de matrices
.Realiza operaciones de suma y producto
por un escalar. Propiedades.
.Transposición. Propiedades.
.Define el producto de matrices.
.Propiedades.
2
Slide 3
Introducción
TABLA DE TEMPERATURAS
6
7
8
9
10
11
12
L
17
18
19
19.5
20
20.5
21
Ma
Mi
18
18
18.5
19
19
20
21
18.5
19
19
19.5
20
21
21
J
18.5
19
20
21
21
22.5
22
V
17
19.5
20
21
21
21.5
22
S
D
16
20
21
21
21
22
23
15
19
20
20
21
22
23
3
Slide 4
IDENTIFICACIÓN DE IMPACTOS AMBIENTALES
M AT RIZ DE IDENT IFICACIO N Y CAL IFICACIO N DE IM P ACT O S AM BIENT AL ES DE L A P L ANT A
O ficinas
de gas
Tanques de
alm acenam ie nto
m ateria prim a
Transporte d e
A cabado
F orm ación y
F undición
M ezcla y
EF EC T O S AM B IEN T ALES
Triuturación
P RO C ES O D E P RO D UC C IO N D E VID RIO
C ALID AD D E AIRE
E m is io n es d e M at erial P art icu lad o
-tbd
-pbl
E m is io n es d e G as es d e C o m b u s t io n
-cbd
-pm l
In crem en t o d e n iv eles d e ru id o en la z o n a
-cbd
-pbd
-cbd
EF LUEN T ES LIQ UID O S
Vert id o s d e agu as res id u ales
-pbd
C o n t am in ació n p o r v ert id o s accid en t ales d e la p lan t a
-cbd
-cbd
RES ID UO S S O LID O S
G en eració n d e R es id u o s Só lid o s
-cbd
-cbd
-pbd
+p a z
+p a z
+p a z
-cbd
-cbd
AM B IEN T E S O C IO -EC O N O M IC O
In crem en t o d el co m ercio y las act iv id ad es d e s erv icio s (gen eració n d e em p leo )
+p a z
R eciclaje d e m at eriales (red u cció n d e res id u o s s o lid o s )
+p a z
A fect ació n a la s alu d d e la p o b lació n aled añ a
-cbd
-cbl
R ies go d e accid en t es d e t rab ajo
-cbd
-cbd
+p a z
-cbd
-cbd
P AIS AJ E URB AN O
A fect ació n d el p ais aje u rb an o
-pbl
C a l i fi c a c i ó n d e S i g n i fi c a n c i a
T A BL A DE DES C RIP T O RES
Ra ngo
Na t u r a le z a
Du r a c ió n
M a g n it u d
Ex t e n s ió n
9 -8 si g n i fi c a ti v o
-
3
p p e r ma n e n te
3
a
3
7 -5 si g n i fi c a c i ó n m o d e ra d a
+
2
t
2
m mo d e r a d o
2
1
c c o r ta d u r a c ió n
1
b
1
4 -3 p o c o si g n i fi c a ti v o (n o c o n si d e ra b l e )
Im p a c t o
te mp o r a l
a lta
b a ja
z z onal
l
lo c a l
d p u n tu a l
4
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¿Por qué deben interesar las matrices
a un ingeniero?
1.- Forman una representación compacta y
permiten resolver rápidamente sistemas
de ecuaciones lineales.
2.- Son una forma matemática ordenada de
expresar el efecto de las rotaciones en,
por ejemplo, las aplicaciones aeroespaciales
y gráficos de computador para el CAD.
5
Slide 6
3.- Permiten modelar sistemas de redes, de flujo
y de transporte. Destaca su aplicación en el
análisis de circuitos.
4.- Sirven como portadoras de información para
almacenar tablas de datos de consulta, conjuntos de valores experimentales, imágenes
digitalizadas, señales cifradas, etc.
5. El uso de matrices (arrays) constituye una parte
esencial en los lenguajes de programación, ya que
la mayoría de los datos se introducen en los
ordenadores como tablas organizadas en filas y
columnas: hojas de cálculo, bases de datos,etc.
6
Slide 7
MATRIZ
Una matriz de orden m x n es un arreglo rectangular
de números colocados en m líneas horizontales (filas)
y n líneas verticales(columnas).
a
a
..... a
a
a
..... a
.
.
.
.
11
A=
21
a
m1
12
22
a
1n
...... .
...... .
2n
..... a
m2
Notación: A= (aij)=A mxn
mn
7
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Matriz A de orden mxn
a ij : Elemento de la fila i y columna j
Nota:
A las matrices se les acostumbra
denotar por letras mayúsculas.
Se emplean paréntesis ( ) o
corchetes [ ] para encerrar los
elementos que conforman a la matriz.
En nuestro curso emplearemos
corchetes.
8
Slide 9
TIPOS DE MATRICES
Matriz Nula o Cero
Es una matriz que tiene todos sus
elementos nulos. Se denota por O.
0
0
A =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Es una matriz cero de orden 4x3
9
Slide 10
MATRIZ COLUMNA
Tiene m filas y una sola columna.
2
C = 6
1
La matriz C tiene 3 filas.
10
Slide 11
MATRIZ CUADRADA
El número de filas es igual al número de
columnas. En este caso se dice que la matriz
es de orden n.
2
M = 9
0
7
6
7
1
4
2
La matriz M es cuadrada de orden 3.
Una matriz de orden 1 tiene un sólo
elemento
11
Slide 12
MATRIZ DIAGONAL
La matriz cuadrada A se dice que es
diagonal si cumple con las siguientes
condiciones :
Si ij entonces aij= 0
Los elementos aii no son todos nulos.
2
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
5
Matriz Diagonal de orden 4
1
0
0
x
Matriz Diagonal
de orden 2
12
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MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
La matriz cuadrada A se dice que es
triangular superior si cumple con las
siguientes condiciones :
Si i > j entonces aij= 0
Si i j entonces aij es cualquiera
2
0
A=
0
0
3
9
4
11
0
0
0
0
8
5
3
5
13
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MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
La matriz cuadrada A se dice que es
triangular inferior si cumple con las
siguientes condiciones :
Si i j entonces aij= 0
Si i j entonces aij es cualquiera
2
3
A=
12
0
0
0
8
0
4
1
7
5
0
0
0
2
14
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MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz diagonal con todos los elementos
aii=1. Se denota por In.
Matriz identidad de orden 3
15
Slide 16
IGUALDAD DE MATRICES
Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices del
mismo orden, se dice que A es igual B y
se escribe A=B si para todo elemento ij
se tiene aij= bij
Además el orden de A es igual que el
orden de B.
1
2 y
x 1
=
5 4
3
5
x = 3
y=2
16
Slide 17
Un agricultor que posee 3 fincas muestra sus perdidas o ganancias
medidas en toneladas en los dos últimos años:
AÑO
1999
FFINCA1
FINCA2
FINCA3
AÑO
2000
FINCA1
FINCA2
FINCA3
TRIGO
-1/2
-3
4
TRIGO
3
8/5
8
ARROZ
10
2/3
-2
ARROZ
2
1
-3
FRIJOL
3
0
-1
FRIJOL
-4
-2
4
MAÍZ
CAFÉ
7
12
15
2
-1
13
MAÍZ
CAFÉ
3
0
7
5
4
10
Si queremos la perdida o ganancia en ambos años que operación se debe
realizar y ¿cómo?
17
Slide 18
OPERACIONES CON MATRICES
1. SUMA DE MATRICES
Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices de
orden mxn , se denota por A+B a la
suma de las matrices A y B y se define
por C=(cij) como la nueva matriz tal
que cij= aij+ bij para todo ij:
C=A+B
18
Slide 19
Propiedades de la suma
Sean A, B y C tres matrices del mismo
orden. Entonces:
1. A+B=B+A
2. A+O=A
3. (A+B)+C=A+(B+C)
19
Slide 20
Producto de un escalar por una Matriz
Sean A=(aij) y una matriz de orden
mxn y un escalar respectivamente, se
denota por A al producto de un número
por una matriz. Es decir:
A = ( aij)
20
Slide 21
Propiedades del Producto por un Escalar
Sean A y B dos matrices del mismo
orden y , dos escalares. Entonces:
1. (A+B)= A+ B
2. (+)A=A+A
3. ( ) A= ( A)
4. 1A=A
5. 0A=O
21
Slide 22
TRASPOSICION DE MATRICES
Definición:
Sea A=(aij) una matriz de orden mxn se
denota AT y se llama traspuesta de A, a la
nueva matriz de orden nxm con elementos
aji , es decir:
AT=(aji )
1
A= 2
3
3
5
0
4
3
3
1
t
A = 3
4
2
5
3
3
0
3
22
Slide 23
PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION
1. (AT)T=A
2. (A+B)T= AT+BT
3. (cA)T=cAT
Nota: En la propiedad 2, A y B
tienen que ser del mismo orden.
23
Slide 24
PRODUCTO DE MATRICES
Definición 1:
Si A1xn y Bnx1 son matrices de elementos
reales entonces se denota por AB al
producto de A por B y se define como la
matriz que tiene por elemento el
número real
AB = a i b i
i =1
n
24
Slide 25
Ejemplo
1x3-1x4+2x0+5x7 = 34
25
Slide 26
PRODUCTO DE MATRICES
Definición 2:
Si Amxp y Bpxn se denota por AB al producto
de A por B y se define como la nueva matriz
C=AB de orden mxn con elementos cij
dados por:
c i j = [ a i1 a i 2
b1 j
b2 j
=
... a ip ].
b p j
p
a
ik
.b k
j
k =1
26
Slide 27
OBSERVACIONES
1. Notar que para que el producto AB se
pueda realizar se requiere que el número
de columnas de A tiene que ser igual al
número de filas de B.
2. El resultado de la operación AB es una
nueva matriz C que tiene:
El mismo número de filas que la matriz A.
El mismo número de columnas de B.
A mxp B pxn = C mxn
27
Slide 28
3. El producto AB puede existir y sin
embargo no existir BA.
Ejemplo
A3 x 2 B 2 x 4 = C 3 x 4
Sin embargo:
B 2 x 4 A3 x 2
NO EXISTE
28
Slide 29
4. Si existe AB y BA, el producto matricial
entre A y B no es conmutativo.
AB = C
BA C
29
Slide 30
5. La matriz identidad permite
conmutar el producto de AI
Ejemplo
30
Slide 31
6. Si AB = 0 esto no implica que
A = 0 B = 0 o ambos.
Ejemplo
31
Slide 32
PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL
Sean A, B y C matrices tales que las
operaciones que aparecen a seguir
están definidas, entonces:
1. AI=A IA=A
2. (AB)C=A(BC)
Ley asociativa
32
Slide 33
3. A (B+C)= AB+AC
(B+C) A= BA+CA
Ley distributiva
33
Slide 34
4. (AB)T=BTAT
=
=
Nota: En esta propiedad se requiere que A
y B sean multiplicativas.
34
UPC
Universidad Peruana de Ciencias
Aplicadas
TÓPICOS DE MATEMÁTICA 1
MA49 (EPE)
TEMA:
MATRICES
1
Slide 2
Competencias:
.Define una matriz.Tipos de matrices
.Igualdad de matrices
.Realiza operaciones de suma y producto
por un escalar. Propiedades.
.Transposición. Propiedades.
.Define el producto de matrices.
.Propiedades.
2
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Introducción
TABLA DE TEMPERATURAS
6
7
8
9
10
11
12
L
17
18
19
19.5
20
20.5
21
Ma
Mi
18
18
18.5
19
19
20
21
18.5
19
19
19.5
20
21
21
J
18.5
19
20
21
21
22.5
22
V
17
19.5
20
21
21
21.5
22
S
D
16
20
21
21
21
22
23
15
19
20
20
21
22
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IDENTIFICACIÓN DE IMPACTOS AMBIENTALES
M AT RIZ DE IDENT IFICACIO N Y CAL IFICACIO N DE IM P ACT O S AM BIENT AL ES DE L A P L ANT A
O ficinas
de gas
Tanques de
alm acenam ie nto
m ateria prim a
Transporte d e
A cabado
F orm ación y
F undición
M ezcla y
EF EC T O S AM B IEN T ALES
Triuturación
P RO C ES O D E P RO D UC C IO N D E VID RIO
C ALID AD D E AIRE
E m is io n es d e M at erial P art icu lad o
-tbd
-pbl
E m is io n es d e G as es d e C o m b u s t io n
-cbd
-pm l
In crem en t o d e n iv eles d e ru id o en la z o n a
-cbd
-pbd
-cbd
EF LUEN T ES LIQ UID O S
Vert id o s d e agu as res id u ales
-pbd
C o n t am in ació n p o r v ert id o s accid en t ales d e la p lan t a
-cbd
-cbd
RES ID UO S S O LID O S
G en eració n d e R es id u o s Só lid o s
-cbd
-cbd
-pbd
+p a z
+p a z
+p a z
-cbd
-cbd
AM B IEN T E S O C IO -EC O N O M IC O
In crem en t o d el co m ercio y las act iv id ad es d e s erv icio s (gen eració n d e em p leo )
+p a z
R eciclaje d e m at eriales (red u cció n d e res id u o s s o lid o s )
+p a z
A fect ació n a la s alu d d e la p o b lació n aled añ a
-cbd
-cbl
R ies go d e accid en t es d e t rab ajo
-cbd
-cbd
+p a z
-cbd
-cbd
P AIS AJ E URB AN O
A fect ació n d el p ais aje u rb an o
-pbl
C a l i fi c a c i ó n d e S i g n i fi c a n c i a
T A BL A DE DES C RIP T O RES
Ra ngo
Na t u r a le z a
Du r a c ió n
M a g n it u d
Ex t e n s ió n
9 -8 si g n i fi c a ti v o
-
3
p p e r ma n e n te
3
a
3
7 -5 si g n i fi c a c i ó n m o d e ra d a
+
2
t
2
m mo d e r a d o
2
1
c c o r ta d u r a c ió n
1
b
1
4 -3 p o c o si g n i fi c a ti v o (n o c o n si d e ra b l e )
Im p a c t o
te mp o r a l
a lta
b a ja
z z onal
l
lo c a l
d p u n tu a l
4
Slide 5
¿Por qué deben interesar las matrices
a un ingeniero?
1.- Forman una representación compacta y
permiten resolver rápidamente sistemas
de ecuaciones lineales.
2.- Son una forma matemática ordenada de
expresar el efecto de las rotaciones en,
por ejemplo, las aplicaciones aeroespaciales
y gráficos de computador para el CAD.
5
Slide 6
3.- Permiten modelar sistemas de redes, de flujo
y de transporte. Destaca su aplicación en el
análisis de circuitos.
4.- Sirven como portadoras de información para
almacenar tablas de datos de consulta, conjuntos de valores experimentales, imágenes
digitalizadas, señales cifradas, etc.
5. El uso de matrices (arrays) constituye una parte
esencial en los lenguajes de programación, ya que
la mayoría de los datos se introducen en los
ordenadores como tablas organizadas en filas y
columnas: hojas de cálculo, bases de datos,etc.
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MATRIZ
Una matriz de orden m x n es un arreglo rectangular
de números colocados en m líneas horizontales (filas)
y n líneas verticales(columnas).
a
a
..... a
a
a
..... a
.
.
.
.
11
A=
21
a
m1
12
22
a
1n
...... .
...... .
2n
..... a
m2
Notación: A= (aij)=A mxn
mn
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Matriz A de orden mxn
a ij : Elemento de la fila i y columna j
Nota:
A las matrices se les acostumbra
denotar por letras mayúsculas.
Se emplean paréntesis ( ) o
corchetes [ ] para encerrar los
elementos que conforman a la matriz.
En nuestro curso emplearemos
corchetes.
8
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TIPOS DE MATRICES
Matriz Nula o Cero
Es una matriz que tiene todos sus
elementos nulos. Se denota por O.
0
0
A =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Es una matriz cero de orden 4x3
9
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MATRIZ COLUMNA
Tiene m filas y una sola columna.
2
C = 6
1
La matriz C tiene 3 filas.
10
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MATRIZ CUADRADA
El número de filas es igual al número de
columnas. En este caso se dice que la matriz
es de orden n.
2
M = 9
0
7
6
7
1
4
2
La matriz M es cuadrada de orden 3.
Una matriz de orden 1 tiene un sólo
elemento
11
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MATRIZ DIAGONAL
La matriz cuadrada A se dice que es
diagonal si cumple con las siguientes
condiciones :
Si ij entonces aij= 0
Los elementos aii no son todos nulos.
2
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
5
Matriz Diagonal de orden 4
1
0
0
x
Matriz Diagonal
de orden 2
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MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
La matriz cuadrada A se dice que es
triangular superior si cumple con las
siguientes condiciones :
Si i > j entonces aij= 0
Si i j entonces aij es cualquiera
2
0
A=
0
0
3
9
4
11
0
0
0
0
8
5
3
5
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MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
La matriz cuadrada A se dice que es
triangular inferior si cumple con las
siguientes condiciones :
Si i j entonces aij= 0
Si i j entonces aij es cualquiera
2
3
A=
12
0
0
0
8
0
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1
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5
0
0
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MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz diagonal con todos los elementos
aii=1. Se denota por In.
Matriz identidad de orden 3
15
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IGUALDAD DE MATRICES
Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices del
mismo orden, se dice que A es igual B y
se escribe A=B si para todo elemento ij
se tiene aij= bij
Además el orden de A es igual que el
orden de B.
1
2 y
x 1
=
5 4
3
5
x = 3
y=2
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Un agricultor que posee 3 fincas muestra sus perdidas o ganancias
medidas en toneladas en los dos últimos años:
AÑO
1999
FFINCA1
FINCA2
FINCA3
AÑO
2000
FINCA1
FINCA2
FINCA3
TRIGO
-1/2
-3
4
TRIGO
3
8/5
8
ARROZ
10
2/3
-2
ARROZ
2
1
-3
FRIJOL
3
0
-1
FRIJOL
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-2
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MAÍZ
CAFÉ
7
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2
-1
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MAÍZ
CAFÉ
3
0
7
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4
10
Si queremos la perdida o ganancia en ambos años que operación se debe
realizar y ¿cómo?
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OPERACIONES CON MATRICES
1. SUMA DE MATRICES
Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices de
orden mxn , se denota por A+B a la
suma de las matrices A y B y se define
por C=(cij) como la nueva matriz tal
que cij= aij+ bij para todo ij:
C=A+B
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Propiedades de la suma
Sean A, B y C tres matrices del mismo
orden. Entonces:
1. A+B=B+A
2. A+O=A
3. (A+B)+C=A+(B+C)
19
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Producto de un escalar por una Matriz
Sean A=(aij) y una matriz de orden
mxn y un escalar respectivamente, se
denota por A al producto de un número
por una matriz. Es decir:
A = ( aij)
20
Slide 21
Propiedades del Producto por un Escalar
Sean A y B dos matrices del mismo
orden y , dos escalares. Entonces:
1. (A+B)= A+ B
2. (+)A=A+A
3. ( ) A= ( A)
4. 1A=A
5. 0A=O
21
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TRASPOSICION DE MATRICES
Definición:
Sea A=(aij) una matriz de orden mxn se
denota AT y se llama traspuesta de A, a la
nueva matriz de orden nxm con elementos
aji , es decir:
AT=(aji )
1
A= 2
3
3
5
0
4
3
3
1
t
A = 3
4
2
5
3
3
0
3
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PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION
1. (AT)T=A
2. (A+B)T= AT+BT
3. (cA)T=cAT
Nota: En la propiedad 2, A y B
tienen que ser del mismo orden.
23
Slide 24
PRODUCTO DE MATRICES
Definición 1:
Si A1xn y Bnx1 son matrices de elementos
reales entonces se denota por AB al
producto de A por B y se define como la
matriz que tiene por elemento el
número real
AB = a i b i
i =1
n
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Ejemplo
1x3-1x4+2x0+5x7 = 34
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PRODUCTO DE MATRICES
Definición 2:
Si Amxp y Bpxn se denota por AB al producto
de A por B y se define como la nueva matriz
C=AB de orden mxn con elementos cij
dados por:
c i j = [ a i1 a i 2
b1 j
b2 j
=
... a ip ].
b p j
p
a
ik
.b k
j
k =1
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OBSERVACIONES
1. Notar que para que el producto AB se
pueda realizar se requiere que el número
de columnas de A tiene que ser igual al
número de filas de B.
2. El resultado de la operación AB es una
nueva matriz C que tiene:
El mismo número de filas que la matriz A.
El mismo número de columnas de B.
A mxp B pxn = C mxn
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3. El producto AB puede existir y sin
embargo no existir BA.
Ejemplo
A3 x 2 B 2 x 4 = C 3 x 4
Sin embargo:
B 2 x 4 A3 x 2
NO EXISTE
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4. Si existe AB y BA, el producto matricial
entre A y B no es conmutativo.
AB = C
BA C
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5. La matriz identidad permite
conmutar el producto de AI
Ejemplo
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6. Si AB = 0 esto no implica que
A = 0 B = 0 o ambos.
Ejemplo
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PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL
Sean A, B y C matrices tales que las
operaciones que aparecen a seguir
están definidas, entonces:
1. AI=A IA=A
2. (AB)C=A(BC)
Ley asociativa
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3. A (B+C)= AB+AC
(B+C) A= BA+CA
Ley distributiva
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4. (AB)T=BTAT
=
=
Nota: En esta propiedad se requiere que A
y B sean multiplicativas.
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