Transcript Foro #1 Propiedades de las Matrices

Por : Sergio Adolfo Duque Hernández
Tipos de Matriz
1. Fila
14.
Ortogonal
2. Columna
13. Anti
simétrica
3. Rectangular
12.
Simétrica
4. Cuadrada
Matriz
11. Singular
5. Nula
10. Identidad
6.Triangular
Superior
7.Triangular
Inferior
9.Escalar
8. Diagonal
Propiedades de las Matrices
Suma
De la
Dimensión
Asociativa
Elemento
Neutro
Elemento
Opuesto
Conmutativa
Producto
Asociativa
Elemento Neutro
Distributiva del Producto
respecto a la suma
Una matriz es una colección ordenada de elementos colocados en filas y
columnas, la dimensión de una matriz viene dada por el número de filas y
columnas que tenga, así una matriz de dimensión 2x3 es una matriz con dos
filas y tres columnas.
Las matrices se suelen notar con letras mayúsculas y sus elementos si son
genéricos con minúsculas y un subíndice que indica la fila y columna en que
se encuentra, así a23 hace referencia al elemento que se encuentra en la fila 2
columna 3.
Una matriz genérica de tres filas y tres columnas, de dimensión 3x3 es
1. Matriz Fila:
Una matriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas. Toda matriz
fila siempre será vertical.
Ejemplo
123
2. Matriz Columna:
La matriz columna tiene una sola columna pero varias filas
Ejemplo
1
2
3
3. Matriz Rectangular:
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su
dimensión mxn.
Ejemplo
1 2 25
9 1 3
4. Matriz Cuadrada:
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos
de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los
elementos con i+j = n+1
Ejemplo
1 2 -5
3 6 5
0 -1 4
5. Matriz Nula:
En una matriz nula todos los elementos son ceros
Ejemplo
0 0 0
0 0 0
6. Matriz Triangular Superior:
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal
principal son ceros
Ejemplo
1
0
0
7 -2
8 5
0 4
7. Matriz Triangular Inferior :
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal
principal son ceros
Ejemplo
1
3
7
0 0
6 0
-1 4
8. Matriz Diagonal:
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la
diagonal principal son ceros.
Ejemplo
1
0
0
0 0
6 0
0 2
9. Matriz Escalar:
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales
Ejemplo
3
0
0
0
3
0
0
0
3
10. Matriz Identidad:
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales a 1.
Ejemplo
1
0
0
0 0
1 0
0 1
11. Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
12. Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.
13. Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.
14. Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que: A•At = I.
Suma de Matrices
De la dimensión
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro
A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento Opuesto
A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de
signo.
Conmutativa
A+B=B+A
Producto de Matrices
Asociativa
A • (B • C) = (A • B) • C
Elemento neutro
A • I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Anticonmutativa
A•B≠B•A
Distributiva del producto respecto de la suma
Matriz inversa
A · A-1 = A-1 · A = I
Propiedades
(A · B)-1 = B-1 · A-1 (A-1)-1 = A (k · A)-1 = k-1 · A-1 (A t)-1 = (A -1)t