Transcript Explorando os quadrados mágicos (3x3) Didática da Matemática Prof. Ilydio Pereira de Sá DESAFIO: Usando apenas os números de 1 a 9, complete o quadrado abaixo,

Explorando os quadrados
mágicos (3x3)
Didática da Matemática
Prof. Ilydio Pereira de Sá
DESAFIO:
Usando apenas os números de 1 a 9, complete o
quadrado abaixo, de forma que todas as somas
(na horizontal, na vertical e na diagonal) sejam
iguais a 15.
Não olhe a solução antes
de tentar resolver ...
Usando apenas os números de 1 a 9, complete o quadrado abaixo, de
forma que todas as somas (na horizontal, na vertical e na diagonal) sejam
iguais a 15.
2
9
4
2
9
4
7
5
3
7
5
3
6
1
8
6
1
8
1º) 15 : 3 = 5
2º) 5 – 3 = 2
2  4
FAÇA ESSE AGORA:
Usando apenas os números de 3 a 11, complete o
quadrado abaixo, de forma que todas as somas (na
horizontal, na vertical e na diagonal) sejam iguais a 21.
4
11
6
4
11
6
9
7
5
9
7
5
8
3
10
8
3
10
1º) 21 : 3 = 7
2º) 7 – 3 = 4
4  6
JUSTIFICATIVA MATEMÁTICA
O termo central do quadrado mágico de ordem 3 é sempre igual à
terça parte da soma mágica, ou seja, se designarmos por x o termo
central e por S o valor da soma mágica, sempre teremos x = S/3.
VEJAMOS:
A
B
C
D
x
E
F
G
H
Inicialmente, chamamos a atenção para o fato de
que a soma dos dois números extremos de
qualquer fila (horizontal, diagonal ou vertical) é
sempre igual à S – x, veja um exemplo:
Na segunda fila horizontal temos: D + x + E = S,
logo D + E = S – x
Vamos somar os termos de duas
linhas paralelas, por exemplo, a
primeira e a terceira. Teremos:
Somando os dois membros dessas
igualdades, teremos:
A+B+C=S
F+G+H=S
A + F + B + G + C + H = 2S
A + F + B + G + C + H = 2S
(A + H) + (F + C) + (B + G) = 2S
Acontece que, como vimos anteriormente, essas somas obtidas (A + H),
( (F + C) e (B + G) são todas iguais a S – x. Logo, teremos:
(S – x) + (S – x) + (S – x) = 2S
Ou ainda: 3. (S – x) = 2S, ou
3 S – 3x = 2S, o que acarreta
3S – 2S = 3x, ou ainda
3x = S e, para finalizar:
x=S/3
Analogamente, você poderia provar que, em qualquer
quadrado mágico de ordem ímpar e igual a k (k x k), o
termo central deverá ser igual a S / k.