Transcript Vectores - Educastur Hospedaje Web
Slide 1
Vectores en el espacio
2º Bachillerato
Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero
a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
IES ÉLAIOS. Zaragoza
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Slide 3
El conjunto R3
Es un conjunto de ternas ordenadas de números reales
R3 = { ( x , y , z ) / x R, y R, z R }
Primera
componente
Segunda
componente
Igualdad de ternas:
Tercera
componente
x = x'
(x, y , z) = (x', y ', z') y = y'
z = z'
Slide 4
Operaciones en R3
Suma en R3 (suma de ternas)
(x, y , z ) + (x', y', z') = (x + x', y + y', z + z')
Es una operación interna en R3. Con esta operación el
conjunto verifica las propiedades: asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro y opuesto
Producto de un número real por una terna de R3
a(x, y, z) = (ax, ay, az)
Es una operación externa en R3, sobre el cuerpo R
EL CONJUNTO DE LAS TERNAS DE R3 SOBRE EL CUERPO
R TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
Slide 5
Vectores fijos en el espacio
Un vector fijo es un segmento de recta orientado. El primero de sus puntos recibe el
nombre de origen, y el segundo, extremo.
Cualquier punto A del espacio se considera como un vector fijo en el que coinciden origen y
extremo.
Todo vector fijo está caracterizado por su:
• Módulo: es la longitud del segmento.
• Dirección: determinada por la recta que contiene al segmento y todas sus paralelas.
• Sentido: para cada dirección hay dos sentidos posibles. El que corresponde al definido
por el recorrido desde A hasta B y el definido por el recorrido desde B hasta A.
extremo
AB
origen •
A
•
•
B
BA
A extremo
•
origen
B
Estos dos vectores tienen
igual módulo, igual dirección
y sentido contrario.
Slide 6
Vector libre
• Se dice que dos vectores fijos no nulos son equipolentes si y sólo si tienen igual módulo,
igual dirección e igual sentido. Todos los vectores nulos son equipolentes entre sí.
• Dado un vector fijo, el conjunto de todos los vectores equipolentes con él, se dice que
forman un vector libre (todos tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo
sentido).
• El conjunto de los vectores libres del espacio se denomina V3.
C
B
El vector fijo AB es un representante del
A
D
vector libre [AB] = u
El vector fijo CD es un representante del
vector libre [CD] = v
Slide 7
Suma de vectores libres
En el conjunto V3 de todos los vectores libres se define la suma de la siguiente manera:
Se eligen dos representantes de manera que el origen del 2º coincida con el extremo del
1º y el vector suma se obtiene uniendo el origen del 1º con el extremo del 2º
•
a
b
a
•
P
Q
a+b
b
•
R
Slide 8
La suma de dos vectores: no depende del punto inicial
•
a
b
b
Q
a
a+b
•
P
•
a
•
P'
Q'
a+b
b
•
R'
Los vectores PR y el P’R’
son representantes del
mismo vector libre con lo
que tienen el mismo
módulo, la misma dirección
y el mismo sentido
•
R
Slide 9
Producto de un número por un vector libre
En el conjunto V3 de todos los vectores libres se define el producto de un número k0
por un vector libre de la siguiente manera: Es un vector con la misma dirección, su
módulo queda multiplicado por k. El sentido depende del signo de k
•
u
k>0
.
k u
•
•
•
k<0
k.u
k > 0: el módulo del vector queda
multiplicado por k
El sentido permanece
k < 0: el módulo del vector queda
multiplicado por – k
El sentido cambia
.
Si k = 0 ó u = 0 entonces k u = 0
Slide 10
Combinación lineal de vectores
Un vector v de V3 es combinación
lineal de los vectores u1 , u2 y u3 de
V3 si puede expresarse así:
v = a1 u1 + a2 u2 +a3 u3
siendo a1, a2, a3 números reales
Slide 11
Dependencia e independencia de vectores
Un conjunto de vectores u 1 , u 2 , , u n de V 3 son
linealmente dependientes si al menos uno de ellos se puede
expresar como combinación lineal de los demás.
Un conjunto de vectores u 1 , u 2 ,
dependientes si existen a1 , a 2 ,
de manera
:
que:
a1 u 1 a 2 u 2
Si un conjunto de vectores no es linealmente
dependiente se dice que es independiente.
, u n de V 3 son linealmente
, a n no todos nulos
an un 0
Slide 12
Bases de V3
El conjunto B = { u1 , u2 , u3 } de V3 forma
una base ya que:
Son linealmente independientes.
Cualquier vector de V3 se puede
expresar como combinación lineal de
ellos.
Además: tres vectores u1 , u2 , u3 no nulos y
no coplanarios forman una base de V3.
Slide 13
Coordenadas de un vector
(x , y, z) so n las co o rd en ad as d el v ecto r v
3
resp ecto d e la b ase B = { u 1 , u 2 , u 3 } d e V si se
v erifica q u e:
v = x u1 + y u2 +z u3
L as co o rd en ad as d e u n v ecto r resp ecto a u n a
b ase so n ú n icas.
A cad a v ecto r v se le h ace co rresp o n d er
u n a ú n ica tern a (x , y, z) y v icev ersa.
Slide 14
Las coordenadas de un vector respecto a una base son únicas
•
D./ Supongamos que el vector v tiene dos coordenadas distintas,
v a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3
a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 b1x 1 b 2 x 2 b 3 x 3
v b1x 1 b 2 x 2 b 3 x 3
a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 b1x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 0
(a 1 b1 ) x 1 (a 2 b 2 ) x 2 (a 3 b 3 ) x 3 0
Como los vectores son una base, en particular son independientes
y por ello, de toda combinación lineal igualada a cero se deduce
que os coeficientes son cero
a 1 b1 0
luego
a 1 b1
a2 b2 0
a2 b2
a3 b3 0
a3 b3
y por tanto las coordenada s son únicas
Slide 15
Producto escalar de dos vectores libres
El producto escalar de dos vectores es un nº obtenido multiplicando el módulo del
primer vector por el módulo del segundo vector por el coseno del ángulo que forman
| u | . | v | cos ( u ,
v
)
si
u
o
v no son nulo s
u . v =
0 si
u ó v son nulos
v
Interpretación geométrica es el producto del módulo
de uno de ellos por la proyección del otro sobre él
u'
v
u,v
v'
.
u v = | u | . | v' |
u,v
u
u
u . v = | v | . | u' |
Slide 16
Propiedades del producto escalar
E l producto escalar cum ple las siguientes propiedades:
x .x 0
C onm utativa: x . y = y . x
H om ogénea: k ( x . y ) = (k x ) . y = x . (k y )
D istributiva respecto a la sum a: x .( y + z )= x . y + x . z
E l producto escalar de dos vectores puede ser cero sin que ninguno de los factores
sea el vector nulo.
Si uno de los factores (o los dos) es el vector nulo el producto escalar da cero.
Slide 17
Algunas bases especiales
Una base B = { u 1 ,
Base normada
u2 , u3 }
de V3 puede ser:
Base ortogonal
Base ortonormal
u2
u2
u2
u1
u3
u1 u 2 u 3 1
u3
u1
u1 u 2 u1 u 3 u 2 u 3 0
u3
u1
u1 u 2 u 3 1
u1 u 2 u1 u 3 u 2 u 3 0
Slide 18
Producto escalar: expresión analítica
Sea B u1 , u 2 , u 3 una base de V3. Consideramos los vectores:
u x u1 y u 2 z u 3
v x u 1 y u 2 z u 3
Si multiplicamos los vectores el producto escalar se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
u v xx u 1 u 1 yx u 2 u 1 zx u 3 u 1 xy u 1 u 2 yy u 2 u 2
zy u 3 u 2 x z u 1 u 3 y z u 2 u 3 z z u 3 u 3
xx u 1 u 1 yy u 2 u 2 zz u 3 u 3 ( yx xy ) u 1 u 2 ( zx xz ) u 1 u 3 ( y z z y ) u 2 u 3
Esta expresión se simplifica en el caso de que la base sea de ciertos tipos:
Normada
Ortogonal
Ortonormal
u v xx yy zz ( yx xy ) u 1 u 2 ( z x xz ) u 1 u 3 ( yz z y ) u 2 u 3
u v xx u 1
2
yy u 2
2
zz u3
u v xx yy z z
2
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Módulo de un vector
Se define como la raíz cuadrada del producto de un vector por sí mismo
Expresión vectorial
2
.
.
Como u u = | u | | u | cos ( u , u ) = | u |
entonces | u | = +
u . u
Expresión analítica
Sea B = { i , j , k } una base ortonormal de
V3 y sea u = x i + y j +z k .
Como u . u = x2 + y2 + z2 nos queda:
| u | = + x2 + y2 + z2
Slide 20
Ángulo de dos vectores
3
S ea B = { i , j , k } una base ortonorm al de V y sean u = x i + y j + z k
y v = x' i + y' j + z' k .
Obtenemos el coseno de los vectores
despejándolo de la definición inicial.
v
u,v
u . v
cos ( u , v ) =
=
|u|.|v|
u
x x' + y y' + zz'
2
2
x +y +z
2
2
2
x ' + y' + z '
2
Slide 21
Producto vectorial de dos vectores libres
D ad o s u y v se d efin e el p ro d u cto v ecto rial u x v d e la sig u ien te
m an era:
S i u n o d e ello s es n u lo o lo s v ecto res so n p ro p o rcio n ales u x v = 0
E n caso co n trario u x v se d efin e co m o u n v ecto r q u e tien e:
M ó d u lo : | u | . | v | sen ( u , v )
D irecció n : P erp en d icu lar a lo s v ecto res u y v
S en tid o : A v an ce d el sacaco rch o s q u e g ira d e u a v
Interpretación geométrica
B
C
A
|ux v|=
D
Área del paralelogramo ABCD
Slide 22
Propiedades del producto vectorial
1. Anticonmutativa:
u v (v u )
[El producto vectorial, por lo tanto no es conmutativo]
2. Homogénea:
( ku ) v k ( u v ) u ( kv )
3. Distributiva del producto vectorial respecto de la suma de vectores:
u (v w ) (u v ) (u w )
Slide 23
Expresión analítica del producto vectorial
3
S ea B = { i , j , k } u n a b ase o rto n o rm al d e V y sean lo s v ecto res
u = (x , y, z) y v = (x ', y', z') . E n to n ces se cu m p le q u e:
u x v = (x i + y j + z k ) x (x ’ i + y’ j + z’ k ) = x ·x ’( i x i )+ x ·y’( i x j ) +
x ·z’( i x k ) + y·x ’( j x i ) + y·y’( j x j ) + y·z’( j x k ) + z·x ’( k x i ) +
z·y’( k x j ) + z·z’( k x k )= co m o el p ro d u cto d e d o s v ecto res ig u ales es n u lo
= (y z' – y' z) i + (z x ' – z' x ) j + (x y' – x ' y) k
y z z x x y y z
x z x y
·i
·j
·k
,
,
y' z'
z' x'
x' y'
y'
z'
x'
z'
x'
y'
i
j k
= x y z
x' y' z'
=
uxv
Slide 24
Producto mixto de tres vectores libres.
Expresión analítica
D ados x , y , z se define su producto m ixto com o el producto escalar
del prim er vector por el vectorial de los otros dos:
[ x , y , z ] = x . ( y x z )
Expresión analítica
i
[ x , y , z ] = (x i + y j + z k ) . x'
x"
j
y'
y"
k
z' =
z"
y' z'
x' z'
x' y'
= (x i + y j + z k ) . ( y" z" i – x" z" j + x" y" k ) =
y' z'
= y" z"
x y z
x' z'
x' y'
x'
y'
z'
x – x" z" y + x" y" z =
= det ( x , y , z )
x" y" z"
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Interpretación geométrica del producto mixto
.
| [ u , v , w ] | = | u ( v x w ) | =
| u | . | v x w | . | co s ( u , v x w )| =
| O H | . | v x w | = h . S B =
SB
SB = superficie de la base
= V o lu m e n d el p aralelep íp ed o de aristas
OA, OC y OB
Vectores en el espacio
2º Bachillerato
Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero
a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
IES ÉLAIOS. Zaragoza
Slide 2
Slide 3
El conjunto R3
Es un conjunto de ternas ordenadas de números reales
R3 = { ( x , y , z ) / x R, y R, z R }
Primera
componente
Segunda
componente
Igualdad de ternas:
Tercera
componente
x = x'
(x, y , z) = (x', y ', z') y = y'
z = z'
Slide 4
Operaciones en R3
Suma en R3 (suma de ternas)
(x, y , z ) + (x', y', z') = (x + x', y + y', z + z')
Es una operación interna en R3. Con esta operación el
conjunto verifica las propiedades: asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro y opuesto
Producto de un número real por una terna de R3
a(x, y, z) = (ax, ay, az)
Es una operación externa en R3, sobre el cuerpo R
EL CONJUNTO DE LAS TERNAS DE R3 SOBRE EL CUERPO
R TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
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Vectores fijos en el espacio
Un vector fijo es un segmento de recta orientado. El primero de sus puntos recibe el
nombre de origen, y el segundo, extremo.
Cualquier punto A del espacio se considera como un vector fijo en el que coinciden origen y
extremo.
Todo vector fijo está caracterizado por su:
• Módulo: es la longitud del segmento.
• Dirección: determinada por la recta que contiene al segmento y todas sus paralelas.
• Sentido: para cada dirección hay dos sentidos posibles. El que corresponde al definido
por el recorrido desde A hasta B y el definido por el recorrido desde B hasta A.
extremo
AB
origen •
A
•
•
B
BA
A extremo
•
origen
B
Estos dos vectores tienen
igual módulo, igual dirección
y sentido contrario.
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Vector libre
• Se dice que dos vectores fijos no nulos son equipolentes si y sólo si tienen igual módulo,
igual dirección e igual sentido. Todos los vectores nulos son equipolentes entre sí.
• Dado un vector fijo, el conjunto de todos los vectores equipolentes con él, se dice que
forman un vector libre (todos tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo
sentido).
• El conjunto de los vectores libres del espacio se denomina V3.
C
B
El vector fijo AB es un representante del
A
D
vector libre [AB] = u
El vector fijo CD es un representante del
vector libre [CD] = v
Slide 7
Suma de vectores libres
En el conjunto V3 de todos los vectores libres se define la suma de la siguiente manera:
Se eligen dos representantes de manera que el origen del 2º coincida con el extremo del
1º y el vector suma se obtiene uniendo el origen del 1º con el extremo del 2º
•
a
b
a
•
P
Q
a+b
b
•
R
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La suma de dos vectores: no depende del punto inicial
•
a
b
b
Q
a
a+b
•
P
•
a
•
P'
Q'
a+b
b
•
R'
Los vectores PR y el P’R’
son representantes del
mismo vector libre con lo
que tienen el mismo
módulo, la misma dirección
y el mismo sentido
•
R
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Producto de un número por un vector libre
En el conjunto V3 de todos los vectores libres se define el producto de un número k0
por un vector libre de la siguiente manera: Es un vector con la misma dirección, su
módulo queda multiplicado por k. El sentido depende del signo de k
•
u
k>0
.
k u
•
•
•
k<0
k.u
k > 0: el módulo del vector queda
multiplicado por k
El sentido permanece
k < 0: el módulo del vector queda
multiplicado por – k
El sentido cambia
.
Si k = 0 ó u = 0 entonces k u = 0
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Combinación lineal de vectores
Un vector v de V3 es combinación
lineal de los vectores u1 , u2 y u3 de
V3 si puede expresarse así:
v = a1 u1 + a2 u2 +a3 u3
siendo a1, a2, a3 números reales
Slide 11
Dependencia e independencia de vectores
Un conjunto de vectores u 1 , u 2 , , u n de V 3 son
linealmente dependientes si al menos uno de ellos se puede
expresar como combinación lineal de los demás.
Un conjunto de vectores u 1 , u 2 ,
dependientes si existen a1 , a 2 ,
de manera
:
que:
a1 u 1 a 2 u 2
Si un conjunto de vectores no es linealmente
dependiente se dice que es independiente.
, u n de V 3 son linealmente
, a n no todos nulos
an un 0
Slide 12
Bases de V3
El conjunto B = { u1 , u2 , u3 } de V3 forma
una base ya que:
Son linealmente independientes.
Cualquier vector de V3 se puede
expresar como combinación lineal de
ellos.
Además: tres vectores u1 , u2 , u3 no nulos y
no coplanarios forman una base de V3.
Slide 13
Coordenadas de un vector
(x , y, z) so n las co o rd en ad as d el v ecto r v
3
resp ecto d e la b ase B = { u 1 , u 2 , u 3 } d e V si se
v erifica q u e:
v = x u1 + y u2 +z u3
L as co o rd en ad as d e u n v ecto r resp ecto a u n a
b ase so n ú n icas.
A cad a v ecto r v se le h ace co rresp o n d er
u n a ú n ica tern a (x , y, z) y v icev ersa.
Slide 14
Las coordenadas de un vector respecto a una base son únicas
•
D./ Supongamos que el vector v tiene dos coordenadas distintas,
v a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3
a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 b1x 1 b 2 x 2 b 3 x 3
v b1x 1 b 2 x 2 b 3 x 3
a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 b1x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 0
(a 1 b1 ) x 1 (a 2 b 2 ) x 2 (a 3 b 3 ) x 3 0
Como los vectores son una base, en particular son independientes
y por ello, de toda combinación lineal igualada a cero se deduce
que os coeficientes son cero
a 1 b1 0
luego
a 1 b1
a2 b2 0
a2 b2
a3 b3 0
a3 b3
y por tanto las coordenada s son únicas
Slide 15
Producto escalar de dos vectores libres
El producto escalar de dos vectores es un nº obtenido multiplicando el módulo del
primer vector por el módulo del segundo vector por el coseno del ángulo que forman
| u | . | v | cos ( u ,
v
)
si
u
o
v no son nulo s
u . v =
0 si
u ó v son nulos
v
Interpretación geométrica es el producto del módulo
de uno de ellos por la proyección del otro sobre él
u'
v
u,v
v'
.
u v = | u | . | v' |
u,v
u
u
u . v = | v | . | u' |
Slide 16
Propiedades del producto escalar
E l producto escalar cum ple las siguientes propiedades:
x .x 0
C onm utativa: x . y = y . x
H om ogénea: k ( x . y ) = (k x ) . y = x . (k y )
D istributiva respecto a la sum a: x .( y + z )= x . y + x . z
E l producto escalar de dos vectores puede ser cero sin que ninguno de los factores
sea el vector nulo.
Si uno de los factores (o los dos) es el vector nulo el producto escalar da cero.
Slide 17
Algunas bases especiales
Una base B = { u 1 ,
Base normada
u2 , u3 }
de V3 puede ser:
Base ortogonal
Base ortonormal
u2
u2
u2
u1
u3
u1 u 2 u 3 1
u3
u1
u1 u 2 u1 u 3 u 2 u 3 0
u3
u1
u1 u 2 u 3 1
u1 u 2 u1 u 3 u 2 u 3 0
Slide 18
Producto escalar: expresión analítica
Sea B u1 , u 2 , u 3 una base de V3. Consideramos los vectores:
u x u1 y u 2 z u 3
v x u 1 y u 2 z u 3
Si multiplicamos los vectores el producto escalar se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
u v xx u 1 u 1 yx u 2 u 1 zx u 3 u 1 xy u 1 u 2 yy u 2 u 2
zy u 3 u 2 x z u 1 u 3 y z u 2 u 3 z z u 3 u 3
xx u 1 u 1 yy u 2 u 2 zz u 3 u 3 ( yx xy ) u 1 u 2 ( zx xz ) u 1 u 3 ( y z z y ) u 2 u 3
Esta expresión se simplifica en el caso de que la base sea de ciertos tipos:
Normada
Ortogonal
Ortonormal
u v xx yy zz ( yx xy ) u 1 u 2 ( z x xz ) u 1 u 3 ( yz z y ) u 2 u 3
u v xx u 1
2
yy u 2
2
zz u3
u v xx yy z z
2
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Módulo de un vector
Se define como la raíz cuadrada del producto de un vector por sí mismo
Expresión vectorial
2
.
.
Como u u = | u | | u | cos ( u , u ) = | u |
entonces | u | = +
u . u
Expresión analítica
Sea B = { i , j , k } una base ortonormal de
V3 y sea u = x i + y j +z k .
Como u . u = x2 + y2 + z2 nos queda:
| u | = + x2 + y2 + z2
Slide 20
Ángulo de dos vectores
3
S ea B = { i , j , k } una base ortonorm al de V y sean u = x i + y j + z k
y v = x' i + y' j + z' k .
Obtenemos el coseno de los vectores
despejándolo de la definición inicial.
v
u,v
u . v
cos ( u , v ) =
=
|u|.|v|
u
x x' + y y' + zz'
2
2
x +y +z
2
2
2
x ' + y' + z '
2
Slide 21
Producto vectorial de dos vectores libres
D ad o s u y v se d efin e el p ro d u cto v ecto rial u x v d e la sig u ien te
m an era:
S i u n o d e ello s es n u lo o lo s v ecto res so n p ro p o rcio n ales u x v = 0
E n caso co n trario u x v se d efin e co m o u n v ecto r q u e tien e:
M ó d u lo : | u | . | v | sen ( u , v )
D irecció n : P erp en d icu lar a lo s v ecto res u y v
S en tid o : A v an ce d el sacaco rch o s q u e g ira d e u a v
Interpretación geométrica
B
C
A
|ux v|=
D
Área del paralelogramo ABCD
Slide 22
Propiedades del producto vectorial
1. Anticonmutativa:
u v (v u )
[El producto vectorial, por lo tanto no es conmutativo]
2. Homogénea:
( ku ) v k ( u v ) u ( kv )
3. Distributiva del producto vectorial respecto de la suma de vectores:
u (v w ) (u v ) (u w )
Slide 23
Expresión analítica del producto vectorial
3
S ea B = { i , j , k } u n a b ase o rto n o rm al d e V y sean lo s v ecto res
u = (x , y, z) y v = (x ', y', z') . E n to n ces se cu m p le q u e:
u x v = (x i + y j + z k ) x (x ’ i + y’ j + z’ k ) = x ·x ’( i x i )+ x ·y’( i x j ) +
x ·z’( i x k ) + y·x ’( j x i ) + y·y’( j x j ) + y·z’( j x k ) + z·x ’( k x i ) +
z·y’( k x j ) + z·z’( k x k )= co m o el p ro d u cto d e d o s v ecto res ig u ales es n u lo
= (y z' – y' z) i + (z x ' – z' x ) j + (x y' – x ' y) k
y z z x x y y z
x z x y
·i
·j
·k
,
,
y' z'
z' x'
x' y'
y'
z'
x'
z'
x'
y'
i
j k
= x y z
x' y' z'
=
uxv
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Producto mixto de tres vectores libres.
Expresión analítica
D ados x , y , z se define su producto m ixto com o el producto escalar
del prim er vector por el vectorial de los otros dos:
[ x , y , z ] = x . ( y x z )
Expresión analítica
i
[ x , y , z ] = (x i + y j + z k ) . x'
x"
j
y'
y"
k
z' =
z"
y' z'
x' z'
x' y'
= (x i + y j + z k ) . ( y" z" i – x" z" j + x" y" k ) =
y' z'
= y" z"
x y z
x' z'
x' y'
x'
y'
z'
x – x" z" y + x" y" z =
= det ( x , y , z )
x" y" z"
Slide 25
Interpretación geométrica del producto mixto
.
| [ u , v , w ] | = | u ( v x w ) | =
| u | . | v x w | . | co s ( u , v x w )| =
| O H | . | v x w | = h . S B =
SB
SB = superficie de la base
= V o lu m e n d el p aralelep íp ed o de aristas
OA, OC y OB