Похідна функції та її застосування в економіці

Умова задачі

Знайдіть за яких умов витрати жерсті на виготовлення банок циліндричної форми заданого об'єму будуть найменшими?

Хід роботи

Складаємо математичну модель до задачі. Суттєвим є те, що банка повинна мати заданий об’єм. Суттєвою є вимога, що витрати жерсті повинні бути найменшими. Суттєвими є розміри банки.

Умовні позначення Позначимо місткість банки через

Vсм 3

і сформулюємо математичну задачу: «Знайдіть такі розміри циліндра з об’ємом V см найменшою».

3

, щоб площа його повної поверхні була Позначимо діаметр основи циліндра через х см, а його висоту через h см.

Маємо функцію

𝑆 𝑥 = 2 𝑆 𝑥 = 𝑆 𝑥 = 1 4 𝜋𝑥 2 1 𝜋𝑥 2 2 1 𝜋𝑥 2 2 𝜋𝑥 3 + 𝜋𝑥ℎ + 𝜋𝑥 4𝑉 + + 8𝑉 𝑥 4𝑉 𝜋𝑥 2 𝑆 𝑥 = 2𝑥

Знаходимо критичні точки

𝑆ˊ 𝑥 = 0, 𝜋𝑥 3 − 4𝑉 𝑥 2 = 0.

Звідси 𝑥 = 3 4𝑉 .

𝜋 При а при 𝑥 ∈ 0; 3 4𝑉 𝜋 𝑥 ∈ 3 4𝑉 ; +∞ 𝜋 𝑆ˊ 𝑥 < 0, 𝑆ˊ 𝑥 > 0.

Знайдемо h:

ℎ = 4𝑉 𝜋𝑥 2 ; ℎ = 𝜋 3 4𝑉 4𝑉 𝜋 2 ; ℎ = 3 64𝑉 3 16𝜋𝑉 2 ; ℎ = 𝑥 = 3 4𝑉 .

𝜋

Висновок

Отже , найменші витрати жерсті на виготовлення консервної банки циліндричної форми будуть за умови , що діаметр основи дорівнюватиме висоті банки .

S = 𝜋 2 4𝑉 + 8𝑉 𝜋 3 4𝑉 𝜋 6𝑉 = 3 4𝑉 𝜋 = 3 = 3 3 2𝜋𝑉 2 216𝑉 3 4𝑉 𝜋 =

Такий діаметр основи відповідає Державному стандарту 5981-88, що стосується виготовлення жерстяних банок .

Для банок у яких маємо : S = 3 3 2𝜋 499 2 x = h = 8,3 см ≈ 325 (см 2 ) .

Проведемо дослідження площі поверхні банки об ’ ємом 499 см 3 , у якої x =7,4 см .

З формули об ’ єму циліндра маємо : h = 4𝑉 𝜋𝑑 2 , h = 4 ∙ 499 𝜋 7,4 2 = 1796 𝜋 54,76 ≈ 10,4 ( см 2 ) S = 𝜋 d 𝑑 + ℎ ; 2 S = 𝜋 7,4 3,7 + 10,4 ≈ 328 ( см 2 ).

Висновок

У нашій країні консервів із жерсті.

щорічно виготовляють мільйони банок Якщо дорівнює її діаметру то на їх виготовлення витрати жерсті. Для зменшення витрат висота треба банки щоб дорівнювала діаметру банки.

не збільшуються висота