Slide 1

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 2

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 3

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 4

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 5

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 6

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 7

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 8

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 9

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 10

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 11

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 12

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 13

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 14

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 15

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 16

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 17

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 18

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 19

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 20

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 21

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 22

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 23

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 24

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb


Slide 25

1)

3)
5)

7)

Kim był Pitagoras
2) Szkoła pitagorejska
Trójkąt prostokątny
4) Twierdzenie Pitagorasa
Dowody
6) Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie Odwrotne
8) Zadania

(572 p. n. e. – 497 p. n. e.)
Pitagoras urodził się na wyspie Samos położonej po środku
Morza Egejskiego.
Założył Związek Pitagorejski-bractwo religijno – polityczne, które
prowadziło także działalność naukową. Pitagorejczycy uważali, że
świat można opisać za pomocą liczb. Ich celem życia było
poszukiwanie harmonii w świecie. Odkryli na przykład, jakie
długości powinny mieć dwie struny, aby razem pięknie
(harmonijnie) brzmiały.
Twierdzenie, zwane twierdzeniem Pitagorasa, używane było już
wcześniej przez Babilończyków, Egipcjan i Hindusów. Od
pitagorejczyków pochodzi prawdopodobnie ogólny dowód i nazwa
twierdzenia. Legenda głosi, że po udowodnieniu twierdzenia
Pitagoras złożył bogom hekatombę, czyli ofiarę ze stu wołów.

Cytaty



Niełatwo iść przez życie kilkoma drogami równocześnie.

Milcz, albo powiedz coś takiego, co jest lepszym od
milczenia.



Tak postępuj z przyjaciółmi, aby nie stali się
nieprzyjaciółmi, a z nieprzyjaciółmi tak, żeby jak
najprędzej stali się tobie przyjaciółmi



Dwie najkrótsze odpowiedzi: Tak i Nie, wymagają
najdłuższego zastanowienia.

Ciekawostki


To nie Pitagoras wymyślił twierdzenie Pitagorasa.
Przed Pitagorasem znano to twierdzenie w Egipcie,
Chinach, Indiach i Babilonii.



Obecnie znanych jest ponad 200 dowodów
twierdzenia Pitagorasa.

Pitagoras z Samos żył w latach od około 570 p. n. e. do około 496 p. n. e. W
około 530 r. p.n.e. złożył religijno – polityczny związek w Krotonie, którego
później nazwano szkołą pitagorejską. W tym związku obowiązywały bardzo
rygorystyczne zasady. Należeć mogli do niego zarówno mężczyźni jak i
kobiety. Aby zostać przyjętym do związku należało odbyć wcześniej
pięcioletnie próby, które polegały na ćwiczeniu w milczeniu,
wstrzemięźliwości, a co najważniejsze uczono bezwzględnego
posłuszeństwa dla Pitagorasa. Jednak w okresie próby żaden uczeń nie mógł
go oglądać.
Jeżeli uczeń przetrzymał okres próby mógł wtedy słuchać samego
Pitagorasa, który wykładał zazwyczaj nocą, ale tylko wybranym
przekazywał swoją wiedzę, która nie mogła być zdradzona niepowołanym
osobom. Żyjący w tym związku mieli wspólne mienie. Związek
pitagorejczyków stał się szybko potęgą polityczną oraz opanował miasta w
południowej Italii. Członkowie uważali siebie za ludzi o szczególnych
zdolnościach i przysposobieniu do sprawowania władzy. Członkowie, jako
obowiązek mieli:
- dbałość o zdrowie,
- dbałość o silne potomstwo,
- dbałość o zachowanie tradycji, obyczajów, praw,
- nie podporządkowywanie się burzycielom.

Pitagorejczycy uważali, że tradycja jest tym, co ma pochodzenie
boskie, a to właśnie ono – bóstwo rządzi światem oraz kieruje ludźmi.
Pitagoras był bardzo wymagający. Potępiał każdą namiętność, rozkosz
płciową, wymagał od uczniów umiaru oraz bronił zdrowej miłości.
Uczniowie musieli codziennie przeprowadzać rozrachunek z tego jak
postępowali. Gdy wracali do domów mieli odpowiadać sobie na takie
trzy pytania:
- jaki popełniłem błąd?
- co zdziałałem?
- jakiego zaniedbałem obowiązku?
Takiemu oczyszczaniu oraz utrzymaniu w umiarze miała służyć również
medycyna oraz muzyka. Medycyna oczyszczała ciało, natomiast
muzyka służyła oczyszczeniu oraz uzdrowieniu i umocnieniu duszy.
Szkoła pitagorejczyków była religijno – politycznym związkiem, ale
szczyciła się również dorobkiem naukowym. Z filozofią pitagorejską
była ściśle połączona matematyka. Szczególne znaczenie miały liczby.
Mottem pitagorejczyków było: "wszystko jest liczbą".
Szkoła pitagorejska istniała do około połowy IV w. p.n.e.

Szkoła Ateńska – malowidło ścienne namalowane przez Rafaela
w latach 1509–1510

przyprostokątna
przyprostokątna

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

P2=b2

b
a

P1, P 2 - pola kwadratów
zbudowanych na
przyprostokątnych
P3 – pola kwadratu zbudowanego
na przeciwprostokątnej

P1=a2

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości
przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości
przeciwprostokątnej.

a, b – długości przyprostokątnych
c – długość przeciwprostokątnej
c
b

kąt prosty

a

a

b

b

c

a

c

c

c

a

a
c
b

b

a

b

b

b

c

b2

a

a
c

a2

a
a
b

a

c

b

Długość boku kwadratu ABCD wynosi a+b. Zatem
pole tego kwadratu wynosi (a+b)2. Kwadrat ten
składa się z kwadratu o boku c oraz czterech
przystających trójkątów prostokątnych. Jego
pole możemy więc zapisać:
1
2
𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
Porównując ze sobą oba pola otrzymamy:
1
2
2
(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 + 4 ∗ 𝑎𝑏
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

C

a

b

∆ADC ~ ∆CDB ~ ∆ABC (cecha KKK)

c2

c1

B

D

A

c
Z podobieństwa tych trójkątów zachodzą proporcje:
𝑎 𝑐2
=
𝑐
𝑎

czyli

𝑎2 = 𝑐 ∗ 𝑐2

𝑏 𝑐1
oraz𝑐 = 𝑏

czyli

stąd

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐2 + 𝑐 ∗ 𝑐1 = 𝑐 𝑐2 + 𝑐1 = 𝑐 ∗ 𝑐 = 𝑐 2

𝑏2 = 𝑐 ∗ 𝑐1
a zatem

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym :

• budownictwo
• obliczenie drogi "na skróty",

•
•
•

obliczanie wysokości np. budynku, góry,

określenie precyzyjnej wielkości rampy (przy rozładunkach
i sportach ekstremalnych),

•
•

obliczanie przekątnej telewizora,

obliczenia wartości w macierzach, dziś powszechnie
wykorzystywane w obliczeniach komputerowych,

stosowanie skuteczniejszej strategii obrony w grze w baseball

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych
boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to
trójkąt jest prostokątny.

?

a2 + b2 = c2

Zadanie 1. (Twierdzenie Pitagorasa)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości:
3cm i 4 cm .
Oblicz jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta.
Trójkąt

Egipski
a – 3 cm
b – 4 cm
c-?

a2 + b2 = c2
c2 = (3 cm)2+ (4 cm)2
c2 = 9 cm2 + 16 cm2
c2 = 25 cm2
c = √25 cm2
c = 5 cm

Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 5 cm .

Zadanie 2. (T. P.)
Przeciwprostokątna trójkątna prostokątnego ma długość 13 cm, a jedna z
przyprostokątnych (krótsza) ma długość 5 cm . Oblicz długość drugiej
przyprostokątnej.
a – 5 cm
b-?
c – 13 cm
a2 + b2 = c2
52 + b2 = 132
25 + b2 = 169
b2 = 169 – 25
b2 = 144
b = √144
b = 12 [cm]

Odpowiedź: Długość dłuższej przyprostokątnej wynosi 12 cm .

Zadanie 1. (Twierdzenie odwrotne do t. p.)
Czy trójkąt o podanych długościach 2 cm, 4 cm, √20
cm, jest prostokątny?
?
22 + 42 = (√20)2
4 + 16 = 20
20 = 20 [cm]
Odpowiedź: Trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, √20, JEST
PROSTOKĄTNY.

Zadanie 2. (t. o. do t. p.)
Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest
prostokątnych.
7 cm, 13 cm, 12 cm.
?
72 + 122 = 132
49 + 144 = 169
193 = 169 - Sprzeczność

Odpowiedź: Trójkąt o bokach 7 cm, 12 cm i 13 cm, NIE
JEST PROSTOKĄTNY!

Przygotowały:
Gomułka Sylwia

Kotnis Agata
Pasich Katarzyna

IIb