PITAGORAS PITAGORAS • Na podstawie źródeł historycznych udało się ustalić,iż Pitagoras urodził się około 572 r.
Download ReportTranscript PITAGORAS PITAGORAS • Na podstawie źródeł historycznych udało się ustalić,iż Pitagoras urodził się około 572 r.
PITAGORAS PITAGORAS • Na podstawie źródeł historycznych udało się ustalić,iż Pitagoras urodził się około 572 r. na wyspie Samos • zmarł około 497 r.p.n.e. w Metaponcie.Ów grecki matematyk,filozof,półlegendarny założyciel słynnej szkoły pitagorejskiej był także twórcą kierunku filozoficznego (pitagoreizmu),inicjatorem nurtu o orientacji religijnej w starożytnej filozofii greckiej.Około 532 roku p.n.e. Pitagoras opuścił wyspę Samos i wyemigrował do kolonii jońskich w Italii.Osiedlił się w Krotonie,gdzie właśnie założył związek pitagorejski.Tam także rozwinął żywą działalność naukową,filozoficzną i polityczną.Po spaleniu szkoły filozof zamieszkał w Metaponcie,gdzie przebywał aż do śmierci. • Tradycja przypisuje Pitagorasowi zapoczątkowanie zarówno idei religijno-etycznych oraz politycznych,jak i naukowego kierunku szkoły,Przyjął się także pogląd,iż Pitagoras przeszczepił na grunt grecki geometryczne i astronomiczne umiejętności Egipcjan i Babilończyków oraz że zainicjował badania naukowe,uwieńczone szeregiem znakomitych osiągnięć.Do osiągnięć tych należy między innymi stworzenie początków teorii liczb,sformułowanie twierdzenie • Pitagorasa oraz koncepcja harmonijności kosmosu.Prąd filozoficzny,którego inicjatorem był Pitagoras,trwał ponad dwa wieki,a jego relikty dają się zauważyć jeszcze w pierwszym wieku naszej ery. SZKOLA PITAGOREJSKA Związek religijno – polityczny założony w Krotonie, zwany później szkołą pitagorejską. W związku tym obowiązywały rygorystyczne zasady. Zrzeszał on zarówno mężczyzn, jak i kobiety. Przyjęcie do związku było poprzedzane pięcioletnią próbą polegającą na ćwiczeniach w milczeniu, wstrzemięźliwości, a przede wszystkim w bezwzględnym posłuszeństwie dla Pitagorasa. W tym okresie żaden z uczniów nie mógł go jednak oglądać. Musiały im wystarczać jedynie przekazywane takie rady i wskazania Pitagorasa, jak: "wagi nie przechylać", "własnego serca nie zjadać", "łoże mieć zawsze zaścielone", "podobizną boga nie zdobić palca", "nie chodzić utartą drogą", "pod swoim dachem nie mieć jaskółek", "nie żywić ptaków drapieżnych", "zbyt chętnie nie podawać prawicy", "starców czcić, bo to, co wcześniejsze, jest bardziej godne szacunku", "tak współżyć z ludźmi, by przyjaciół nie czynić nieprzyjaciółmi, lecz przeciwnie - nieprzyjaciół przyjaciółmi", "prawu należy pomagać, a z bezprawiem walczyć", "przyjaciela uważać za drugiego siebie". Dopiero po okresie próby uczniowie mogli słuchać samego Pitagorasa wykładającego zazwyczaj nocą i tylko wybranym przekazującego swoją wiedzę, której nie było wolno zdradzać przed niepowołanymi. Szkoła pitagorejska przetrwała do połowy IV w. p.n.e. WIERZENIA PITAGOREJSKIE WIERZENIA PITAGOREJSKIE, podobnie jak orfickie, dotyczyły duszy i metempsychozy, a treścią swą daleko odbiegały od filozofii Jończyków; sprowadzały się do kilku dogmatów: 1) Dusza istnieje oddzielnie od ciała . 2) Dusza może łączyć się z dowolnym ciałem. 3) Dusza jest trwalsza od ciała. 4) Ciało jest dla duszy więzieniem. 5) Dusza jest więziona w ciele za popełnione przez nią winy. Ucieleśnienie duszy jest wynikiem jej upadku. 6) Dusza będzie wyzwolona z ciała, gdy się oczyści, a oczyści się, gdy odpokutuje za winy.. 7) Życie cielesne ma zatem cel: służy wyzwoleniu duszy. 8) Nieszczęściu, jakim jest wcielenie, można zapobiegać przez praktyki religijne. TWIERDZENIE PITAGORASA Jeżeli trójkąt jest trójkątem prostokątnym, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych. a, b – długości przyprostokątnych c – długość przeciwprostokątnej a² + b² = c² Twierdzenie to można udowodnić na wiele różnych sposobów m.in.: • Dzieląc dwa mniejsze kwadraty na części z których będzie można ułożyć największy. TWIERDZENIE ODWROTNE Jeżeli suma kwadratów długości dwóch krótszych boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego, dłuższego boku, to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym. Znając długość wszystkich boków trójkąta możemy stwierdzić czy jest on prostokątny. Jeśli a²+b²=c² ,to kąt między bokami a i b jest prostokątny DRUGIE WIELKIE TWIERDZENIE PITAGORASA Suma kątów w trójkącie jest równa sumie dwóch kątów prostych. TWIERDZENIE TO MOŻNA UDOWODNIĆ NA 2 SPOSOBY: Prostopadła opuszczona z wierzchołka dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Należy je uzupełnić do dwóch prostokątów. Przeprowadzając prostą przez wierzchołek trójkąta prostopadle do podstawy KONSTRUKCJA LICZB NIEWYMIERNYCH ŚLIMAK PITAGOREJSKI Ślimak to konstrukcja złożona z trójkątów prostokątnych, w których jedna z przyprostokątnych ma długość 1, a druga jest równa długości przeciwprostokątnej poprzedniego trójkąta. I tak kolejne przeciwprostokątne mają następujące długości: √ 2, √ 3, √ 4=2, √ 5, √ 6, √ 7, √ 8, √ 9=3… PRZEKĄTNA KWADRATU Korzystając z twierdzenia Pitagorasa można obliczyć przekątną kwadratu Przekątna kwadratu: TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY Wysokość: 2 a/2 a/2 Pole: TRÓJKĄTY: 30 °, 60 ° i 90° 45 °, 45 ° i 90 ° DŁUGOŚĆ ODCINKA UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH DOWÓD NASSIR-ED-DINA WSPÓŁCZESNY DOWÓD SZKOLNY DOWÓD BHASKARY SPOSOBY DOWODZENIA Niektóre źródła podają, że istnieje około 350 różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa, a 72 z nich można znaleźć na stronie internetowej : www.cut-the-knot.org/phytagoras/index.shtml RODZAJE LICZB Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych takich, że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie licząc dzielników przez samą siebie). Pierwszą para takich liczb, podanych jeszcze przez Pitagorasa jest 220 i 284. 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (podzielniki 284) 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (podzielniki 220) • • • • • • 1184 i 1210 2620 i 2924 6232 i 6368 10744 i 10856 12285 i 14595 17296 i 18416 Liczba doskonała każda liczba naturalna równa sumie wszystkich swoich podzielników mniejszych od tejże liczby. liczbami doskonałymi są Np.. Liczby 6 i 28,bo 6= 1+2+3 28= 1+2+4+7+14 Liczbami doskonałymi zajmowano się już w starożytności. Próbowano nawet podać ogólny wzór pozwalający je wyznaczać Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Liczby wielokątne • • znane już w VI w. p.n.e.; Pitagorejczycy uważali, że liczby to zbiory jedności, wyobrażali je sobie jako zbiory punktów, które rozmieszczali w postaci figur geometrycznych otrzymując ciągli liczb trójkątnych, kwadratowych pięciokątnych i innych liczb „figurowych”. Każdy taki ciąg przedstawia kolejne sumy ciągu arytmetycznego o różnicach 1,2,3 itd.. Najbardziej znane są liczby trójkątne które są sumami kolejnych liczb naturalnych. • T1= 1 • T2= 1 + 2 = 3 • T3= 1 + 2 + 3= 6 Liczby piramidalne • • są to liczby definiowane już w VI w.p.n.e przez pitagorejczyków, będące sumami liczb wielokątnych. Liczby piramidalne, podobnie jak liczby trójkątne można także rozważać jako liczbę kulek, z których można ułożyć piramidkę o podstawie trójkątnej. • • • • • • Na przykład: 1 4 10 20 35 ZŁOTY PODZIAŁ podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ φ = (a+b) : a = a : b φ = (a+b) : a = a : b Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika: Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste: ZŁOTA LICZBA • • • • • Liczba φ bywa nazywana złotą liczbą Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego: – 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... co daje kolejno: – 0, 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89... → 1/φ Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001. Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną: ZŁOTY PROSTOKĄT • Jest to prostokąt, którego boki pozostają w złotym stosunku. Charakteryzuje się tym, że po dorysowaniu doń kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt. • Przykład konstrukcji: Przykłady trójkątów pitagorejskich: Co to jest trójkąt pitagorejski? Jest to taki trójkąt, którego boki są wyrażone liczbami naturalnymi a, b, c spełniającymi warunek a2 + b2 = c2 Trójkąt pitagorejski jest trójkątem prostokątnym. Historia trójkątów pitagorejskich - Pierwszy raz trójkąty te został wykorzystany w starożytnym Egipcie. Dzięki nim można było wyznaczyć kąt prosty w terenie. Użyto je do budowy piramid. Stąd nazwa trójkąt egipski określający trójkąt o wymiarach 3, 4, 5. Trójkąty pitagorejskie o najmniejszych bokach: A 2n+1 3 5 6 7 8 9 B 2n(n+1) 4 12 8 24 15 12 C 2n2+2n+1 5 13 10 25 17 15 Oprócz wzoru przypisywanego Pitagorasowi znane są inne późniejsze wzory do odnajdywania trójkątów pitagorejskich. Oto jeden z nich: (m2+n2)2=(m2-n2)2+(2mn)2 m,n są to dowolne liczby naturalne spełniające warunek m>n Teorie potwierdzające istnienie trójkątów pitagorejskich: Teoria euklidesa Dowód zawarty w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwu mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ΔABC są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość CD dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej. Dowód układanka: Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a,b i c jak rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości a + b w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratow zbudowanych na przyprostokątnych. BIOGRAFIA PLATONA Platon (ok. 437 - 347 p.n.e.), filozof grecki, swoje zamiłowania do filozofii zawdzięcza Sokratesowi. Po śmierci Sokratesa odbył liczne podróże podczas których poznał wiele poglądów w tym doktryny orfickie i pitagorejskie o wędrówce duszy. Po powrocie do Aten w 389 r. p.n.e. założył szkołę którą kierował przez 42 lata. FIGURY PLATOŃSKIE czworościan foremny sześcian foremny ośmiościan foremny dwunastościan foremny dwudziestościan foremny DLACZEGO TYLKO PIĘĆ ? Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami, kwadratami albo sześciokątami. Żeby powstało naroże potrzebne są co najmniej trzy ściany oraz suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza od kata pełnego - 3600 . Wszystkie ściany w przypadku brył platońskich są jednakowe. Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju maja utworzyć naroże to takich kombinacji jest właśnie pięć: ( 3, 3, 3 ) ( 4, 4, 4 ) ( 3, 3, 3, 3 ) ( 5, 5, 5 ) ( 3, 3, 3, 3, 3) OPIS FIGUR CZWOROŚCIAN FOREMNY 4 wierzchołki, 6 krawędzi, 4 ściany ( trójkąty równoboczne ), wierzchołki o charakterystyce ( 3, 3, 3 ). SZEŚCIAN FOREMNY 8 wierzchołków, 12 krawędzi, 6 ścian ( kwadraty ), wierzchołki o charakterystyce ( 4, 4, 4 ) OŚMIOŚCIAN FOREMNY 6 wierzchołków, 12 krawędzi, 8 ścian ( trójkąty równoboczne ), wierzchołki o charakterystyce ( 3, 3, 3, 3 ). DWUNASTOŚCIAN FOREMNY 20 wierzchołków, 30 krawędzi, 12 ścian ( pięciokąty foremne ), wierzchołki o charakterystyce ( 5, 5, 5 ) DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY 12 wierzchołków, 30 krawędzi, 20 ścian ( trójkąty równoboczne ), wierzchołki o charakterystyce( 3, 3, 3, 3, 3 ) CIEKAWOSTKI 1. Przyroda realizuje sześciany jako kryształy soli NaCl. 2. Istnieje 11 siatek sześcianu. (Rys.1) 3. Fakt, że wysokości czworościanu foremnego przecinają się w jednym punkcie i tworzą pewien przestrzenny układ wykorzystywano przy konstrukcji falochronu. Są to przestrzenne "pająki" (żelbetonowe odlewy), które układane jeden na drugi sczepiają się ze sobą bardzo mocno. Ten fakt sprawia, że nadają się jako umocnienia nabrzeży, o z ogromną siłą uderzają fale morskie. . 4. Siatka czworościanu foremnego - parkietaż. Gdy pomalujemy ściany czworościanu czterema różnymi kolorami i zanim farba wyschnie będziemy toczyli model po płaszczyźnie otrzymamy parkietaż. Godny uwagi jest fakt, że tocząc czworościan tam i z powrotem w dowolny sposób nigdy nie uzyskamy nałożenia się różnych kolorów. . 5. Kepler wykorzystał wielościany foremne do stworzenia "szkieletu" układu heliocentrycznego. Okazało się bowiem, że jeśli na sferze Merkurego opisze się ośmiościan foremny, na którym opisze się sferę Wenus, na której opisze się dwudziestościan foremny, na którym opisze się sferę Ziemi, na której opisze się dwunastościan foremny, na którym opisze się sferę Marsa, na której opisze się czworościan foremny, na którym opisze się sferę Jowisza, na której opisze się sześcian, na którym opisze się sferę Saturna, to konstrukcja taka nie tylko daje odpowiedź na pytanie o liczbę planet, lecz także dość dobrze oddaje proporcje orbit planet w modelu heliocentrycznym. (Rys.2) a 3 b 4 c 5 a² 9 b² 16 c² 25 Czy trójkąt jest prostokątny? Tak