Slide 1

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 2

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 3

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 4

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 5

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 6

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 7

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 8

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 9

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 10

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 11

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 12

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 13

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 14

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 15

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 16

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 17

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 18

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 19

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 20

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 21

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 22

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 23

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 24

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 25

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 26

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 27

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 28

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 29

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 30

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 31

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 32

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 33

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 34

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 35

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 36

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 37

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 38

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 39

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 40

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 41

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 42

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 43

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 44

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 45

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 46

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 47

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 48

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 49

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 50

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 51

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 52

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 53

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 54

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 55

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 56

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 57

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 58

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 59

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 60

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 61

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 62

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 63

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 64

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 65

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 66

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 67

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 68

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 69

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 70

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 71

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 72

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 73

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 74

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 75

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 76

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 77

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 78

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 79

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 80

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 81

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 82

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 83

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 84

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 85

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 86

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 87

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 88

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 89

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 90

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 91

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 92

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 93

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 94

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 95

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 96

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 97

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 98

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 99

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 100

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 101

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 102

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 103

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 104

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 105

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 106

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 107

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 108

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 109

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 110

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 111

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 112

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 113

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 114

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 115

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 116

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 117

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 118

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 119

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 120

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 121

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 122

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 123

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 124

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 125

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 126

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 127

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 128

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 129

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 130

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 131

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 132

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 133

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 134

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 135

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 136

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 137

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 138

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 139

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 140

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 141

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 142

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 143

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 144

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 145

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 146

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 147

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 148

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 149

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 150

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 151

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 152

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153


Slide 153

Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu
Departman za energetiku, elektroniku i telekomunikacije

Merenja u elektronici
- predavanja -

školska godina 2010/11.

Ivan Župunski

... o predmetu ...
• PREDAVANJA;
• VEŽBE;
– Sve vežbe su laboratorijske;
• Svaka vežba se ocenjuje;
• Kriterijumi za ocenu:
–
–
–
–

Priprema vežbe;
Izvođenje vežbe;
Obrada rezultata;
Računski zadatak.

• Ocene sa vežbi utiču na konačnu ocenu.
2

... o predmetu ...
• LITERATURA
– Vojislav Bego: Mjerenja u elektrotehnici;
– Merenja u elektronici – PowerPoint prezentacija;
– Uputstvo za laboratorijske vežbe;
– Zbirka zadataka;
– ...

3

... o predmetu ...
• Predispitne obaveze;
•
•
•
•
•
•

Pohađanje predavanja;
Laboratorijske vežbe;
Seminarski rad;
Prezentacija;
Predmetni zadatak;
Predmetni projekt.

36

• Ispitne obaveze;
• Pismeni ispit.

64

• Usmeni ispit.
4

... o predmetu ...
• Laboratorija za električna merenja;
• TMD 8;

• Ivan Župunski;
•
•
•
•

Kabinet:
E-mail:
Telefon:
Konsultacije:

TMD 17;
[email protected];
48-52-569
četvrtkom, od 18:00.

5

Električni merni instrumenti
X

a = f(X)

a

• Analogni merni instrumenti
 Elektromehanički
 Elektronski

• Digitalni merni instrumenti
6

Instrument sa kretnim kalemom
skala
kalem

kazaljka

stalni
magnet

opruga

gvozdeno
jezgro

priključci

7

Princip rada
F  I hB N
M 1  I h  B  N b  G  I
M

S

N

2

  D a

M1  M

2

0



I 

D
G

a  C I a

B

h - dužina kalema
b - prečnik kalema

CI - strujna
konstanta
8

Osnovne karakteristike
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Za naizmeničnu struju - naizmenični moment;
Iznad neke učestanosti - dominantan uticaj inercije;
Oklopljavanje - zbog uticaja stranih magnetnih polja;
Klase tačnosti - sve;
Opsezi: od 10-6 A, odnosno, od 10-3 V;
Linearna skala;
Robustan;
Jevtin;
...
9

Merenje naizmeničnih veličina
jednostrano
ispravljanje:

dvostrano
ispravljanje:





+

+

i(t)

i(t)
efektivna vrednost merene struje

efektivna vrednost merene struje

Isr
Isr
10

T

t

T

t

Faktori oblika za naizmeničnu struju
Efektivna vrednost
naizmenične struje:

• Dvostrani
ispravljač:

I eff 

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

• Jednostrani
ispravljač:

Srednja vrednost struje
kroz instrument:
Faktor oblika
za naizmeničnu struju:

1
T

T

 I

sin  t  dt 
2

m

0

I sr 

0 

I sr 

0 



T

I m sin  t dt 

0

I eff



I sr

T
I eff
I sr

2

Im

T

1

1

2



2



Im

 1,11

2 2

T /2



I m sin  t dt 

0




2

1



Im

 2 , 22
11

Skala za merenje naizmeničnih veličina


Za instrument sa dvostranim ispravljačem:
I ocitano  I sr   0  I sr  1,11

0
0

5
5

10
10

12

Sistematska greška zbog talasnog oblika
Za proizvoljan talasni
oblik merene struje:

Efektivna

 

vrednost

0

Efektivna vrednost merene struje

Struja kroz instrument

Merena struja

Srednja vrednost

merene struje

struje kroz instrument

0

Srednja vrednost struje
kroz instrument

vreme

vreme

Ako je talasni oblik  merene struje različit od 0 ,
nastaje sistematska greška merenja:

 

 0 I sr   I sr
 I sr



0  

13

Primer
Koji napon će pokazati voltmetar sa dvostranim ispravljačem, kalibrisan da
pokazuje efektivnu vrednost naizmeničnog napona, ako se priključi na
jednosmeran napon od 4 V?

U ocitano  U sr   0  U   0  4  1,11  4 , 44 V

a za voltmetar sa
jednostranim ispravljačem:


U ocitano  U sr   0  4  2 , 22  8 ,88 V

14

Proširivanje mernog opsega

15

Proširivanje naponskog mernog opsega
Rp1

R0

Rp2

Rp3
2

1

U0

3

U

U0
R0



U U0
Rp



Rp 

U U0
U0

R0

Unutrašnja otpornost voltmetra: RV  R 0  R p
Karakteristična otpornost voltmetra:

RV
U max

  k 
 ,

V V 

16

Proširivanje strujnog mernog opsega

IV

I  IV  Rs

RV
R1

R2

1

R3

R4



Rs 

 RV I V
IV
I  IV

RV

2

0

3

I

17

Primer
R1  R 2  R 3  R 4  R 

0

R 2  R3  R 4 

1

R3  R4 

2



1

IV
I1  IV

R

I 0  IV

 RV

;

RV 

 R1  

3

n2


1 
R
R1   1 

n
1 


IV

1
n0  1

1

I 0  n0 IV
I 1  n1 I 0
I 2  n2 I 0

R

I 3  n3 I 0

n1

R4 

RV

1

R

n3

 1
1 
R
R 2  


n
n
2 
 1

;

 1
1 
R
R 3  


n
n
3 
 2
18

Univerzalni instrument
+
A

V

A

V

šant

predotpornik

šant

predotpornik

19

20

Elektronska merenja

21

Elektromehanički merni instrumenti
• Koriste se efekti gde neka električna veličina (struja,
napon, dve struje, ...) stvara mehaničku silu (moment)
koja deluje na kretni sistem instrumenta.
• Snaga za pokretanje crpi se iz objekta merenja;


Znatno povratno dejstvo na merni objekt
(mala ulazna impedansa)

• Neki efekti ne mogu da se iskoriste jer objekt merenja:
• nema dovoljnu snagu, i/ili
• sile su suviše male, /ili
• nema mehaničke sile.
22

Elektronski merni instrumenti
• Koriste se aktivni elektronski elementi
(elektronske cevi i tranzistori) za pojačavačka kola.
• Upotrebom pojačavača se, po pravilu, postiže:
• Visoka osetljivost;
• Snaga za rad instrumenata crpi se iz izvora
napajanja.
 Malo povratno dejstvo na objekt merenja
(visoka ulazna impedansa).

23

Merni lanac

Merena
veličina

Senzor

Pojačavač

Analogna
obrada
signala

Na primer:
jednosmerna
struja, od 4 mA
do 20 mA

Kondicioniranje
signala

Displej
A/D

Merni pretvarač, transducer, ...

24

Digitalni merni instrumenti
• Principi rada;
• Prikaz rezultata;
• Povezivanje sa sredstvima za obradu
rezultata merenja.

25

Digitalni / analogni prikaz
• Očitavanje;
• Rezolucija;
• Odnos rezolucije i tačnosti

• Kao indikatori;
• Merenje signala koji se menja;

26

27

Counter-Timer

28

Brojanje

U o b lič a va č

&

B ro ja č

P rika ziva č

sta rt/sto p

29

Merenje frekvencije
n
U o b lič a v ač

&

B ro ja č

P rik a z iv a č

fx
nd
O s c ila to r

f0

V re m e n s k a b a z a

fx 

f0

n

nd

30

Merenje periode
n
U o b lič a va č
fx
Tx
O scila to r

&

B ro ja č

P rika ziva č

nd = 1
f0

V re m e n ska b a za

Tx 

1

n

f 0 / nd

31

Merenje odnosa frekvencija
n

f1

U o b lič a v ač

B ro ja č

&

P rik a z iv a č

nd

f2

U o b lič a v ač

V re m e n s k a b a z a

f1
f2



1

n

nd
32

Merenje fazne razlike
n
O scila to r

u 1 (t)

U o b lič a va č

u 2 (t)

U o b lič a va č

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

    t   n T0
t
33

Merenje širine impulsa
O scila to r
U o b lič a va č
u (t)

B ro ja č

&
sta rt

P rika ziva č

sto p

U o b lič a va č

34

Binarni signali
• Diskretni signali sa dve vrednosti
u(t)
visoko, hi, da, ima , true, 1

nisko , lo, ne, nema, false, 0
t

i(t)
1 - zatvoren
0 - otvoren

• (Ne)osetljivost na smetnje;

E
R

u(t)

• Operacije sa binarnim
signalima – Bulova algebra;
35

Binarni brojevi
• Decimalni brojevi
d n 1  10

n 1

 d n  2  10

n2

n-cifarski decimalni broj
 ...  d 1  10  d 0  10
1

,

d i  [0, 1, ... 9]

2  10  3  10  7  10  237
2

Primer:

1

0

• Binarni brojevi
b n 1  2

0

n 1

 bn  2  2

n-cifarski binarni broj
n2

 ...  b1  2  b0  2
1

0

,

bi  [0, 1]

Primer:
1  2  1  2  1  2  0  2  1  2  1  2  0  2  1  2  11101101
7

6

5

4

3

2

1

0

36

Digitalno-analogni konvertor

bk
tk

... .

b2
t2

. . . .

b1
t1

1
1
0
0
. . . .

U ref

. . . .

D /A

1
1
0
1

. . . .

b

0
1
1
0

37

D/A konvertor
sa težinskom otporničkom mrežom
Izvor
konstantne
struje:

+

I

I 

R

U0

u  RI

;

Rg

u

U0
Rg

u 

U0
Rg

-



Ri 

U0
Rg

 [ b7  2  ... b0  2 ]  R
7

0

+
128R

U0

64R

32R

16R

8R

4R

2R

R

Rg
u

bi  [0,1] , 0  prekidač zatvoren; 1 - prekidač otvoren.

38

D/A konvertor sa R-2R mrežom
i1

R1

Rg

ig

Sabirač:
i1  i 2  i g  0

u1





R1

u2
R2

R

2R



ug

0

u
u 
ua    1  2  Rg
 R1 R 2 



Rg

R

U0 /2

2R

R

U0 /4

u1

i2

u2

+

u

2R

U0 /8

2R

R2

2R

U0

Rg
0

1

0

1

0

1

0

1

+

ie  b3  U 0 

1
2R

 b2 

U0
2



1
2R

 b1 

U0
4



1
2R

 b0 

U0
8



1
2R

u



U0

0

b

16 R
i3

i

2

i

39

Analogno-digitalni pretvarači

A /D
U

t

b1
t1

b2
t2

1
1
0
0

. . . .

tk

. . . .

t2

. . . .

t1

b

1
1
0
1

. . . .

U

0
1
1
0

bk
tk

40

Metoda direktnog poređenja
U

D/A
Komparator

Uref
b

&

Brojač

Prikazivač

U
Oscilator

41

Konverzija napona u frekvenciju
ig  C

Integrator:
ig

dua
dt

  ie  

ue
R

C

R
ue

ie

+

ua

C
U
Limiter
UC

R
UC

t

42

Metoda dvostrukog nagiba
C
U
Logika
R

UC

-Uref

Uc

Oscilator

T

t
43

6½ cifara

3½ cifre

44

Osciloskop
Komanda za
kretanje tačke
u vertikalnom pravcu

Komanda za
kretanje tačke
u horizontalnom pravcu

45

x(t) = a ;

y(t) = b
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
46

x(t) = f1(t) ;

y(t) = f2(t)
y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

x t   a  t
y t   e

y x  e

 bt



b
a

2

x

t
47

2

x  t   a sin t  1 

;

y  t   b sin t  2 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)

t
48

x  t   a  sin  2t 

;

y(t)

y(t)

y  t   b  sin  3t 

x(t)
t

x(t)

t

Lisažuove
figure
49

x t   a  t

;

y t   f t 

y(t)

y(t)

x(t)
t

x(t)



t

 x
y x  f  
a

Vremenska
baza
50

Rezime 1.
•
•
•
•
•

Dvokanalni instrument (X i Y ulaz);
Frekvencijski opseg;
Perzistencija;
Periodični signali;
Oscilogram stabilan ako je odnos frekvencija
signala na X i Y ulazu racionalan broj;
• Vremenska baza;
• Posmatranje signala tokom vremena;
• ...
51

Samooscilujuća vremenska baza

y

( t )

fx  fy

t

x(t)

t

52

y ( t )

Okidna
vremenska
baza
t

t
x(t)

t

53

Rezime 2.

• Vremenske baze
• Samooscilujuće;
• Okidne;
 Linearne;
 Logaritamske;
 ...

• Kružne;

• Repetitivni signali
54

Z ulaz
• Kontrola intenziteta svetlosti tačke

55

Merenja osciloskopom

5

s
podeok

2

V
podeok
56

Višekanalni osciloskopi
• (Najčešće) jedan X ulaz (vremenska baza);
• Više Y ulaza (istovremeno posmatranje više
signala);
• Logic analyzer

57

Osciloskopi sa memorijom
• Pojedinačni događaji

58

Digitalni osciloskopi

59

60

Merni mostovi
• Jednosmerni merni mostovi;
Instrumenti za poređenje otpornosti

• Naizmenični merni mostovi;
Instrumenti za poređenje impedansi

• Poređenje / merenje;
• Mosne metode.

61

Vitstonov most
I1

I2

R1

R2

I 2 R2  I 4 R4

I5

I5  0

R5
R3
R0

R4
I3

I 1 R1  I 3 R 3

I4

R1
R2





 I1  I 2

I3  I4

R3
R4

62

Indikatori nule
• Galvanometar;
• Elektronski indikator nule.

63

Osetljivost mosta
I5 

R 2 R 3  R1 R 4



I5



E

R 10
R1

Koliko će se promeniti struja I5
kada se R1 promeni za R1?

O 

I5
 R1

Koliko iznosi promena merene otpornosti R1
(ili R1/R10) kada se struja I5 promeni za I5?
 R1

 f



 I5

 min  f



 min   I 5 

R10



Uzima se da je
min (I5)  CI/10
64

Laboratorijski Vitstonov most
Merni opseg:
10 x 1 000 

Rx

10 x 10 

10 x 100 

10 x 0,1 

10 x 1 

R2
N

R 3  10 k  ; R 4  10 
R 2  10  1 k 


R x max  10 M 

R 3  10  ; R 4  10 k 

  

  

  

  

 

 

 

 

R2  1 1 k


R x min  1 

Rezolucija:
R 3  10  ; R 4  10 k 

R3

R4

R 2 min  1  0 ,1 


 R x  0 ,1 m 
65

66

Neuravnoteženi most
• Most se napaja iz izvora konstantne struje I:

 R1  R 2  R 3  R 4  J   R 3  R 4  I

0



J 

A

R1

U AB 

R2
I5

R3  R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R 2 R 3  R1 R 4
R1  R 2  R 3  R 4

R A B   R1  R 3 

J

I

I

 R2  R4 

R5
R3
R0

R4
I

B

za: R 2  R 3  R 4  R1 0  R


R AB  R



I5 

i

R1  R1 0   R

R
4  R  R5 

I
67

• Most se napaja iz izvora konstantnog napona E:
I5 

E

R

4 R R  R5

68

Naizmenični mostovi
Uslov ravnoteže:

C

Z1
A

Z2

Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 R1 

B

N

Z5
Z3
Z0

j X 1   R 4  j X 4    R 2  j X 2   R3  j X 3 

 R1 R 4  X 1 X 4  R 2 R 3  X 2 X 3

 R1 X 4  R 4 X 1  R 2 X 3  R 3 X 2

Z4
D

C

U5

D

Z1 e

U2
U3
U1
A

U4

j 1

Z4 e

j 4

 Z2 e

j 2

 Z3 e

j 3

 Z1 Z 4  Z 2 Z 3

 1   4   2   3

B
69

Indikatori nule
•
•
•
•

Vibracioni galvanometar;
Elektronski indikator nule;
Telefonska slušalica;
Osciloskop.

70

Merni mostovi sa dva izvora
Uslov ravnoteže: UAB = 0
+
E1



Z1

A
E2

N

E1



E2

B

Z2

Z 1  Z 1e

j 1

E1  E1e

j 1

Z1
Z2

;

Z 2  Z 2e

j 2

;

E2  E2e

j 2

+


Z2 

E2
E1

Z1

&

 2     2   1    1
71

Merni kompenzatori
(Potenciometri)
• Jednosmerni kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
jednosmernih elektromotornih sila.

• Naizmenični kompenzatori;
Instrumenti za poređenje
naizmeničnih elektromotornih sila.

• Kompenzacione metode.
72

Pogendorfov kompenzator
Rp
E N  I p R1

Ip

E x  I p R2

R

Ex

N

 Ex 

R2
R1

EN

2

EN

1
73

Etalon elektromotorne sile
• Vestonov element;

• Elektronski izvor
elektromotorne sile.

74

Lindek-Rot ov kompenzator

Rp

Ip

Ex  I pR
mA

R
N
Ux

75

kompenzatori / voltmetri
Kriterijumi:
• Tačnost;
• Uticaj mernog instrumenta na objekt merenja.

76

Merenje struje i otpornosti kompenzatorom
• Merenje struje

• Merenje otpornosti
Rx 

KOMPENZATOR
Ux

Ux
UN

RN

KOMPENZATOR
RN

Ip

A

Ix 

Ux
RN

Ip

Ux

UN

Rx

RN
77

Osetljivost kompenzatora
Rp

Ub
I p  R p  R  R0   I n R  U b
 I p R  I n  R  R n   U x


In 

Ip

U b R  U x  R p  R  R0 
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 

R
In

R0
N
Rn

 R p  R  R0   U x
 I n 
In  
 U x  
R  R p  R0   Rn  R p  R  R0 
 U x 

Ux

78

79

Merenje električnih i magnetnih veličina
•
•
•
•
•
•
•

Otpornost;
Električna snaga (monofazna / trofazna);
Induktivnost / međuinduktivnost;
Kapacitivnost;
...
Magnetna merenja;
...
80

Merenje otpornosti

81

Merenje malih otpornosti
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rž-

Rž2

Rk2

Rk6

82

Kompenzacija otpornosti
provodnika i kontakata
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1
Rk4

V

Rx

Rk5
Rk2

Rž-

Rž2
Rk6

83

Četvorožično vezivanje otpornika
A

Rk3
Rž1

Rž-

Rk1

Rk4

Rx

V
Rk5
Rž2

Rž-

Rk2

Rk6

84

Četvorožični
otpornik

85

Ommetar

V
RV

I1 

Rx
U

U
RV

 CI a1

;

I2 


V
0

1
1 M

R x m ax

2

1 0 0 k

 a m ax


 1  RV  a m ax  RV
 1

R x m ax
R x m in

 a m ax

;

U
RV  R x

 CI a2


 a1
 1  RV
Rx  

a2

3

1 0 k

R x m in

 a m ax

1

 1  RV 
RV
a m ax
 a m ax  1


2

86

Merenje velikih otpornosti
pražnjenjem kondenzatora
Rx
U
V
C

UC  U e



t
RC

R  R x R C RV
C R 

t 2  t1

ln U 1 / U 2 

87

Merenje aktivne snage

88

Metoda tri voltmetra
R

V1

V0

V

U1  U 0  U
2

U0  I R

Zp

2

2

 2 U 0U co s     

U


I

U1 U 0  U
2



P  U I co s  

2

2

2 R
U1 U 0 U
2


U0

co s  

2

2

2U0 U
89

Metoda tri ampermetra
A1

A
A0
I0 

Zp

U
R

R
I 1  I 0  I  2 I 0 I cos     
2

U


I

2

2

I1  I 0  I
2



P  U I cos  

2

2

R

2
I0

I1  I 0  I
2

I1



cos  

2

2 I0 I

2

90

Merenje induktivnosti

91

U/I metoda
Z 

L, R

R   L 
2

A


V

L



Z  R
2

2

L, R

1
 I

L 

1

2

2

U

2

I P
2

2

W

A

V

92

Maksvelov most
Lx, Rx

R2

N

 Rx

R4

 j L x  R4

1  j R4 C 4


R3
C4

Rx 

R3
R4

 R 2 R3

R2

;

L x  C 4 R 2 R3

Međusobno nezavisno uravnotežavanje: promenom R4 i C4.
za

 Lx
Rx

 1

:

promenom R2 (ili R3) i R4.
93

Metoda opozicije/merenje induktivnosti

Merenje međusobne induktivnosti
Mx

• Metoda opozicije:

Mx  MN

N

MN

• Merenjem induktivnosti:
L1
M

L2  L1  L2  2 M
'

L1



M
L2

M 

1
4

L2

 L1  L2 
L1  L1  L2  2 M
'

94

Merenje kapacitivnosti

95

Merenje kapacitivnosti
• U/I metoda

A

C 

C

I
2 f U

V
96

Vinov most
R2

Cx, Rx

N



1 
1 
 Rx 
 R4   R2 
 R3
j C x 
j C 2 




Rx 

R 2 R3
R4

;

Cx 

tg    R x C x   R 2 C 2

R4
R3

R3

C2

R4

C2











2
97

Merenje kapacitivnosti
elektrolitskih kondenzatora
R3

+

Cx, Rx

V

N

R2
R4

(Vinov most)
C2

98

indukovana ems/Holova sonda

Merenje magnetnih veličina
- meri se: , B, H, 

• Merenjem indukovane
elektromotorne sile

• Holova sonda
B

+ +

+ +
-

B

merna sonda
e  N

+
+
+

d
dt

- -

- -



I

U H  RH

B I


UH
99

Greške merenja

100

Primer: Uticaj okoline na merni instrument
temperatura
okoline
napon
napajanja
Lo

w

te
ba

ry

temperatura
okoline
101

Primer: Uticaj okoline na objekt merenja
vlažnost
vazduha

temperatura
okoline

vlažnost
u zemlji

temperatura
okoline

uzemljivač
102

Primer: Uticaj mernog instrumenta
na objekt merenja

103

Greška merenja
Rezultat merenja minus
prava vrednost merene veličine.




apsolutna greška:

relativna greška:

X  X m  X T

X
X



Xm  XT
XT

104

Podele grešaka
Podela grešaka prema uzroku nastanka:

• Grube greške;
• Sistematske greške;
• Slučajne greške;

105

Grube greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri grubih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje grubih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;

106

Primer
Serija 1.

Serija 2.

Serija 3.
107

Sistematske greške

•
•
•
•
•

Definicija;
Primeri sistematskih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Otkrivanje sistematskih grešaka;
Korekcija rezultata merenja;
108

Primer

109

Primer: “strujna” veza


Merenje otpornosti U/I metodom: Strujna veza.
R  Rm  Rx  R A

RA

A

R
Rx



Rm  R x



Rx

RA
Rx

V
Rx

RV
Rm 

U
I

 Rx  RA

Korekcija :
K  R   R A
R x  Rm  K  Rm  R A

110

Primer: “naponska” veza
Merenje otpornosti U/I metodom:
Naponska veza


RA

R  Rm  R x  

RV
1

Rx

Rx

RV
Rx

A

R
Rx

RV



1

RV

Rx

faktor korekcije :
k 

U
I



Rx
RV

V

Rm 

Rx

RV
Rv  Rm

R x RV
RV  R x

Rx  k  Rm

111

 R/R

Poređenje

R A RV

Rx

112

Slučajne greške
•
•
•
•

Definicija;
Primeri slučajnih grešaka;
Uzroci nastajanja;
Obrada rezultata merenja;

113

Manifestovanje

Manifestacija slučajne greške
1

N
2
3

x
1 <  < 3

N
X

um esto  :
aritm etick a sredina

dN
1

dX

 2



X 

x

X







e

( x )
2

2

1
N

N



Xi

i 1

2

um esto  :
standardno odstupanje

x

s

1
N 1

N


i 1

Xi  X



2

114

Verovatnoća pojavljivanja pojedinačnih rezultata

Koliko će pojedinačnih rezultata merenja Xi imati vrednost
u intervalu [a, b] ?
• za rezultate dobijene eksperimentom;
• za teorijsku raspodelu:
verovatnoća da pojedinačni rezultat merenja bude u
intervalu [a, b]:
b

P a  X  b 


a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

P    0 , 674   X    0 , 674    0 ,500
P      X       0 , 682
P    2  X    2   0 ,955
P    3  X    3   0 ,997

a

b

X

115

Tačnost/preciznost

• Tačnost:
Bliskost slaganja rezultata merene i (dogovorene)
prave vrednosti merene veličine.

• Preciznost:
Mera rasipanja
rezultata.

116

Granica greške
• Maksimalna dozvoljena greška merenja;

“Najveća vrednost greške merenja,
u odnosu na poznatu referentnu vrednost,
dopuštena specifikacijama ili propisima
za dato merenje, merni instrument
ili merni sistem.”
117

Tačnost mernog instrumenta
• Sposobnost mernog instrumenta
da daje odzive bliske pravoj vrednosti.
Primeri deklarisanja:
granicama
apsolutne greške

granicama
relativne greške

G   0 ,5 A

G %   0 ,5 %

formulom
G   (0, 01 % izm erene vrednosti 
 0,002 % gornje granice m ernog opsega  1 0  V )
118

Primeri deklarisanja:
tabelom

grafikom

a
pod
1
2
3
4
5 - 10

g ra n ic e g re s k e

ppm

100

0 ,0 1

0 ,1

1

N a p o n (V )

10

G
%
12
8
5
4
3

100

119

Klasa tačnosti
Granice dozvoljene greške instrumenta
kada je tačnost instrumenta izražena klasom tačnosti kl:

G 

kl
100

x m ax

x

;

G %   kl

x m ax
x

% 

Standardizovane oznake klasa tačnosti
(za pokazne električne merne instrumente):
0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5.
120

Oznake na mernim instrumentima
1 ,5

1 ,5

2

0

60

!

1 ,5

121

Granice greške
indirektno merenih veličina
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• Ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina:
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
122

• Ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina:
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


123

Merna nesigurnost
• Parametar, pridružen rezultatu merenja,
koji karakteriše disperziju vrednosti
koje bi razumno mogle da se pripišu
merenoj veličini.

Rezultat merenja
Me

rn a

ne

sig

u rn

os

t
124

Rezultat merenja
• ne broj,

X

• već interval, u kome se opravdano pretpostavlja
da se nalazi prava vrednost merene veličine.

X
125

Hajde da se dogovorimo ...
•
•
•
•

da bude univerzalno;
da bude naučno zasnovano;
da bude praktično;
...

126

Standardna merna nesigurnost
• Ocena merne nesigurnosti tipa A
• Ocena merne nesigurnosti tipa B

127

Merna nesigurnost tipa A
• Standardna nesigurnost u(x)
rezultata X , od N ponovljenih merenja:

 

u ( x)  s X 

gde je:

X 

1

i

N

1

N

x


N 1

1

i 1

X



2

N

x

N

i

i 1

128

Merna nesigurnost tipa B
Standardna nesigurnost u(x) se procenjuje
na osnovu dostupnih informacija iz:
• prethodnih mernih podataka;
• iskustva i opšteg znanja o ponašanju
i svojstvima relevantnih mernih sredstava;
• specifikacija proizvođača;
• podataka o kalibraciji ili sertifikata;
• nesigurnosti podataka uzetih iz priručnika;
• ...

129

Podsetnik
iz teorije verovatnoće

Slučajne promenljive

• Diskretne slučajne promenljive
• Kontinualne slučajne promenljive

131

Diskretne slučajne promenljive
• Bacanje novčića;

Primeri:

• Kocka;
0 1  i  6

p i    1
1 i  6

6
p(i)
1
6
i
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8
132



6

i  

i 1

1

•  pi    6  1
• Aritmetička sredina: i



6
 1 1
i   i p i     i    i  3,5
6 i 1
i  
i 1  6 
6

• Standardna devijacija: 


 
2

 i  i 

2

i  


2 1
p i    i  3,5   2,92
6
i 1 
6

;



  1,71
133

Kontinualne slučajne promenljive
p(x)

• Normalna raspodela
px  


1



2

e

1  x 
 

2  





x

134

2

•







px  dx  1

• Aritmetička sredina:

• Standardna devijacija:









x px  dx  

2




x


p
x
dx



2

135

Verovatnoća da slučajna promenljiva X
bude u intervalu (a, b):
Pa  X  b  

b

 px  dx  
b

a

a

1
2

e

1  x 
 

2  

2

dx

p(x)

p(x):
gustina
raspodele
verovatnoće

a

b

x

136

Ravnomerna raspodela
0 a  x  b
px   
A a  x  b
p(x)
A

a

b

x
137

• 



px  dx   A dx 1
b



• Aritmetička sredina:
x

 





Aba







x

p x  dx  

x
1

b

x

a

ba

• Standardna devijacija:
2



;

a

x  x 

2

p x  dx 

a

2

a  b 



 x  x 
b

dx 

1

2

1
ba

dx

;



 

1

b  a 

2 3
138

Merna nesigurnost tipa B
Neka je, na neki način, poznato da se prava vrednost
merene veličine X :
• “pouzdano” nalazi u intervalu (xm ± a);
• sa jednakom verovatnoćom može naći
bilo gde u navedenom intervalu.

Kako treba definisati parametar,
koji bi bio u saglasnosti
sa mernom nesigurnošću u(x) tipa A?
139

• Dakle:

p(x)
1
2a

xm
a

x
a

p(x): gustina raspodele verovatnoće

140

• Odgovarajući parametar:

u x   
za datu raspodelu.
Iz :

 
2





sledi

 x  xm 

2

u x    

p  x  dx 



xm  a

xm  a

 x  xm 

2

1
2a

dx 

a

2

3

a
3

141

Kombinovana merna nesigurnost
y  y  x1, x2 ,

...

, xn 

• ako su poznate vrednosti xi sistematskih
grešaka direktno merenih veličina;
y 

y
x1

x1 

y
x2

x2  ... 

y
xn

n

xn  
i 1

y
xi

xi
142

• ako su poznate granice greške Gi
direktno merenih veličina;
Sigurne granice greške
n
 y

y
y
y
Gy  
G1 
G2 ...
Gn    
Gi
x2
xn
i 1 xi
 x1


143

• ako su poznate merne nesigurnosti ui direktno
merenih veličina;
2

uy 

2

2

 y

 y

 y







 x u1    x u2   ...   x un  
 1 
 2

 n


 y

  x ui 
i 1 
i

n

2

144

Primeri
2

• y = x1 + x2

uy 
uy



y

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

 x1

x x
2
 1






2

2

• y = x1 - x2

uy
y



 x1

x x
2
 1











2

2

 ux2

 x
 2

;






2

2

 y

 y





 x u x1    x u x 2  
 1

 2

2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

2

uy 

u x1  u x 2

2

 u x1 
 x2



 x   x  x
2
 1 
 1

u x1  u x 2
2






2

2

 ux2

 x
 2






;
2

145

Primer
L1

Meri se razlika
dužina dva štapa:

l

l  L2  L1

L2
L1  97 mm
L2  100 mm


u L1  1 mm

;

;

;

;

1%

L1

u L 2  1 mm

l  L2  L1  3 mm

u L1

;

ul 

uL2

1%

L2
u

2
L2

u

2
L1

 1,4 mm

;

ul
l

 47 %

146

2

• y = x1 · x2

uy 
uy

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

2



y

2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

• y = x1 / x2

uy
y

2



2

 y

 y





u

u
 x x1 
 x x 2  
 1

 2

 u x1 
 ux2 




 x   x 
 1 
 2 

2

2

2

2

;

2

2

uy 

x2 u x1  x1 u x 2

2

2

 1  2  x1  2




 x  u x1   x 2  u x 2
 2
 2 

2

147

;

Analiza merne nesigurnosti
(uncertainty budget of the measurement)
Veličina

Vrednost
xi

Standardna
nesigurnost
u(xi)

Koeficijent
osetljivosti
ci

Doprinos ukupnoj
nesigurnosti
ui(y)

Xi
X1

x1

u(x1)

c1

u1(y)

X2

x2

u(x2)

c2

u2(y)

...

...

...

...

...

XN

xN

u(xN)

cN

uN(y)

Y

y

u (y)

148

Primer
Otpornost se meri voltmetrom i
ampermetrom, prema šemi na
slici. Upotrebljeni su:
• Voltmetar, opsega 6 V, klase
tačnosti 1 i unutrašnje
otpornosti (6 000 ± 12) Ω;
• Ampermetar, opsega 12 mA i
klase tačnosti 1.
Očitano je 6 V i 10 mA.
Odrediti nepoznatu otpornost i
mernu nesigurnost rezultata
merenja.

RA

A
V
Rx

RV

• Nekorigovano:
Rm 

U

 600 

I

• Korigovano:
Rx 

RV Rm
RV  Rm



RV U
RV I  U

 666,7 
149

Merna nesigurnost
Rx 
• Standardna
merna nesigurnost
direktnih merenja:
uU 
uA 

1 6

V  35 mV
mA  69 μA

100 3

u RV 

12
3

  6,9 Ω

RV I  U

• Koeficijenti osetljivosti:

;

Rx

cU 

100 3
1 12

RV U

;

cI 

U
Rx

cRV 

I

2



RV I

;

RV I  U 

2

2



Rx
RRV

RV U

RV I  U 



2

U

;

2

RV I  U 2
150

Analiza merne nesigurnosti
Standardna

Kof icijent

Doprinos

Veličina

Vrednost

nesigurnost

osetljivosti

Ω

U

6V

34,6 mV

123 Ω/V

4,3

I

10 mA

69,3 μA

-74,1 Ω/mA

5,1

RV

6 kΩ

6,93 Ω

-12,3 mΩ/Ω

0,1

Rx

666,7 Ω

6,7

Rx  666,7  6,7  
151

Proširena merna nesigurnost
U  k  uc  y 

k - faktor obuhvata (coverage factor)
Y  y U

Faktor obuhvata k se bira na osnovu
zahtevanog nivoa poverenja
za interval (y ± U).
152

Iskazivanje
merne nesigurnosti
• Test:
Da li je dato dovoljno informacija,
i na dovoljno jasan način,
da rezultat merenja
može da se ažurira u budućnosti,
ako se dobiju novi podaci ili informacije?

153