Modélisation exponentielle et logarithmique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon.
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Modélisation
exponentielle
et logarithmique
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
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Équation d’Arrhenius
On connaît souvent la forme générale du modèle décrivant la relation
entre deux variables. Pour adapter cette forme générale à un cas
particulier, il faut utiliser les données du problème et déterminer la
valeur de certains paramètres. On peut alors utiliser le modèle pour
traduire la question, effectuer les calculs et répondre à la question
posée.
L’équation d’Arrhenius décrit la relation entre la constante de
vitesse k d’une réaction chimique et la température. Cette équation
s’écrit :
k = Ae–Ea/RT
où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, Ea,
l’énergie d’activation (J/mol), R, la constante molaire des gaz
(R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K).
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Exemple 4.1.7
L’énergie d’activation de la réaction
2NO2(g) 2NO2 (g) + O2(g)
est de 111 kJ/mol. À une température de 300 K, sa constante de
vitesse est de 1,0 10–10 L/mol·s.
–111000/8,315T
Déterminer l’équation kd’Arrhenius
cette réaction chimique.
= 2,1 109 epour
On doit
A K?
dans l’équation d’Arrhenius,
Quelle
est déterminer
la constante la
de valeur
vitesse àde273
sachant que :k = 1,0 10–10 L/mol·s, Ea = 111 kJ/mol et T = 300 K.
Onisolant
chercheA la
constante
degénérale
vitesse kde
à une
température
T = 273 on
K. a :
En
dans
la forme
l’équation
d’Arrhenius,
1,0 10–10
k
EnAsubstituant
la valeur
T, on trouve =: 2 114 415 897 = 2,1 109
A = de
= –Ea/RT , d’où
–111000/8,315300
e
e
–12
k = la2,1
109 e–111000/8,315273
La relation entre
constante
de vitesse=1,210
de cette
réaction et la
température en kelvin est :
= 2,1est
109de
e–111000/8,315T
À 273 K, la constante dekvitesse
1,2 10–12 L/mol·s.
S
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Équation d’Arrhenius
forme logarithmique
Considérons à nouveau l’équation d’Arrhenius :
k = Ae–Ea/RT
où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, Ea,
l’énergie d’activation (J/mol), R, la constante molaire des gaz
(R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K).
En prenant le logarithme des deux membres de cette équation, on
obtient :
Ea
1
Ea
1
ln k = ln A –
ou ln k = –
+ ln A
R
T
R
T
On reconnaît la forme d’une relation affine du type y = ax + b, où :
la variable dépendante est : y = ln k,
a = –Ea /R,
la pente est :
la variable indépendante est : x = 1/T
ln k = –
y
=
Ea
1
R
T
a
x
+ ln A
+ b
et l’ordonnée à l’origine est : b = ln A.
S
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Équation d’Arrhenius
forme logarithmique
Pour déterminer l’énergie d’activation Ea d’une réaction chimique, la
méthode la plus utilisée est de mesurer la constante de vitesse à
différentes températures.
On peut alors déterminer une relation affine entre le logarithme de la
vitesse, ln k et l’inverse de la température, 1/T. Le paramètre a de
cette relation affine est a = –Ea /R, d’où : Ea = –Ra.
Lorsqu’on ne connaît que deux couples de valeurs correspondantes
(T1; k1) et (T2; k2), le facteur a est obtenu à partir des
correspondances (1/T1; ln k1) et (1/T2; ln k2). Le taux de variation (ou
la pente) est alors :
k2
ln
k1
ln k2 – ln k1
=
a=
1
1
1
1
–
–
T2
T1
T2
T1
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Exemple 5.1.6
On a mesuré la vitesse de la réaction en
phase gazeuse du méthane avec le soufre
diatomique dont l’équation est :
CH2(g) + 2S2(g) CS2(g) + 2H2S(g)
Température
Vitesse
(°C)
de réaction k
(L/mol·s)
570
1,8
650
10,8
On a obtenu les résultats ci-contre.
Déterminer l’énergie d’activation de la
Puisque Ea = –Ra, on obtient :
réaction.
–17426,85...
144trouvera
904,29...donc la pente
a = –8,315
Dans ce cas, onEdispose
de deux
données,=on
en calculant
le rapport
la variation
du logarithme naturel des
L’énergie
d’activation
est de
de 1,4
105 J/mol.
vitesses sur la variation de l’inverse multiplicatif des températures en
kelvins. Cela donne :
10,8
k2
ln
ln
1,8
k1
= –17426,85...
=
a=
1
1
1
1
–
–
923
843
T
T
2
1
S
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Croissance exponentielle
forme logarithmique
Considérons que la population N d’un certain organisme croît de
façon exponentielle selon l’équation suivante :
N = N0 bt
En prenant le logarithme des deux membres de l’équation, on obtient :
log N = t log b + log N0 ou log N = t ln b + ln N0
On reconnaît la forme d’une relation affine du type Y = Ax + B, où :
Y = ln N et A = log b.
Lorsqu’on ne connaît que deux couples de valeurs (t1; N1) et (t2; N2) de
cette relation, le taux de variation (ou la pente) peut être obtenu de la
façon suivante :
log N2 – log N1
ln N2 – ln N1
ou
A=
A=
t2 – t1
t2 – t1
On peut en déduire le temps de dédoublement (TD) :
TD =
log 2
log b
=
log 2
A
=
0,301
A
ou TD =
log 2
A
ln 2
=
0,301
= A 2,303
A ln 10
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Exemple 2.3.2
Lors d’une culture cellulaire, on a observé
les quantités de cellules données dans le
tableau ci-contre.
Temps
jours
3
Nombre
de cellules
3,3 109
6,4 109
6
Déterminer le temps de dédoublement de
ces
cellules.de cellules devraient être ensemencées le sixième jour si on
Combien
6 cellules cinq jours plus tard?
désire obtenir
environ
10de
Déterminons
d’abord
le 5taux
variation :
Si le sixième
jour9)on
pose N 10
= N90) 2t/TD, on
obtient
N = N0 2t/3,14. Pour
log(6,4 10
– log(6,4
9,806
– 9,519
= 0,0958
A=
= ensemencer pour
déterminer
combien de cellules il faut
en obtenir
3
6
–
3
5 106 cinq jours plus tard, il faut résoudre l’équation :
5/3,14 =donné
6
Le temps de dédoublementNest2alors
:
5 10par
0
log
2
6
5
10
TD =
= 3,139...
=
1658146
N
=
Cela donne : 0
0,0958
25/3,14
Il faut donc ensemencer environ 1,7 106 cellules.
Le temps de dédoublement est d’environ 3,14 jours.
S
Slide 9
Conclusion
La régression logarithmique est un outil très puissant pour la
modélisation de données expérimentales.
La droite est la forme graphique la plus facile à reconnaître. Pour
déceler un lien non affine entre deux variables, on peut utiliser un
papier graphique dont l’une des échelles ou les deux sont graduées à
l’aide du logarithme en base 10.
De cette façon, on peut détecter des liens exponentiels, des liens de
puissance et des liens logarithmiques entre deux variables.
Par la régression logarithmique, on peut alors déterminer les
paramètres de ces liens.
Slide 10
Lecture
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 5.1, p. 121 à 130.
Exercices
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 5.2, p. 131 à 134.
Modélisation
exponentielle
et logarithmique
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
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Équation d’Arrhenius
On connaît souvent la forme générale du modèle décrivant la relation
entre deux variables. Pour adapter cette forme générale à un cas
particulier, il faut utiliser les données du problème et déterminer la
valeur de certains paramètres. On peut alors utiliser le modèle pour
traduire la question, effectuer les calculs et répondre à la question
posée.
L’équation d’Arrhenius décrit la relation entre la constante de
vitesse k d’une réaction chimique et la température. Cette équation
s’écrit :
k = Ae–Ea/RT
où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, Ea,
l’énergie d’activation (J/mol), R, la constante molaire des gaz
(R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K).
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Exemple 4.1.7
L’énergie d’activation de la réaction
2NO2(g) 2NO2 (g) + O2(g)
est de 111 kJ/mol. À une température de 300 K, sa constante de
vitesse est de 1,0 10–10 L/mol·s.
–111000/8,315T
Déterminer l’équation kd’Arrhenius
cette réaction chimique.
= 2,1 109 epour
On doit
A K?
dans l’équation d’Arrhenius,
Quelle
est déterminer
la constante la
de valeur
vitesse àde273
sachant que :k = 1,0 10–10 L/mol·s, Ea = 111 kJ/mol et T = 300 K.
Onisolant
chercheA la
constante
degénérale
vitesse kde
à une
température
T = 273 on
K. a :
En
dans
la forme
l’équation
d’Arrhenius,
1,0 10–10
k
EnAsubstituant
la valeur
T, on trouve =: 2 114 415 897 = 2,1 109
A = de
= –Ea/RT , d’où
–111000/8,315300
e
e
–12
k = la2,1
109 e–111000/8,315273
La relation entre
constante
de vitesse=1,210
de cette
réaction et la
température en kelvin est :
= 2,1est
109de
e–111000/8,315T
À 273 K, la constante dekvitesse
1,2 10–12 L/mol·s.
S
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Équation d’Arrhenius
forme logarithmique
Considérons à nouveau l’équation d’Arrhenius :
k = Ae–Ea/RT
où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, Ea,
l’énergie d’activation (J/mol), R, la constante molaire des gaz
(R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K).
En prenant le logarithme des deux membres de cette équation, on
obtient :
Ea
1
Ea
1
ln k = ln A –
ou ln k = –
+ ln A
R
T
R
T
On reconnaît la forme d’une relation affine du type y = ax + b, où :
la variable dépendante est : y = ln k,
a = –Ea /R,
la pente est :
la variable indépendante est : x = 1/T
ln k = –
y
=
Ea
1
R
T
a
x
+ ln A
+ b
et l’ordonnée à l’origine est : b = ln A.
S
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Équation d’Arrhenius
forme logarithmique
Pour déterminer l’énergie d’activation Ea d’une réaction chimique, la
méthode la plus utilisée est de mesurer la constante de vitesse à
différentes températures.
On peut alors déterminer une relation affine entre le logarithme de la
vitesse, ln k et l’inverse de la température, 1/T. Le paramètre a de
cette relation affine est a = –Ea /R, d’où : Ea = –Ra.
Lorsqu’on ne connaît que deux couples de valeurs correspondantes
(T1; k1) et (T2; k2), le facteur a est obtenu à partir des
correspondances (1/T1; ln k1) et (1/T2; ln k2). Le taux de variation (ou
la pente) est alors :
k2
ln
k1
ln k2 – ln k1
=
a=
1
1
1
1
–
–
T2
T1
T2
T1
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Exemple 5.1.6
On a mesuré la vitesse de la réaction en
phase gazeuse du méthane avec le soufre
diatomique dont l’équation est :
CH2(g) + 2S2(g) CS2(g) + 2H2S(g)
Température
Vitesse
(°C)
de réaction k
(L/mol·s)
570
1,8
650
10,8
On a obtenu les résultats ci-contre.
Déterminer l’énergie d’activation de la
Puisque Ea = –Ra, on obtient :
réaction.
–17426,85...
144trouvera
904,29...donc la pente
a = –8,315
Dans ce cas, onEdispose
de deux
données,=on
en calculant
le rapport
la variation
du logarithme naturel des
L’énergie
d’activation
est de
de 1,4
105 J/mol.
vitesses sur la variation de l’inverse multiplicatif des températures en
kelvins. Cela donne :
10,8
k2
ln
ln
1,8
k1
= –17426,85...
=
a=
1
1
1
1
–
–
923
843
T
T
2
1
S
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Croissance exponentielle
forme logarithmique
Considérons que la population N d’un certain organisme croît de
façon exponentielle selon l’équation suivante :
N = N0 bt
En prenant le logarithme des deux membres de l’équation, on obtient :
log N = t log b + log N0 ou log N = t ln b + ln N0
On reconnaît la forme d’une relation affine du type Y = Ax + B, où :
Y = ln N et A = log b.
Lorsqu’on ne connaît que deux couples de valeurs (t1; N1) et (t2; N2) de
cette relation, le taux de variation (ou la pente) peut être obtenu de la
façon suivante :
log N2 – log N1
ln N2 – ln N1
ou
A=
A=
t2 – t1
t2 – t1
On peut en déduire le temps de dédoublement (TD) :
TD =
log 2
log b
=
log 2
A
=
0,301
A
ou TD =
log 2
A
ln 2
=
0,301
= A 2,303
A ln 10
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Exemple 2.3.2
Lors d’une culture cellulaire, on a observé
les quantités de cellules données dans le
tableau ci-contre.
Temps
jours
3
Nombre
de cellules
3,3 109
6,4 109
6
Déterminer le temps de dédoublement de
ces
cellules.de cellules devraient être ensemencées le sixième jour si on
Combien
6 cellules cinq jours plus tard?
désire obtenir
environ
10de
Déterminons
d’abord
le 5taux
variation :
Si le sixième
jour9)on
pose N 10
= N90) 2t/TD, on
obtient
N = N0 2t/3,14. Pour
log(6,4 10
– log(6,4
9,806
– 9,519
= 0,0958
A=
= ensemencer pour
déterminer
combien de cellules il faut
en obtenir
3
6
–
3
5 106 cinq jours plus tard, il faut résoudre l’équation :
5/3,14 =donné
6
Le temps de dédoublementNest2alors
:
5 10par
0
log
2
6
5
10
TD =
= 3,139...
=
1658146
N
=
Cela donne : 0
0,0958
25/3,14
Il faut donc ensemencer environ 1,7 106 cellules.
Le temps de dédoublement est d’environ 3,14 jours.
S
Slide 9
Conclusion
La régression logarithmique est un outil très puissant pour la
modélisation de données expérimentales.
La droite est la forme graphique la plus facile à reconnaître. Pour
déceler un lien non affine entre deux variables, on peut utiliser un
papier graphique dont l’une des échelles ou les deux sont graduées à
l’aide du logarithme en base 10.
De cette façon, on peut détecter des liens exponentiels, des liens de
puissance et des liens logarithmiques entre deux variables.
Par la régression logarithmique, on peut alors déterminer les
paramètres de ces liens.
Slide 10
Lecture
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 5.1, p. 121 à 130.
Exercices
Mathématiques pour la chimie et la biologie,
section 5.2, p. 131 à 134.