Slide 1


Slide 2

Определение.
Две прямые на плоскости
называются
параллельными,
если они не пересекаются.


Slide 3

Признаки параллельности прямых
Если при пересечении двух прямых
секущей накрест лежащие углы равны,
то прямые параллельны.

c

а

1
2

b

c

Если при пересечении двух прямых
секущей соответственные углы равны,
то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей
сумма односторонних углов равна 1800, то
прямые параллельны.

1

а

2

b

c

а

1
2

b


Slide 4

Аксиома параллельности и следствия из неё.

c

А

Через точку, не лежащую на данной
b прямой, проходит только одна прямая,
параллельная данной.
а

с
а
b

Если прямая пересекает одну из
двух параллельных прямых, то она
пересекает и другую.
a II b, c b ⇒ c a

Следствие 1.

Если две прямые параллельны
третьей прямой, то они параллельны.
a II с, b II с ⇒ a II b

Следствие 2.


Slide 5

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то
накрест лежащие углы равны.
Дано: a II b, MN- секущая.

Р
1

N


2

M

а

Доказать:  1= 2 (НЛУ)

b

Доказательство:
способ от противного.
Допустим, что  1   2.

Отложим от луча МN угол NМР, равный углу 2.
По построению накрест лежащие углы  NМР= 2 
РМ II b.
Получили, что через точку М проходит две прямые (а и МР),
параллельные прямой b !!! Это противоречит аксиоме
параллельных прямых. Значит наше допущение неверно!!!
1=  2.
Теорема доказана.


Slide 6

Теорема об односторонних углах, образованных при пересечении двух
параллельных прямых секущей.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, условие

то сумма односторонних углов равна 1800.

заключение теоремы

c

а
3
1

2
b

Дано: а II b, c- секущая.

Доказать: OУ  1+ 2=1800.

Доказательство:
 3+ 2 =1800, т. к. они смежные.



 3 + 2 =1800

 11= 3, т. к. это НЛУ при а II b

Теорема доказана.


Slide 7

Если MN II AB, а угол 2 больше угла 1 на 300, то угол 2 равен…
Решение:
 1= х,
 2= х+30

Задача
В

 1=  ВОС,

N

М

2
A

О
1
С

B

они вертикальные.
 2= х+30
 ВОА=х,

1800, т.к. ОУ при а II b

Составь уравнение…
Найди сам угол.


Slide 8

Теорема о соответственных углах, образованных при пересечении двух
параллельных прямых секущей.

Если две параллельные прямые пересечены секущей,
то соответственные углы равны. заключение теоремы
c
2

а

3
1

b

условие

Дано: а II b, c- секущая.

Доказать: СУ  1 =  2.

Доказательство:
 2 = 3, т. к. они вертикальные.
 3 =  1, т. к. это НЛУ при а II b



 22
 11 =  3 = 


Теорема доказана.


Slide 9

Свойства углов при параллельных прямых. Дано:

aIIb

a

 1=

340

aIIb

aIIb.

1340

a

 2=

b

2 1

b

2 1

 1=
 2=

Сумма углов 1 и 2 равна 760.

a

aIIb

2

b

1
3

 1=

 3=

 1:  2 = 4 : 5.

aIIb

a
2
1

a
440
440

Пр о ве р ить .

 1=

2
1

0

b

 2=

b

1=

 2=


Slide 10

Дано: а II b, c – секущая.
Один из односторонних углов на
20% меньше другого.

Задача
c

7 6
8

3

2
b

1

4 5
 1=

а

 5=

 2=

 6=

 3=

 7=

 4=

 8=

Найти: все углы.
Решение:
 2=х,
 1 на 20% меньше, т.е. 80%
 1=0,8х
 2=х
 1=0,8х

1800, т.к. ОУ при
а II b

Составь уравнение…
Найди сам все углы…
Пр о ве р ить .


Slide 11

Тренировочные упражнения
Дано: а II b, с – секущая
1 = 4  2

Найдите:

1 и 2
c
а

Угол 1 в 4 раза больше
угла 2

1
4х

2х

b


Slide 12

Тренировочные упражнения
Угол 1 на 300 больше
угла 2

Дано: а II b, с – секущая
 1 – 2 = 300

Найдите:

1 и 2
c
а
1
х+30

2х

b


Slide 13

Тренировочные упражнения
Дано: а II b, с – секущая
 2 = 0,8  1

Найдите:

1 и 2
c
а
1х

0,8х
2
Угол 2 составляет 0,8 части
угла 1

b


Slide 14

Тренировочные упражнения

Пусть х – 1 часть

Дано: а II b, с – секущая
1 :  2 = 5 : 4

Найдите:

1 и 2
c
а

5х
1

5:4

4х
2

b


Slide 15

Тренировочные упражнения
Дано: а II b, с – секущая
 2 составляет 80% от  1

Найдите:

1 и 2
c

%

а

х
1
0,8х
2

b


Slide 16

AB = BC,  A=600,
CD – биссектриса угла ВСЕ.
Докажите, что АВ II CD.

Дано: а II b, с – секущая
1 :  2 = 5 : 4
Найдите:

1 и 2
c

Пусть х – 1 часть

B

D

а

5х
1
600

1200

600

A

С

600

5:4
E

4х
2

b


Slide 17

Используя данные рисунка, найдите углы 1, 2 и 3.

с

d

а

1200

1
2

200

1600 b

3


Slide 18

Может ли еще один из семи остальных углов, образованных

при пересечении прямых a и
1100? 600? Почему?

b с прямой d, быть равен
d

m
1100

400

1100

400

а

b


Slide 19

На рисунке АС II ВD и
Найдите  СВD.

A

АС = АВ,

 МАС = 400.

M

С

400

2

3
B

1
D


Slide 20

На рисунке АВ II ЕD.
Докажите, что  ВСD =  B +  D

B

Подсказка

A
1

N

2
3

C

Построим CN II AB

4

D

E


Slide 21

На рисунке АВ II ЕD.  CВА = 1400,  СDE = 1300
Докажите, что ВС СD
Подсказка

B

A

140
400

N

C

Построим CN II AB
130
50 0

D

E


Slide 22

a II b, c – секущая, DM и DN – биссектрисы
смежных углов, образованных прямыми a и c. DE = 5,8 см
На рисунке

Найдите MN.

с
а

400 D

2
3 6

5

1
M

4

E

?

b
N


Slide 23

На рисунке АВ ED и KM  ED,  ABE = 340
MN – биссектриса  КМС
Найдите  EMN.

D
K
N
A
0
146
0

73

E

?

340

B

730 C

M


Slide 24

На рисунке АС II BD и KC II MD, ACK = 480
 CDK в 3 раза больше  EDM
Найдите  КDE.

A
B
K
C

480

480

M

3x
D

x

E