Transcript Практические способы применения параллельных прямых

Признаки параллельности
прямых лежат в основе способов
построения
параллельных прямых с помощью
различных инструментов;
используемых на практике.
Геометрические построения
- это способ решения
задачи, при котором ответ
получают графическим
путем. Построения
выполняют чертежными
инструментами при
максимальной точности и
аккуратности работы, так
как от этого зависит
правильность решения.
Условия задач и
вспомогательные
построения выполняют
тонкими сплошными
линиями. Выбор
рационального способа
решения задачи сокращает
время, затрачиваемое на
работу. Например, при
построении
равностороннего
треугольника, вписанного в
окружность, более
рационален способ, при
котором построение
выполняют рейсшиной и
угольником с углом 60
градусов без
предварительного
определения точек деления.
Менее рационален способ
решения этой же задачи при
помощи циркуля и
рейсшины с
предварительным
определением точек
деления
Чтобы построить
прямую, проходящую
через точку С и
параллельную данной
прямой а, приложим к
прямой а катет
угольника. К нему
подведем линейку так,
чтобы она совпадала с
гипотенузой угольника
(рис. 58). Затем угольник
переместим по
неподвижной линейке
до заданной точки С.
Добьемся того, чтобы
точка С совпала со
стороной угольника, и
проведем через точку
прямую, обозначив ее Ь.
Получим прямую b | а.
Таким способом можно
провести любое
количество прямых,
параллельных заданной.
Вместо линейки можно
использовать другой
угольник.
Чтобы построить
перпендикуляр к прямой
через заданную - точку с
помощью рейсшины,
необходимо
переместить ее ниже
заданной прямой. К
рейсшине приложить
угольник так, как
показано на рис. 59,
совместив положение
стороны угольника с
заданной точкой. Затем
провести прямую,
которая будет
перпендикулярна
заданной. Этот же
случай рассмотрен на
примере построения
перпендикуляра с
использованием двух
угольников (рис. 60).
Проложить прямую На
местности колышками
обозначены две удалённые
друг от друга точки. Как
проложить через них прямую
и, в частности, как можно
без помощника
устанавливать колышки на
прямой между данными
точками?
Решение! Пользуясь
зрительным эффектом,
состоящим в
загораживание двух
колышков третьим, стоящим
на общей с ними прямой,
нетрудно установить ещё
один колышек в некоторой
точке С на продолжении
отрезка с концами в двух
данных точках А и В. после
этого точки отрезка АВ
можно построить с
помощью того же эффекта,
поскольку они будут лежать
на продолжении либо
отрезка АС, либо ВС (в
зависимости от того, какая
из точек - А или В - находятся
ближе к точке С). Вообще,
любая точка прямой АВ
будет лежать на
продолжении хотя бы одного
из отрезков АВ, АС или ВС.
c
b
a

Две прямые на
плоскости называются
параллельными, если
они не пересекаются.
Параллельность прямых
а и b обозначают так:
а||b. На рисунке 1
изображены прямые a и
b, перпендикулярные к
прямой с. Такие прямые
а и b не пересекаются,
т. е. они параллельны.
Доказательство. Пусть при
пересечении прямых а и b
секущей АВ накрест
лежащие углы равны: ∠1=∠2
(рис. 4, а).
окажем, что а||b. Если углы
1 и 2 прямые (рис. 4, б), то
прямые а и b
перпендикулярны к прямой
АВ и, следовательно,
параллельны. Рассмотрим
случай, когда углы 1 и 2 не
прямые. Из середины О
отрезка АВ проведем
перпендикуляр ОН к прямой
а (рис. 4, в). На прямой b от
точки В отложим отрезок ВН1
равный отрезку AH, как
показано на рисунке 4, в, и
проведем отрезок ОН1.
Треугольники ОНА и ОН1В
равны по двум сторонам и
углу между ними (АО=ВО.
АН=ВН1 ∠1=∠2), поэтому
∠3=∠4 и ∠15=∠16. Из
равенства ∠3=∠4 следует,
что точка Н1 лежит на
продолжении луча ОН, т. е.
точки Н, О и Н1 лежат на
одной прямой, а из
равенства ∠5=∠6 следует,
что угол 6 — прямой (так как
угол 5 — прямой). Значит,
прямые а и b
перпендикулярны к прямой
НН1 поэтому они
параллельны. Теорема
доказана.

Теорема. Если при пересечении двух
прямых секущей накрест лежащие
углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть
при пересечении
прямых а и b секущей с
соответственные углы
равны, например ∠1=∠2
(рис. 5). Так как углы 2 и
3 - вертикальные, то
∠2=∠3. Из этих двух
равенств следует, что ∠
1=∠3. Но углы 1 и 3 —
накрест лежащие,
поэтому прямые а и b
параллельны. Теорема
доказана.
Доказательство. Пусть
при пересечении
прямых а и b секущей с
сумма односторонних
углов равна 180°,
например ∠1+∠4=180°
(см. рис. 5). Так как углы
3 и 4 — смежные, то
∠3+∠4=180°. Из этих двух
равенств следует, что
накрест лежащие углы 1
и 3 равны, поэтому
прямые а и b
параллельны. Теорема
доказана.
Теорема. Если при пересечении двух
прямых секущей сумма
односторонних углов равна 180°, то
прямые параллельны.
Теорема. Если при пересечении двух
прямых секущей соответственные
углы равны, то прямые параллельны
Какие прямые
называются
параллельны
ми?
Какие
практические
способы
построения
параллельных
прямых
существуют.?