Slide 1

Урок 2
Прямая на плоскости.


Slide 2

Взаимное расположение прямых на
плоскости
Прямые на плоскости могут совпадать, пересекаться
или быть параллельными.
1. Пусть на плоскости заданы общими уравнениями
две прямые L1 и L2:

где

L1: A1x + B1y + С1 = 0,
и
n2  ( A1 , B2 )

L2: A2x −
+ нормальные
B2y + С2 = 0,

векторы прямых L1 и L2, соответственно. Прямые на
плоскости совпадают или параллельны, если нормальные
векторы этих прямых коллинеарны, а значит, координаты
векторов должны быть пропорциональны.
n2
n1
L1

L2

L1


Slide 3

Следовательно, прямые
− совпадают, если

− параллельны, если

n2

n1
L1

L1

L2

− пересекаются, если
n2
n1

L1
L2

L1


Slide 4

2. Пусть прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:

Прямые на плоскости
q2
совпадают или параллельны, если
их направляющие векторы
L
L12
коллинеарны, а значит, их
координаты пропорциональны.

Тогда, прямые:
а) совпадают, если
б) параллельны, если
в) пересекаются, если

и
и

q1
L2

L1


Slide 5

3. Если прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым
коэффициентом
L1: y=k1x+b1,
L2: y = k2x + b2,

Y

то прямые:
а) совпадают, если k1 = k2 и b1 = b2;
б) параллельны, если

k1 = k2 и b1  b2;

в) пересекаются, если

k1  k2 .

X


Slide 6

Угол между прямыми на плоскости
1.Пусть на плоскости заданы прямые L1 и L2 общими
уравнениями:
L1: A1x + B1y + С1 = 0;
L2: A2x + B2y + С2 = 0.
Тогда косинус наименьшего угла между двумя прямыми L1 и
L2 на плоскости равен модулю косинуса угла между
нормальными векторами этих прямых:

В случае если прямые перпендикулярны, их нормальные
векторы также перпендикулярны, а значит, скалярное
произведение нормальных векторов должно быть равно нулю.


Slide 7

2.Если прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями:

то косинус наименьшего угла между прямыми L1 и L2 равен
модулю косинуса угла между направляющими векторами
этих прямых:


Slide 8

3. Пусть прямые заданы уравнениями с угловым
коэффициентом:
L1: y=k1x+b1,
L2: y = k2x + b2,

Y

X

Обозначим через φ- угол между
двумя прямыми (φ = β – α).
Тогда по известной формуле
тригонометрии


Slide 9

Две прямые будут параллельны, если их угловые
коэффициенты равны.
Итак, условие параллельности двух прямых:

Условие перпендикулярности двух прямых:

k1k2 = −1.


Slide 10

Расстояние от точки до прямой на
плоскости

Пусть дана точка М (x1, y1 ) и прямая L: Ax+By+C = 0
(M  L). Требуется найти расстояние от точки М до прямой L.
Пусть точка М0(x0, y0) - точка, лежащая на прямой,
− вектор нормали.
М0(x0, y0)

L

М1(x1, y1)


Slide 11

Окончательно, получаем формулу для вычисления
расстояния от точки до прямой

Замечание.

Расстояние между двумя параллельными прямыми на
плоскости можно найти по последней формуле, если
находить расстояние от любой точки, принадлежащей
одной прямой, до другой прямой.


Slide 12