Transcript 1.Параллельность плоскостей и прямых

Урок 1
Определение и признак параллельности плоскостей.
Пересечение параллельных плоскостей
прямыми и плоскостями
Какие возможны случаи взаимного расположения
двух различных плоскостей?
Сформулируйте определения пересекающихся и
параллельных плоскостей.
Почему нет других случаев?
Как располагаются две плоскости,
перпендикулярные одной прямой? Обоснуйте
Какую роль играет доказанное нами утверждение?
Признак параллельности плоскостей
n

m

Теорема 1-2 о прямой, параллельной плоскости.
Если прямая n параллельна плоскости α, то любая плоскость,
проходящая через n и пересекающая α, пересекает
ее по прямой, параллельной n
Теорема 1-3 о параллельных плоскостях
Если две плоскости параллельны, то любая плоскость,
пересекающая одну из них, пересекает также и вторую,
причем получившиеся при этом прямые параллельны
б)
а)

М

М





Теорема 1-4 признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна
какой-то прямой в этой плоскости,
то она параллельна и самой плокости
.
n

m

Теорема 1-5 признак параллельности плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
параллельны соответственно двум прямым в другой
плоскости, то эти плоскости параллельны


m
k
m'
n
k'
Через любую точку пространства, не принадлежащую
данной плоскости, проходит единственная плоскость,
параллельная данной.
Теорема 1-6 о двух плоскостях, проходящих через
параллельные прямые
Пусть а и b – две параллельные прямые.
Рассмотрим две плоскости α и β, проходящие через
прямые а и b и не совпадающие с плоскостью,
содержащей эти прямые.
Тогда линия пересечения плоскостей α и β параллельна
прямым а и b
Теорема 1.7 о транзитивности параллельности для прямых
Если каждая из двух различных прямых параллельна третьей,
то и сами эти прямые параллельны
.
а
b

c1

M
c
А-8-7
Пусть ABCDA1 ..D1— куб.
Нарисуйте его сечение плоскостью KLM при таком
расположении этих точек:
а) К лежит внутри ребра A1D1, L лежит внутри ребра А1В1,
М лежит внутри ребра AD;
в) К лежит внутри ребра А1В1 L лежит внутри ребра A1D1,
М лежит внутри ребра DD1;
в) К лежит внутри ребра А1В1 L лежит внутри ребра A1D1,
М лежит внутри ребра DD1;
Дано:  || ; a   = A; a   = B; b 
 = A’; b   = B’; a  b = M. |MA| :
|AB| = p : q; |BB’| = b.
Найти: а) |AA’|; б) S
MAA '
а)
: SMBB '
б)
Требуется построить колонну, подпирающую потолок.
Как этого добиваются на практике?
Если прямая перпендикулярна одной из
параллельных плоскостей,
то она перпендикулярна и другой
С каким утверждением непосредственно связана эта теорема?
Дано:  || ; с. Доказать: с.
Доказательство
с  с   = A; так как  || , то с   = В.
Пусть с и  – не перпендикулярны, тогда  | B и с. с;
с   || .
Таким образом, через точку В проходят две плоскости,
параллельные , – противоречие.
Следовательно, с, ч. т. д.
А-10-1
Точка Q — центр основания правильной пирамиды РАВС.
1) Нарисуйте сечение пирамиды плоскостью,
параллельной (ABC) и проходящей через:
а) точку К внутри ребра РВ;
б) точку L внутри грани РАС;
в) точку М внутри отрезка PQ.
Какой по форме треугольник получается в этих сечениях?
А-10-2
2) Пусть через точку N, лежащую внутри PQ,
проведены два сечения,
параллельные двум боковым граням пирамиды.
Докажите, что они равны.
3) Как вычислить длину общего отрезка двух сечений из
пункта 2, если известно боковое ребро пирамиды,
угол при ее вершине и \PN\?