وزارة التربية اإلدارة العامة منطقة العاصمة التعليمية ثانوية جمانة بنت أبي طالب تقديم أ . فاديه فرج إعداد رئيسة القسم أ . بدور سفر الموجه الفني أ . رضية.
Download ReportTranscript وزارة التربية اإلدارة العامة منطقة العاصمة التعليمية ثانوية جمانة بنت أبي طالب تقديم أ . فاديه فرج إعداد رئيسة القسم أ . بدور سفر الموجه الفني أ . رضية.
وزارة التربية
اإلدارة العامة منطقة العاصمة التعليمية
ثانوية جمانة بنت أبي طالب
تقديم
أ .فاديه فرج
إعداد رئيسة القسم
أ .بدور سفر
الموجه الفني
أ .رضية القطان
الموجه األول
أ .حصه العلي
مديرة المدرسة
أ .أمل الحلبي
وسائل
التعليمية
أقالم
السبورة
كراسة
التمارين
السبورة
الذكية
بياني
السبورة
Power
point
بعد دراسة هذا املوضوع يكون الطالب قادرعلى أن :
يعرف املتغير العشوائي .
يعرف املتغير العشوائي املتقطع .
يوجد املتغير العشوائي املتقطع .
يحدد نوع املتغير العشوائي .
يوجد مدى املتغير العشوائي .
يعرف دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي X
يوجد دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي X
يذكر شروط دالة التوزيع االحتمالي .
تابع االهداف السلوكية :
يتعرف على التمثيل البياني لدالة التوزيع االحتمالي .
يوجد دالة توزيع احتمالي ملتغير عشوائي باستخدام التوافيق .
يعرف التوقع للمتغير العشوائي املتقطع .
يوجد التوقع ملتغير عشوائي متقطع .
يعرف التباين واالنحراف املعياري للمتغير العشوائي املتقطع .
يوجد التباين واالنحراف املعياري ملتغير عشوائي متقطع .
يعرف دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي املتقطع .
يوجد دالة التوزيع التراكمي ملتغير العشوائي املتقطع .
يتعرف على التمثيل البياني لدالة التوزيع التراكمي .
يذكر بعض خواص دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي .
يعرف تجربة ذات الحدين .
يوجد االحتمال باستخدام تجربة ذات الحدين .
يوجد التوقع والتباين واالنحراف املعياري
لتوزيع ذات الحدين .
المفردات والمصطلحات
المتغير العشوائي
التوزيع االحتمالي
متغير عشوائي متقطع
توزيع ذات الحدين
وسط التوزيع االحتمالي
تباين التوزيع االحتمالي
دالة التوزيع االحتمالي
دلة التوزيع التراكمي
الحصص المقترحة
6حصص
مشروع الوحدة :أهمية استخدام علم االحتماالت المستند علي إحصاءات سابقة للوصول
إلي استنتاجات مفيدة
) (1مقدمة المشروع :
في إحدي رحالت الخطوط الجوية التي يتم خاللها استخدام طائرة تتسع لـ 213
راكبا ،تقوم الشركة ببيع أكثر من 213بطاقة ألنه معروف من رحالت سابقة أن
بعض الركاب ممن سبق أن حجزوا بطاقات سفر قد يتخلفون عن الرحلة .
) (2الهدف:
تهتم الشركة بأن يكون عدد الركاب في الرحلة مساويا ً لعدد المقاعد المتوفرة علي
الطائرة أي 213مقعداً ،ألنه إذا وجدت مقاعد فارغة على الطائرة خالل الرحلة فإن
المردود المادي للرحلة سيتناقص أما إذا كان عدد الركاب أكبر من عدد المقاعد فإن
الشركة ستقوم بدفع تعويض مادي لكل راكب لم يتوفر له مقعد علي متن الطائرة
وهذا أيضا ً سينقص من المردود المادي للرحلة.
)(3اللوازم :الة حاسبة -حاسوب
) (4اسئلة حول التطبيق :
بنا ًء علي إحصاءات سابقة فإن احتمال تخلف راكب واحد عن رحلة جوية هو 0.0975
) (aأثبت ان عدد البطاقات المباعة للرحلة يجب ان يكون 236بطاقة حتى يتأمن وجود
213راكبا ً عند انطالق الرحلة
احتمال عدم التخلف P = 0.9025 :
احتمال التخلف (1-P) = 0.0975 :
حيث Xعدد البطاقات المباعة
)n(a
)n(S
بطاقة
= )P(a
213
= 0.9025
X
213
X = 0.9025 = 236
) (bإذا باعت الشركة 240بطاقة أي 4بطاقات أكثر مما يلزم لتأمين 213راكبا ً.
أوجد احتمال وجود مقعد بدون راكب علي متن الطائرة.
عدد الركاب :
راكبا ً
0.9025 ×240 = 217
1 – P = 0.0975
X=1
,
,
P = 0.9025
n=4
P(X=1) = ƒ (1) = 4C1 ⤫ (0.9025)1 ⤫ (0.0975) 3 = 0.003
) (cإذا كانت الشركة تدفع 200دينار لكل راكب حجز بطاقة ولم يجد مقعدا علي متن
الطائرة للرحلة ،فأوجد احتمال أن تدفع الشركة 1000دينار تعويضا ً للركاب الذين لم
يجدوا لهم مقاعد علي متن الطائرة إذا كانت الشركة قد باعت 246بطاقة.
P = 0.9025
, 1 – P = 0.0975 , n = 10 , X = 5
اي 5ركاب اضافيين لم يجدوا مقاعد على متن الطائرة الن تم تعويضهم بـ 1000دينار
5 x 200 = 1000وذلك من أصل 10ركاب اضافيين
أي :
P(X=5) = ƒ (5) = 10C5 ⤫ (0.9025)5 ⤫ (0.0975) 5 = 0.001
دعنا نفكر
ونتناقش
عند إلقاء حجري نرد منتظمين ومالحظة الوجه العلوي الحجر األول مرقم
كما يلي :وجهان مرقمان ،0وجهان مرقمان ،1وجهان مرقمان .2الحجر
الثاني مرقم كما يلي :ثالثة أوجه مرقمة ،0ثالثة أوجه مرقمة .1
ليكن Eمجموع العددين الظاهرين على الوجه العلوي .
3
3
+× 0 0 1 11 22 22
0 0 0 10 10 20 20
0 0 0 10 10 20 20
0 0 0 10 10 20 20
1 10 10 21 21 32 32
1 10 10 21 21 32 32
bاستنتج احتمال
P(E=3)= 1
1 10 10 21 21 32 32
6
) a )3إذا كنا نهتم بناتج ضرب العددين الظاهرين على الوجه العلوي،
}{0,1,2
فما النتائج الممكنه ؟
bأوجدي احتمال كل من النتائج الممكنة ؟ P(E=0)= 1 , P(E=1)= 1 ,
6
6
=)P(E=2
2
3
الحجر الثاني
) a )2مستخدما الجدول المقابل،أوجدي احتمال كل من النتائج
P(E=0 = 1
التالية:
6
)
P(E=1)= 1
P(E=2)= 1
الحجر االول
المقــــدمة
في ما سبق درسنا بعض مفاهيم التجارب العشوائية
واالحتمال .ونحن نعلم أن فضاء العينة هو مجموعة
نواتج التجربة العشوائية والتي غالبا ما تكون صفات أو
مسميات يصعب التعامل معها رياضيا.
لذا يقوم الباحث بإقران هذه النواتج الوصفية
للتجربة العشوائية بقيم عددية حقيقة تسمى
باملتغير العشوائي والذي تتغير قيمته بتغير نتيجة
التجربة العشوائية .
فعلى سبيل المثال عند إلقاء قطعة نقود منتظمة مرتين متتاليتين فإن
فضاء العينة يكون كالتالي:
) S = { ( H , H ) ,( H , T ) , ( T , H ) , ( T , T
}
فمثال إذا اقتصرت مالحظتنا على عدد الصور التي ظهرت في كل
عنصر من عناصر فضاء العينة Sوالتي هي كالتالي0, 1 , 1 , 2 :
على الترتيب تكون قد أقرنا كل عنصر من عناصر فضاء العينة بعدد
حقيقي كما هو موضح في الجدول التالي :
عناصر فضاء
عدد الصور في كل
العينة S
عنصر
) ( H, H
2
وسوف نرمز للمتغيرالعشوائي
بالرمز Xوعليه فإن
)(H,T
1
مدى Xهو { 0 , 1 , 2 } :
)(T,H
1
)(T,T
0
المتغير العشوائي
Random Variable
تعريف :المتغير العشوائي
هو دالة مجالها فضاء العينة لتجربة عشوائية Sومجالها المقابل هو R
ومداها مجموعة جزئية من ، R
X:S
R
حيث
( Xهـــو المتغير العشوائي لتجربة عشوائية S ،فضاء العينة ،
Rمجموعة األعداد الحقيقية )
في المثال السابق نالحظ ما يلي :
) (1مجال المتغير العشوائي Xهــــو:
} ) S = { ( H , H ) ,( H , T ) , ( T , H ) , ( T , T
) (2المجال المقابل للمتغير العشوائي هــو . R
) (3المدى للمتغير العشوائي Xهو { 0 , 1 , 2 }:ويرمز له بالرمز X ( S
)
يوجد عدة أنواع من المتغيرات العشوائية ،سوف تدرس نوعين فقط منها وهما
:
) (1المتغيرات العشوائية المتقطعة ( المنفصلة ) .
) (2المتغيرات العشوائية المتصلة ( المستمرة ) .
وسوف نستخدم …, Y, Xكرمز للمتغيرات العشوائية و … y , xلقيم هذه
المتغيرات .
المتغيرات العشوائية المتقطعة(المنفصلة)
Discrete Random Variables
كما ذكرنا سابقا أن المتغيرات العشوائية تنقسم الى عدة أنواع منها
متغيرات عشوائية متقطعة ( منفصلة ) ومتغيرات عشوائية متصلة
( مستمرة ) وسنتناول كل منهما بالتفصيل :
تعريف :المتغير العشوائي المتقطع
يكون المتغير العشوائي Xمتغيرا عشوائيا متقطعا إذا كانت مجموعة
القيم الممكنة له ( المــدى )
) X( Sهي مجموعة متقطعة أي قابلة للعد ،من األعداد الحقيقية سواء
أكانت منتهية أم غير منتهية .
مثال ( )1
في تجربة إلقاء قطعة نقود مرتين متتاليتين ،أوجدي مجموعة القيم للمتغيرات
العشوائية التالية ،ثم حدد فيما إذا كانت متغيرات عشوائية متقطعة أم ال .
(aالمتغير العشوائي Xالذي يمثل عدد الصور .
(bالمتغير العشوائي Yالذي يمثل مربع عدد الصور .
(cالمتغير العشوائي Zالذي يمثل عدد الصور مطروحا منه عدد الكتابات .
الحــل
} ) (a) S = { ( H , H ) , ( H , T ) , ( T , H ) , ( T , T
∴ مدى المتغير العشوائي :
}X(S)={0,1,2
نوع المتغير العشوائي : X
متقطع
عناصر مدى المتغير
العشوائي X
2
1
1
0
عناصر فضاء
العينة S.
)(H,H
)(H,T
)(T,H
)(T,T
∴ مدى المتغير العشوائي :
}y ( S ) = { 0 , 1 , 4
(bالمتغير العشوائي Yالذي
يمثل مربع عدد الصور .
نوع المتغير العشوائي : Y
متقطع
∴ مدى المتغير العشوائي :
العشوائي) Z ( SZ
المتغير = { -2 ,
0 , 2 } (c
الذي
يمثل عدد الصور مطروحا
العشوائي : Z
نوع
المتغيرالكتابات .
منه عدد
متقطع
عناصر مدى
المتغير العشوائي Y
عناصر فضاء
العينة S
(2)2 =4
(1)2 =1
(1)2 =1
)(H,H
)(H,T
)(T,H
)(T,T
عناصر مدى المتغير
العشوائي Z
عناصر فضاء العينة S
2–0=2
1–1=0
1–1=0
0 –2 = -2
)(H,H
)(H,T
)(T,H
)(T,T
(0)2 =0
b
c
حاول أن تحل ()1
في تجربة إلقاء قطعة نقود مرتين متتاليتين ،أوجدي مجموعة القيم للمتغيرات
العشوائية التالية ،و حدد فيما إذا كانت متغيرات عشوائية متقطعة أم ال .
(aالمتغير العشوائي Xالذي يمثل عدد االكتابات .
(bالمتغير العشوائي Yالذي يمثل مكعب عدد الكتابات .
(cالمتغير العشوائي Zالذي يمثل عدد الكتابات مطروحا ً منه .2
الحــــــــل
)S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T
∴مدى المتغير العشوائي :
}X(S)={0,1,2
نوع المتغير العشوائي : X
متقطع
عدد عناصر المتغير
العشوائي X
0
1
1
2
)a
}
عناصر فضاء العينة S
)(H,H
)(H,T
)(T,H
)(T,T
∴ مدى المتغير العشوائي :
}y ( S ) = { 0 , 1 , 8
نوع المتغير العشوائي : Y
متقطع
∴مدى المتغير العشوائي :
Z ( S ) = { -2 , -1 , 0
}
نوع المتغير العشوائي : Z
متقطع
عناصر مدى المتغير عناصر فضاء العينة
S.
العشوائي Y
)(H,H
(0) 3 = 0
)(H,T
(1)3 =1
)(T,H
( 1) 3 = 1
)(T,T
(2)3 =8
عناصر مدى المتغير
العشوائي Z
0–2=-2
1 – 2 = -1
1 – 2 = -1
2 -2=0
عناصر فضاء العينة
S.
)(H,H
)(H,T
)(T,H
)(T,T
b
c
Probability
التوزيع االحتمالي
Distributionدالة مداها مجموعة جزئية من Rقابلة
تعلمنا سابقا أن المتغير العشوائي المتقطع هو
للعد .ونبحث االن في احتمال وقوع كل عنصر من عناصر فضاء العينة المناظر لكل
عنصر من عناصر المدى .
تعريف :دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي X
إذا كان Xمتغيرا عشوائ ًيا متقطعا ً مداه } …{ x1 , x2 , x3 ,
فإن دالة التوزيع االحتمالي ƒتعرف كالتالي :
…ƒ (xi ) = P (X = xi ) , i = 1 ,2 , 3 ,
…..
ويمكن تمثيلها بالجدول
التالي :
…..
X2
)p (x2
x1
)p (x1
xi
) ƒ (xi
أي أن مجموعة النقاط في المستوى اإلحداثي التي تمثل األزواج المرتبة ) ) (xi , p (xi
تسمى دالة التوزيع االحتمالي .
مثال ) ( 2
في تجربة رمي حجر نرد مرة واحدة ،المتغير العشوائي Xيعبر عن :
الجذر التربيعي للعدد الظاهر على الوجه العلوي عندما يكون الجذر التربيعي عدداً كليا ً
والصفر لغير ذلك
(aفضاء العينة ) ( Sوعدد عناصره ) . n ( S
(bمدى المتغير العشوائي . X
(cاحتمال وقوع كل عنصر من عناصر فضاء العينة ) ƒ (xi ) = P (X = xi ) : ( S
(dدالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي .X
الحل
(aفضاءالعينــة
:
S={1,2,3,4,5,6
} عدد عناصر فضاء العينة
:
n(S)=6
مدى المتغيرالعشوائي :
}X = { 0 , 1 , 2
عناصر مدى المتغير
العشوائي X
عناصر فضاء العينة
S.
1
0
0
2
0
1
2
3
4
5
6
0
b
) ∵ ƒ (xi) = P ( X = xi
4
2
= ∴ ƒ (0 ) = P (X = 0 ) = 6
3
1
= ) ƒ (1 ) = P (X = 1
6
الحظ في مثال ) (2أن :
1
= ) ƒ (2 ) = P (X = 2
6
P (X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P (X= 2) = 2 + 1 + 1 = 1
3
6
6
(dدالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي Xهي :
2
1
0
X
1
6
1
6
2
3
)ƒ(x
حاول ان
تحل ( 2
)
عند رمي حجر نرد مرة واحدة ،اذا كان المتغير العشوائي Xيعبر عن :
مربع العدد الظاهرمطروحا ً منه 1عندما يكون العدد الظاهر أصغر من ، 4و -1لغير ذلك
(aفضاء العينة Sوعدد عناصره ) . n ( S
(bمدى المتغير العشوائي . X
(cاحتمال وقوع كل عنصر من عناصر فضاء العينة . S
(dدالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي .X
الحل
(aفضاءالعينــة :
S ={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
} عدد عناصر فضاء العينة
:
n(S)=6
مدى لمتغيرالعشوائي :
}X = { 0 , -1 , 3 , 8
b
عناصر مدى المتغير
العشوائي X
(1)2 – 1 = 0
(2)2 – 1 = 3
(3)2 – 1 = 8
-1
-1
-1
عناصر فضاء العينة
S.
1
2
3
4
5
6
1
2
=
3
= ) ƒ (-1 ) = P (X = -1
6
1
= ) ƒ (0 ) = P (X = 0
6
1
= ) ƒ (8 ) = P (X = 8
6
1
= ) ƒ (3 ) = P (X = 3
6
(dدالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي Xهي
8
1
6
3
1
6
:
0
-1
X
1
6
1
2
)ƒ(x
مثال ( )3
عند إلقاء قطعة نقود ثالث مرات متتالية ،إذا كان المتغير العشوائي X
يع ّبر عن «عدد الكتابات» فأجــدي ما يلي :
(aفضاء العينة ) ( Sوعدد عناصره ) . n ( S
(bمدى المتغير العشوائي . X
(cاحتمال وقوع كل عنصر من عناصر مدى المتغير العشوائي . X
(dدالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي .X
الحـل
(aفضاء العينة :
S= { ( H,H,H ) , ( H,H,T ) , ( H,T,H ) , ( T,H,H ) , ( H,T,T ) ,
} )( T,H,T ) ,( T,T,H ) , ( T,T,T
n(S)=8
عدد الكتابات في كل عنصر
0
1
1
1
2
2
2
3
عناصر فضاء العينة S
) ( H,H,H
) ( H,H,T
) ( H,T,H
) ( T,H,H
) ( H,T,T
) ( T,H,T
) ( T,T,H
) ( T,T,T
∴ مدى المتغير العشوائي X = { 0 , 1 , 2 , 3 } :
1
8
3
8
3
8
1
8
= ) C ) P( X = 0
= ) P( X = 1
= ) P( X = 2
= ) P( X = 3
) dدالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي : X
3
2
1
0
X
1
8
3
8
3
8
1
8
)ƒ(x
حاول أن تحل ):(3
عند إلقاء قطعة نقود ثالث مرات متتالية ،إذا كان المتغير العشوائي Xيعبر
عن «عدد الصور» فأوجــد ما يلي :
(aفضاء العينة ) ( Sوعدد عناصره ) . n ( S
(bمدى المتغير العشوائي . X
(cاحتمال كل عنصر من عناصر مدى المتغير العشوائي . X
(dدالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي .X
الحـل
(aفضاء العينة :
S= { ( H,H,H ) , ( H,H,T ) , ( H,T,H ) , ( T,H,H ) , ( H,T,T ) ,
} )( T,H,T ) ,( T,T,H ) , ( T,T,T
n(S)=8
عدد الصورفي كل عنصر
3
2
2
2
1
1
1
0
عناصر فضاء العينة S
) ( H,H,H
) ( H,H,T
) ( H,T,H
) ( T,H,H
) ( T,H,T
) ( T,T,H
) ( H,T,T
) ( T,T,T,
∴ مدى المتغير العشوائي X = { 0 , 1 , 2 , 3 } :
1
8
3
8
3
8
1
8
) dدالة التوزيع
االحتمالي للمتغير
العشوائي : X
= ) C ) P( X = 0
= ) P( X = 1
= ) P( X = 2
= ) P( X = 3
3
2
1
0
X
1
8
3
8
3
8
1
8
)ƒ(x
الحظ في مثال ) (3أن P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) = :
1
بيان دالة التوزيع االحتمالي :
دالة التوزيع االحتمالي هي مجموعة نقاط المستوى التي تمثل األزواج
المرتبة ) ) ( Xi , ƒ ( x iوبالتالي فإن بيان دالة التوزيع االحتمالي عبارة
عن نقاط يمكن تمثيلها في المستوى اإلحداثي ،والشكل التالي يبين تمثيل
الدالة في مثال( (3
دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي : X
3
2
1
0
1
8
3
8
3
8
1
8
)f(x
1
2
X
) ƒ (x
3
8
1
4
1
8
x
4
3
2
1
مالحظة هامة :
دالة التوزيع االحتمالي fللمتغير العشوائي المتقطع Xتحقق الشرطين :
1) 0 ≤ f ( x ) ≤ 1
مجموع قيم دالة التوزيع االحتمالي fتساوي الواحد الصحيح
2 ) f ( x 1) + f ( x2 ) + f (x3 ) + … =1
مثال ) (4إذا كانت دالة التوزيع اإلحتمالي ƒللمتغير العشوائي Xهي :
فأوجد قيمة K
X
-2
1
2
3
0.2
K
0.1
ƒ(x) 0.3
الحل
∵ مجموع قيم دالة التوزيع اإلحتمالي ƒتساوي الواحد الصحيح
∴ ƒ ( -2 ) + ƒ ( 1 ) + ƒ ( 2 ) + ƒ ( 3 ) = 1
0.3+0.1+ K +0.2 = 1
K = 1 - 0.6
K = 0.4
الشكل التالي يم ّثل دالة التوزيع االحتمالي في مثال )(4
3
0.2
2
0.4
X
-2
1
ƒ (x) 0 . 3 0 . 1
)f(x
0.4
0.3
0.2
0.1
x
3
2
1
-1
الحظ أن قيم المتغير العشوائي Xيمكن أن تكون سالبة
-2
حاول أن
تحل )(4
إذا كانت دالة التوزيع اإلحتمالي ƒللمتغير العشوائي Xهي :
K
قيمة
فأوجد
X
0
1
2
3
4
K
0.2
0.1
0.15
0.35
)ƒ(x
الحل
∵ مجموع قيم دالة التوزيع اإلحتمالي ƒتساوي الواحد الصحيح
∴ ƒ ( 0 ) + ƒ ( 1 ) + ƒ ( 2 ) + ƒ ( 3 ) + ƒ (4) = 1
0 . 35 + 0 .15 + 0.1 + 0.2 + K = 1
K = 1 - 0.8
K = 0.2
مثال )(5
الحل
إذا كان Xمتغيراً عشوائ ًّيا متقط ًعا مداه هو { -2 , -1 , 0 , 1 :
}
وكان ƒ(-2) = ƒ(-1) = 0.3 , ƒ (1) = 0.2
أوجد ) ، ƒ (0ثم اكتب دالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير
العشوائي . X
∵ ƒ ( -2 ) + ƒ ( -1 ) + ƒ ( 0 ) + ƒ ( 1 ) = 1
∴ 0 . 3 + 0 . 3 + ƒ (0) + 0.2 = 1
ƒ (0) = 1 – 0 . 8
ƒ (0) = 0 . 2
∴ دالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي . X
1
0.2
0
0.2
-1
0.3
-2
0.3
X
)ƒ(x
حاول ان
تحل )(5
الحل
إذا كان Xمتغيراً عشوائ ًّيا متقط ًعا مداه هو { 0 , 1 , 2 , 3 } :
وكان ƒ(0) = 0.1 , ƒ(1) = 0.6 , ƒ (2) = 0.15
أوجد ) ، ƒ (3ثم اكتب دالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير
العشوائي . X
∵ƒ(0)+ƒ(1)+ƒ(2)+ƒ(3)= 1
∴ 0 . 1 + 0 . 6 + 0.15 + ƒ (3) = 1
ƒ (3) = 1 – 0 . 85
ƒ (3) = 0 . 15
∴ دالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي . X
2
3
0.15 0 . 15
1
0.6
0
0.1
X
)ƒ(x
مثال )(6
الحل
صندوق يحتوي على 10كرات متماثلة منها 7كرات بيضاء و 3كرات حمراء .سحبت أربع
كرات عشوائ ًيا م ًعا من الصندوق .إذا كان المتغير العشوائي Xيم ّثل عدد الكرات الحمراء .
فأوجد ما يلي:
) (aعدد عناصر فضاء العينة ). n(S
) (bمدى المتغير العشوائي . X
) (cاحتمال كل عنصر من عناصر مدى المتغير العشوائي . X
) (dدالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي . X
) (aعدد عناصر فضاء العينة ): (S
C 4 = 210
10
= )n(S
) (bعدد الكرات الحمراء التي يمكن سحبها كالتالي :
لدينا 4حاالت :
أن تكون كل الكرات المسحوبة بيضاء .
∴ عدد الكرات الحمراء المسحوبة = صفر
X=0
أن تكون الكرات المسحوبة منها 3كرات بيضاء وواحدة حمراء
X=1
أن تكون الكرات المسحوبة منها 2كرة بيضاء و 2كرة حمراء
X=2
أن تكون الكرات المسحوبة منها 1كرة بيضاء و 3كرات حمراء
X=3
∴ مدى المتغير العشوائي Xهو :
}{0,1,2,3
C × 3C0
35
= ) P (X = 0
=
210
10C4
7 4
)( c
C × 3C1
105
= ) P (X = 1
=
10C4
7 3
210
C × 3C2
63
= ) P (X = 2
=
210
10C4
7 2
C × 3C3
7
= ) P (X = 3
=
210
10C4
7 1
) (dدالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي . X
المجموع
3
2
1
0
X
1
7
210
63
210
105
210
35
210
)ƒ(x
حاول ان
تحل )(6
الحل
صندوق يحتوي على 10كرات متماثلة منها 7كرات بيضاء و 3كرات حمراء .سحبت
عشوائ ًيا 3كرات م ًعا من الصندوق .إذا كان المتغير العشوائي Xيم ّثل عدد الكرات البيضاء .
فأوجد ما يلي:
) (aعدد عناصر فضاء العينة ). n(S
) (bمدى المتغير العشوائي . X
) (cاحتمال كل عنصر من عناصر مدى المتغير العشوائي . X
) (dدالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي . X
) (aعدد عناصر فضاء العينة )C 3 = 120 : (S
10
= )n(S
) (bعدد الكرات البيضاء التي يمكن سحبها كالتالي :
لدينا 3حاالت :
أن تكون كل الكرات المسحوبة حمراء .
∴ عدد الكرات البيضاء المسحوبة = صفر
X=0
أن تكون الكرات المسحوبة منها 2كرة حمراء وواحدة بيضاء
X=1
أن تكون الكرات المسحوبة منها 1كرة حمراء و 2كرة بيضاء
X=2
أن تكون الكرات المسحوبة منها 0كرة حمراء و 3كرات بيضاء
X=3
C × 7C0
1
= ) P (X = 0
=
120
10C3
3 3
)( c
C × 7C1
21
= ) P (X = 1
=
120
10C3
3 2
C × 7C2
63
= ) P (X = 2
=
120
10C3
3 1
C × 7C3
35
= ) P (X = 3
=
120
10C3
3 0
) (dدالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي . X
المجموع
3
2
1
0
X
1
35
120
63
120
21
120
1
120
)ƒ(x
(الوسط) للمتغير العشوائي المتقطع Xهو أحد مقاييس النزعة المركزية ويرمز
له بالرمز .
وهو القيمة التي تتجمع حولها القيم الممكنة للمتغير العشوائي المتقطع ،
و
( ) هو القيمة التي تقيس تشتت قيم المتغير العشوائي المتقطع عن
قيمته المتوسطة ،وبالتالي فإن التوقع والتباين يلخصان أهم صفات المتغيرات
العشوائية وسوف ندرس كالًّ من التوقع والتباين لكل من المتغيرات العشوائية
المتقطعة .
إذا كان Xمتغيراً عشوائيا ً متقطعا ً له دالة التوزيع االحتمالي ، ƒ
مدى X(S)= { x1 , x2 , x3 , .…} : X
فإن التوقع ) ( µللمتغير العشوائي Xيعطى بالصيغة التالية :
)µ = ∑ xi ƒ (xi
أي أن :
…µ = x1 ƒ (x1) + x2 ƒ (x2) + x3 ƒ (x3) +
مثال )(7
اذا كانت دالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي المتقطع Xهي :
5
فأوجد التوقع µ
للمتغير العشوائي X
1
35
4
3
35
3
6
35
2
2
7
1
3
7
الحل
= ∑ xi ƒ (xi)µ
3
2
6
3
1
×+5
×+2
×+3
×+4
7
7
35
35
5
×=1
=2
X
)ƒ(x
حاول ان
تحل )(7
اذا كانت دالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي المتقطع Xهي :
فأوجد التوقع µ
للمتغير العشوائي X
2
1
0
X
1
9
4
9
4
9
)ƒ(x
الحل
= ∑ xi ƒ (xi)µ
4
1
×+2
9
9
4
×+1
9
2
3
×=0
=
إذا كان Xمتغيراً عشوائيا ً متقطعا ً له دالة التوزيع االحتمالي ، ƒفإن التباين
للمتغير العشوائي يعطى بالصيغة :
التباين :
σ2 = ∑ (xi2 ƒ (xi) ) – μ2
االنحراف المعياريσ = σ2 :
حيت μهو التوقع
( الجذر التربيعي الموجب للتباين)
مثال )(8
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي المتقطع X
فأوجد :
) (aالتوقع ) ) µ
) (bالتباين ) ( σ2
) (cاالنحراف المعياري ) ( σ
5
4
3
2
1
X
ƒ ( x ) 0.43 0.29 0.17 0.09 0.02
)= ∑ xi ƒ (xi)µ(a
الحل
= 1 × 0.43 + 2 × 0.29 + 3 × 0.17 + 4 × 0.09 + 5 × 0.02
= 1.98
(b) σ2 = ∑ (xi2 ƒ (xi) ) – μ2
= 1 × 0.43 + 4 × 0.29 + 9 × 0.17 + 16 × 0.09 + 25 × 0.02 – ( 1.98)2
= 5.06 - 3.92 = 1.1396
1.1396
= (c ) σ = σ2
≈ 1.0675
حلول ان
تحل )(8
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع X
فأوجد :
) (aالتوقع ) ) µ
) (bالتباين ) ( σ2
) (cاالنحراف المعياري ) ( σ
5
0.3
4
0.1
3
0.3
الحل
2
0.1
1
0.2
X
)ƒ(x
)= ∑ xi ƒ (xi)µ(a
= 1 × 0.2 + 2 × 0.1 + 3 × 0.3 + 4 × 0.1 + 5 × 0.3
= 3.2
(b) σ2 = ∑ (xi2 ƒ (xi) ) – μ2
= 1 × 0.2 + 4 × 0.1 + 9 × 0.3 + 16 × 0.1 + 25 × 0.3 – ( 3.2 )2
= 12.4 - 10.24 = 2.16
2.16
= (c ) σ = σ2
≈ 1.4697
درسنا بالتفصيل دالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي المتقطع . Xوبينا أن دالة التوزيع االحتمالي
ƒتحقق الشرطين :
(1) 0 ≤ ƒ (x) ≤ 1
(2) ∑ ƒ(xi) = 1
ونتعرض األن لدالة أخرى للمتغير العشوائي المتقطع Xوهي دالة التوزيع التراكمي .
دالة التوزيع التراكمي Fللمتغير العشوائي المتقطع عند القيمة aهي احتمال
وقوع المتغير العشوائي Xبحيث يكون Xأصغر من أو يساوي a
أي أن :
) F(a) = P ( X ≤ a
مثال )(9
الحل
الجدول التالي يبين دالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي المتقطع X
إذا كانت Fدالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي . X
فأوجد F(2) , F(3) , F(4) , F(4.5) , F(5) , F(7) :
F(2) = P ( X ≤ 2) = 0
) F(3) = P ( X ≤ 3) = P (X < 3 ) + P ( X = 3
= 0 + 0. 5
= 0. 5
)F(4) = P ( X ≤ 4
) = P (X < 4 ) + P ( X = 4
)=P(3)+P(4
= 0. 5 + 0. 3
= 0. 8
4
5
0.3 0.2
X
3
ƒ(x) 0.5
X
3
4
5
F(4.5) = P ( X ≤ 4.5)
ƒ(x) 0.5 0.3 0.2
= P (X < 4.5 ) + P ( X = 4.5 )
= P ( X = 3 ) + P (X = 4 ) + P ( X = 4.5 )
= 0.5 + 0. 3 + 0
= 0. 8
F(5) = P ( X ≤ 5)
= P (X < 5 ) + P ( X = 5 )
= P ( X = 3 ) + P (X = 4 ) + P ( X = 5 )
= 0. 5 + 0. 3 + 0.2
=1
F(7) = P ( X ≤ 7)
= P (X < 7 ) + P ( X = 7 )
= P ( X = 3 ) + P (X = 4 ) + P ( X = 5 ) + P ( X = 7 )
= 0. 5 + 0. 3 + 0.2 + 0
=1
حاول أن
تحل )(9
الحل
الجدول التالي يبين دالة التوزيع االحتمالي ƒللمتغير العشوائي المتقطع X
إذا كانت Fدالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي . X
فأوجد F(0) , F(1) , F(3.5) , F(4) , F(5) , F(8) :
5
4
3
2
1
X
ƒ (x) 0.43 0.29 0.17 0.09 0.02
F(0) = P ( X ≤ 0) = 0
) F(1) = P ( X ≤ 1) = P (X < 1 ) + P ( X = 1
= 0 + 0. 43 = 0.34
)F(3.5) = P ( X ≤ 3.5
) = P (X < 3.5 ) + P ( X = 3.5
) = P ( 1 ) + P ( 2 ) + P ( 3 ) + P (3.5
= 0. 43 + 0. 29 + 0.17 + 0 = 0.89
F(4) = P ( X ≤ 4)
= P (X < 4 ) + P ( X = 4 )
X
1
2
3
4
5
ƒ (x) 0.43 0.29 0.17 0.09 0.02
= P ( X = 1 ) + P (X = 2 ) + P ( X = 3) + P ( X = 4 )
= 0.43 + 0. 29 + 0.17 + 0.09
= 0.98
F(5) = P ( X ≤ 5)
= P (X < 5 ) + P ( X = 5 )
= P ( X = 1 ) + P (X = 2 ) + P ( X = 3 ) + P ( X = 4 ) + P ( X = 5 )
= 0.43 + 0. 29 + 0.17 + 0.09 + 0.02
=1
F(8) = P ( X ≤ 8)
= P (X < 8 ) + P ( X = 8 )
= P(X =1)+ P(X =2) + P(X =3) + P(X =4) + P(X = 5)+ P (X=8)
= 0.43 + 0. 29 + 0.17 + 0.09 + 0.02 + 0
=1
دالة التوزيع التراكمي هي دالة مجالها ومجالها المقابل = المدى = ] [ 0 , 1
وبالتالي فإن بيانها عبارة عن شعاعين وقطع مستقيمة .
إذا مثال ) (9السابق نضع جدول التوزيع التراكمي :
X 33 44 5
)F(x
0.5 0.3
0.8 0.2
1
ƒ(x) 0.5
∴ دالة التوزيع التراكمي :
)F(X
1
0.8
وبيانها :
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5 6 X
: x<3
:3≤x<4
:4≤x<5
: x≤ 5
0
0.5
0.8
1
=)F (X
بعض خواص دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي : X
) (1) P ( X > a ) = 1 – P ( X ≤ a ) = 1 - F ( a
)(2) P ( a < X ≤ b ) = F ( b) – F (a
) (3) P ( a < X ≤ b ) = P ( a ≤ X < b
)=P(a<X<b
)=P(a≤X≤b
مثال
)(10
الجدول التالي يبين بعض قيم دالة التوزيع التراكمي Fللمتغير
العشوائي المتقطع . X
اوجد :
)(a) P ( 1 < X ≤ 3
) (b) P ( 2 ≤ X < 5
) (c) P ( X > 2
الحل
5
1
3
0.6
X
1
2
F(x) 0.15 0.2
)P (1 < X ≤ 3 ) = F(3) – F(1
= 0.6 – 0.15 = 0.45
)(a
)(b) P (2 ≤ X < 5 ) = F(5) – F(2
= 1 – 0.2 = 0.8
) (c) P ( X > 2 ) = 1 – P ( X ≤ 2
)=1-F(2
= 1 – 0.2 = 0.8
حاول أن
تحل
)(10
يبين الجدول التالي بعض قيم دالة التوزيع التراكمي Fللمتغير
العشوائي المتقطع . X
اوجد :
)(a) P ( 2 < X < 4
) (b) P ( X > 3
الحل
4
1
X
1
2
3
F(x) 0.25 0.40 0.65
)P (2 < X < 4 ) = F(4) – F(2
= 1 – 0.40 = 0.6
)(a
)P(X>3)=1–P(X≤3
)=1-F(3
= 1 – 0.65 = 0.35
)(c
توزيع ذات الحدين
Binomial Distribution
نعلم من خالل دراستنا أن بعض التجارب العشوائية يكون لها ناتجان أو عدة
نواتج يمكن اختزالها إلي ناتجين فقط أي أن فضاء العينة يصبح محتويا علي
عنصرين فمثالً :
عند إلقاء قطعة نقود مرة واحدة يكون الناتج إما صورة أو كتابة
عند تأدية الطالب اختباراً في مادة ما تكون النتيجة إما نجاح أو
رسوب 0
عند دخول شخص اختبار الحصول علي رخصة القيادة تكون
النتيجة نجاح أورسوب0
وهكذا فإننا قيد دراسة التجارب التي يكون لها ناتجان فقط وهي ما
يسمي
والتي تتبع دالة التوزيع االحتمالي المتقطع .
:
تجربة ذات الحدين هي تجربة عشوائية تحقق الشروط التالية:
) (1تتكون التجربة من عدد nمن المحاوالت المستقلة والمتماثلة
(المحاوالت المستقلة تعني أن نتيجة كل محاولة ال تؤثروال تتأثر
بنتائج المحاوالت األخرى)
) (2كل محاولة يكون لها ناتجان فقط (نجاح أو فشل)
) (3احتمال الحصول علي أحد الناتجين يكون ثابتا ّ من تجربة إلى
أخرى
وسوف نرمز لهذا االحتمال بالرمز P
وتسمي كل محاولة من محاوالت التجربة
Bernoulli
بمحاولة برنولي
فمثالً إذا أجريت تجربة برنولي عدد nمن المرات وكان احتمال النجاح في
المحاولة الواحدة Pوكان Xالمتغير العشوائي الذي يمثل عدد مرات النجاح في كل
المحاوالت فإن احتمال النجاح في xمن المحاوالت يعطي بالعالقة التالية :
P ( X = x ) = ƒ (x) = nCx . Px . ( 1 – P ) n-x , n∈Ζ+
حيث nعدد المحاوالت
الممكنة
مجموعة القيم
X
{0,1,2,
مرات ...
عدد= }, n
العشوائي X
مجموعة القيم الممكنة للمتغير
للمتغير العشوائي
النجاح في nمن
مرات النجاح في nمن المحاوالت
Px عدد
احتمال
المحاوالت X={0 ,1 ,2 , … ,
}n
احتمال النجاح حيث nعدد
P النجاح
) P – 1 ( احتمال الفشل
المحاوالت
))1-P
الفشلالمتغير العشوائ Xبتوزيع ذي الحدين للمعلمتين .P , n
احتمالتوزيع
يسمى
مثال )(11
إذا كان Xمتغيراَ عشوائيا َ ذو حدين ومعلمتيه هما ، n = 7 , P = 0.1 :
فأوجد :
) (a) P( X = 0
)(b) P ( 1 > X ≤ 3
الحل
∵ P ( X = x ) = ƒ (x) = nCx . Px . ( 1 – P ) n-x , n∈Ζ+
∵ n = 7 , P = 0.1
∴ P ( X = 0 ) = ƒ (0) = 7C0 . (0.1)0 . ( 0.9 ) 7
∴ P ( X = 0 ) ≈ 0.4783
حل آخر :
)P ( X = 0 ) = ƒ (0
∵ n = 7 , P = 0.1 , X = 0
نبحث في جدول االحتماالت في توزيع ذات الحدين صفحة ) (172عن قيمة
ƒ (0) =0.4783
) ( ƒ (0النها دالة توزيع احتمالي متقطع) فنجد أن :
(b) P ( 1 > X ≤ 3 ) = P ( X = 2 ) + P (X = 3 )
= ƒ (2) + ƒ (3)
ƒ (2) = 7C2 ⤫ (0.1)2 ⤫ (0.9) 5
⇒ ƒ (2) ≈ 0.1240
ƒ (3) = 7C3 ⤫ (0.1)3 ⤫ (0.9) 4
⇒ ƒ (2) ≈ 0.0230
P (1 > X ≤ 3) ≈ 0.1240 + 0.0230 ⇒ P (1 > X ≤ 3)≈0.1470
P ( 1 > X ≤ 3 ) = P ( X = 2 ) + P (X = 3 )
= ƒ (2) + ƒ (3)
∵ n = 7 , P = 0.1
: حل آخر
نبحث في الجدول نفسه
𝟀=2
ƒ (2) = 0.1240
: عندما
𝟀=3
ƒ (3) = 0.0230
: عندما
∴ P (X ≤ 3 ) = ƒ (2) + ƒ (3 )
= 0.1240 + 0.0230 = 0.1470
حاول ان تحل )(11
إذا كان Xمتغيراَ عشوائيا َ ذو حدين ومعلمتيه هما ، n = 6 , P = 0.6 :
فأوجد :
) (a) P( X = 1
)(b) P ( 2 > X ≤ 4
الحل
∵ P ( X = x ) = ƒ (x) = nCx . Px . ( 1 – P ) n-x , n∈Ζ+
∵ n = 6 , P = 0.6
∴ P ( X = 1 ) = ƒ (1) = 6C1 . (0.6)1 . ( 0.4 ) 5
∴ P ( X = 1 ) = 0.004
حل آخر :
)P ( X = 1 ) = ƒ (1
∵ n = 6 , P = 0.6 , X = 1
نبحث في جدول االحتماالت في توزيع ذات الحدين صفحة ) (172عن قيمة
ƒ (1) =0.004
) ( ƒ (1النها دالة توزيع احتمالي متقطع) فنجد أن :
(b) P ( 2 > X ≤ 4 ) = P ( X = 3 ) + P (X = 4 )
= ƒ (3) + ƒ (4)
ƒ (3) = 6C3 ⤫ (0.6)3 ⤫ (0.4) 3
⇒ ƒ (3) ≈ 0. 276
ƒ (4) = 6C4 ⤫ (0.6)4 ⤫ (0.4) 2
⇒ ƒ (4) ≈ 0.311
P (2 > X ≤ 4) ≈ 0.276 + 0.311 ⇒ P (2 > X ≤ 4)≈0.587
P ( 2 > X ≤ 4 ) = P ( X = 3 ) + P (X = 4 )
= ƒ (3) + ƒ (4)
∵ n = 6 , P = 0.6
𝟀=3
ƒ (3) = 0. 276
: عندما
𝟀=4
ƒ (4) = 0. 311
: عندما
∴ P (X ≤ 4 ) = ƒ (3) + ƒ (4 )
= 0.276 + 0.311 = 0.587
: حل آخر
نبحث في الجدول نفسه
درسنا كيفية إيجاد التوقع والتباين للمتغير العشوائي المتقطع
نتعرض إليجاد التوقع والتباين لتوزيع ذات الحدين .
واألن ّ
التوقع :
μ=nP
التباين :
) σ2 = n P ( 1- P
االنحراف المعياري :
) n P ( 1- P
= σ
مثال )(12
ينتج مصنع سيارات 200سيارة يوميا ً ,إذا كانت نسبة إنتاج السيارات
المعيبة 0.01فأوجد التوقع والتباين واالنحراف المعياري لعدد السيارات
المعيبة في يوم واحد .
الحل
عدد السيارات المصنعة في اليوم الواحد
n=200
نسبة إنتاج السيارات المعيبة في اليوم الواحد
μ = n P = 200 (0.01) = 2
التوقع :
التباين :
P = 0.01
σ2 = n P ( 1- P ) = 200 ( 0.01) (0.99) = 1.98
االنحراف المعياري:
1.98
= σ
≈ 1.4071
حاول ان تحل )(12
ينتج مصنع سيارات 350سيارة يوميا ً ,إذا كانت نسبة إنتاج السيارات
المعيبة 0.02فأوجد التوقع والتباين واالنحراف المعياري لعدد السيارات
المعيبة في يوم واحد .
الحل
عدد السيارات المصنعة في اليوم الواحد
n=350
نسبة إنتاج السيارات المعيبة في اليوم الواحد
μ = n P = 350 (0.02) = 7
التوقع :
التباين :
P = 0.02
σ2 = n P ( 1- P ) = 350 ( 0.02) (0.98) = 6.86
االنحراف المعياري:
6.86
= σ
≈ 2.6192
مثال )(13
في تجربة القاء قطعة نقود 5مرات .أوجد التوقع والتباين واالنحراف المعياري إذا
كان المتغير العشوائي Xهو ظهور صورة .
الحل
ظهور الصورة X :
,
1 , 1–P = 1
2
2
Pهو احتمال ظهور صورة
التوقع :
التباين:
= 2.5
=1.25
االنحراف المعياري:
5
4
= 1
2
n=5
1 = 5
2
2
⤫
=P
μ= nP =5
⤫ σ2 = n P ( 1- P ) = 5 ⤫ 1
2
1.25
= ) n P ( 1- P
= σ
≈ 1.1180
حاول ان تحل )(13
في تجربة القاء قطعة نقود 8مرات .أوجد التوقع والتباين واالنحراف المعياري إذا
كان المتغير العشوائي Xهو ظهور كتابة .
الحل
ظهور الصورة X :
,
, 1–P = 1
2
Pهو احتمال ظهور كتابة
التوقع :
التباين:
=4
= 2
االنحراف المعياري:
n=8
= 8
4
1 = 8
2
2
⤫ 1
2
2
⤫
P= 1
2
μ= nP =8
σ2 = n P ( 1- P ) = 8 ⤫ 1
2
= ) n P ( 1- P
= σ
≈ 1.4142