Transcript المتغيرات العشوائية
Slide 1
Slide 2
• بطاقات خاطفة .
• آلة حاسبة .
• Power point
• جهاز عرض علوي .
• جدول االحتماالت في توزيع ذي الحدين .
Slide 3
المتغير العشوائي المتقطع
التوزيع االحتمالي
دالة التوزيع االحتمالي
توقع التوزيع االحتمالي
تباين التوزيع االحتمالي
دالة التوزيع التراكمي
توزيع ذات الحدين
تجربة برنولي
توقع توزيع ذات الحدين
تباين توزيع ذات الحدين
Slide 4
نتوقع في نهاية كل حصة ان يكون الطالب قادرا علي استيعاب األهداف التالية:
يعرف المتغير العشوائي.يعرف المتغير العشوائي المتقطع(المنفصل).يذكر نوع المتغير العشوائي ﺲ.يكتب مدي المتغير العشوائي ﺲيعرف دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائييذكر أن ل(أ) = عدد عناصر أعدد عناصر (ف)
.
يوجد احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي.
يكتب دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائييذكر الشروط الواجب توافرها في دالة التوزيع االحتمالي.يتعرف مفكوك التباديل والتوافيق.
يحسب التوقع(الوسط )( )µللمتغير العشوائي المتقطع.
يحسب التباين ( )2бللمتغير العشوائي المتقطع-يستنتج االنحراف المعياري ( )бللمتغير العشوائي المتقطع ﺲ من خالل التباين.
Slide 5
يعرف دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي متقطعﺲ.يوجد دالة التوزيع التراكمي (ت )من دالة التوزيع االحتمالي (د) للمتغيرالعشوائى المتقطعﺲ
يذكر خواص دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائى المتقطعﺲيرسم بيان دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ﺲيرسم بيان دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي ﺲ .يتعرف على مفهوم توزيع ذي الحدين . يذكر الشروط الواجب توافرها في تجربة ذات الحدين . يذكر دالة التوزيع االحتمالي لمتغير ذات الحدين .يوجد االحتمال المطلوب باستخدام دالة التوزيع االحتمالي لتوزيع ذي الحدينيحسب التوقع( ) µلتوزيع ذي الحدين . يحسب التباين( )2бلتوزيع ذي الحدين . -يحسب االنحراف المعياري( )бلتوزيع ذي الحدين .
Slide 6
الجدول
المقترح
لتوزيع
الحصص
مقترح تدريس
البند في
10حصص
موزعة كالتالي:
الحصة
الموضوع
التدريس
التطبيق
الحصة األولي
المتغير العشوائى المتقطع
مثال1ص14
مثال2ص15
حاول أن تحل 1ص14
حاول أن تحل 2ص16
الحصة الثانية
دالة التوزيع االحتمالي
الحصة الثالثة
دالة التوزيع االحتمالي
مثال3ص17
مثال 4ص18
مثال5ص20
مثال6ص21
مثال7ص21
حاول أن تحل 3ص17
حاول أن تحل 4ص19
حاول أن تحل 5ص20
حاول أن تحل 6ص21
حاول أن تحل 7ص22
الحصة الرابعة
التوقع والتباين للمتغير
مثال 9ص24
مثال11صص26
حاول أن تحل 9ص24
حاول أن تحل11ص26
دالة التوزيع التراكمي
مثال 12ص28
مثال 13ص29
حاول ان تحل 12ص29
حاول أن تحل 13ص30
مثال 14ص31
حاول أن تحل رقم 14
ص31
رسم بيان دالة التوزيع
مثال15ص32
مثال 16ص33
حاول أن تحل 15ص32
حاول أن تحل 16ص35
الحصة الثامنة
توزي ذات الحدين
مثال17ص37
مثال18ص38
حاول أن تحل 17ص38
حاول أن تحل 18ص38
الحصة التاسعة
توزيع ذات الحدين
مثال 19ص39
حاول أن تحل 19ص39
الحصة العاشرة
التوقع والتباين لتوزيع
مثال 21،20ص40
مثال22ص41
حاول أن تحل 20ص40
حاول أن تحل 21ص41
حاول أن تحل 22ص41
العشوائي المتقطع
الحصة الخامسة
لمتغير عشوائي متقطع
الحصة السادسة
رسم بيان دالة التوزيع
االحتمالي
الحصة السابعة
التراكمي
ذات الحدين
Slide 7
Slide 8
أهمية استخدام علم االحتماالت المستند علي إحصاءات سابقة للوصول إلي استنتاجات مفيدة
-1مقدمة المشروع
:في إحدي رحالت الخطوط الجوية التي يتم خاللها استخدام طائرة تتسع لـ 213راكبا تقوم الشركة ببيع
أكثر من 213بطاقة ألنه معروف من رحالت سابقة أن بعض الركاب ممن سبق أن حجزوا بطاقات سفر
قد يتخلفون عن الرحلة .
-2الهدف :تهتم الشركة بأن يكون عدد الركاب في الرحلة مساويا لعدد المقاعد المتوفرة علي الطائرة أي 213مقعدا ،النه
إذا وجدت مقاعد فارغة علي الطائرة خالل الرحلة فإن المردود المادي للرحلة سيتناقص أما إذا كان عدد
الركاب أكبر من عدد المقاعد فإن الشركة ستقوم بدفع تعويض مادي لكل راكب لم يتوفر له مقعد علي متن
الطائرة وهذا أيضا سينقص من المردود المادي للرحلة.
-3اللوازم :الة حاسبة -حاسوب
-4اسئلة حول التطبيق بنا ًء علي إحصاءات سابقة فإن احتمال تخلف راكب واحد عن رحلة جوية هو
0.0975
أ -أثبت ان عدد البطاقات المباعة للرحلة يجب ان يكون 236بطاقة حتى يتأمن وجود 213راكبا ً
عند انطالق الرحلة
ب -إذا باعت الشركة 240بطاقة أي 4بطاقات أكثر مما يلزم لتأمين 213راكبا ً.
أوجد احتمال وجود مقعد بدون راكب علي متن الطائرة.
جـ -إذا كانت الشركة تدفع 200دينار لكل راكب حجز بطاقة ولم يجد مقعدا علي متن الطائرة للرحلة
،فأوجد احتمال أن تدفع الشركة 1000دينار تعويضا ً للركاب الذين لم يجدوا لهم مقاعد علي متن
الطائرة إذا كانت الشركة قد باعت 246بطاقة.
-5التقرير :ضع تقريرا مفصال حول المشروع وأعرض استخدام خصائص األحتمال
والتوقع في تنفيذه .
Slide 9
(أ) أثبت ان عدد البطاقات المباعة للرحلة يجب ان يكون 236بطاقة حتى يتأمن وجود 213
راكبا ً عند انطالق الرحلة
احتمال التخلف( -1ل)=0.0975
احتمال عدم التخلف(ل) = 0.9025
عدد عناصر الحدث
ل(أ) =
حيث س عدد
البطاقات
المباعة
عدد عناصر الفضاء
=0.9025
213
س
س=
213
س = 236بطاقة
0.9205
(ب) إذا باعت الشركة 240بطاقة أي 4بطاقات أكثر مما يلزم لتأمين 213راكبا ً.
أوجد احتمال وجود مقعد بدون راكب علي متن الطائرة.
عدد الركاب = 217 = 0.9025×240راكب
ن= 4
-1ل =0.0975
ل = 0.9025
1
4
ل (س= = )1د( = )1ﻕ ()0.0975( )0.9025
1
3
س= 1
=0.003
Slide 10
(جـ )إذا كانت الشركة تدفع 200دينار لكل راكب حجز بطاقة ولم
يجد مقعدا علي متن الطائرة للرحلة ،فأوجد احتمال أن تدفع
الشركة 1000دينار تعويضا ً للركاب الذين لم يجدوا لهم مقاعد
علي متن الطائرة إذا كانت الشركة قد باعت 246بطاقة
ن = ، 10س = 5أي 5ركاب إضافيين حتي يكون الناتج = 1000 = 200 ×5دينار تعويض
وذلك من أصل 10ركاب إضافيين
5
10
5
ﻕ
ل (ص = =)5د ( = ) 5
0.001 = )0.0975( )0.9025( 5
Slide 11
الوحدة الرابعة
المتغيرات العشوائية وتوزيعها
Random Variables and Their Distribution
Slide 12
Slide 13
عند إلقاء حجري نرد منتظمين ومالحظة الوجه العلوي
الحجر األول مرقم كما يلي :وجهان مرقمان 0وجهان مرقمان ، 1وجهان مرقمان ،2
الحجر الثاني مرقم كما يلي :ثالثة اوجه مرقمة ، 0ثالثة أوجه مرقمة ، 1
نهتم بمجموع العددين الظاهرين علي الوجه العلوي وليكن م هذا المجموع
بين أن النتائج الممكنة هي 3،2،1،0 :
)( (1أ) أوجد احتمال كل من النتائج التالية:
ل(م=)2
ل(م=)1
ل(م=)0
(ب) استنتج احتمال ل(م=)3
()3
(أ) إذا كنا نهتم بناتج ضرب العددين الظاهرين علي الوجه العلوي
فما النتائج الممكنة ؟
(ب) أوجد احتمال كل من النتائج الممكنة
Slide 14
1ف( الحجر األول) = { }2،1،0
ف(الحجر الثاني) = {}1،0
عناصر فضاء
العينة ف
المجموع
حاصل
الضرب
()0،0
()1،0
()0،1
()1،1
()0،2
()1،2
0
1
1
2
2
3
0
0
0
1
0
2
2النتائج الممكنة( مجموع العددين الظاهرين علي الوجه العلوي)={}3،2،1،0
ل(م=1 = )0
أ
6
ب ل(م=1 =)3
3
ل(م== )1
2
6
ل(م==)2
2
6
6
أ
ب
النتائج الممكنة (ناتج ضرب العددين علي الوجه العلوي) = {}2،1،0
ل(ح== )0
4
6
ل(ح== )1
1
6
ل(ح==)2
1
6
Slide 15
في ما سبق درسنا بعض مفاهيم التجارب العشوائية واالحتمال ونحن نعلم أن فضاء العينة
هو
مجموعة نواتج التجربة العشوائية والتي غالبا ً ما تكون صفات أو مسميات يصعب التعامل معها
رياضيا ً لذا يقوم الباحث بإقران هذه النواتج الوصفية للتجربة العشوائية بقيم عددية حقيقية تسمي
بالمتغير العشوائي والذي تتغير قيمته بتغير نتيجة التجربة العشوائيةفعلي سبيل المثال عند إلقاء قطعة
نقود متماثلة مرتين متتاليتين فإن فضاء العينة يكون كالتالي :
ف= {(ص،ص) ( ،ص،ك) ( ،ك،ص) ( ،ك ،ك)}
فمثال إذا اقتصرت دراستنا علي عدد الصور التي ظهرت في كل عنصر
من عناصر فضاء العينة ف والتي هي كالتالي 0،1،1،2 :علي الترتيب
نكون قد أقرنا كل عنصر من عناصر فضاء العينة بعدد حقيقي
كما هو موضح في الجدول التالي:
وسوف نرمز للمتغير العشوائي بالرمز ﺲ
فإن مدي ﺲ = {}0،1،2
وعليه
عناصر فضاء عدد الصور في
كل عنصر
العينة ف
(ص،ص)
2
(ص،ك)
1
(ك،ص)
1
(ك،ك)
0
Slide 16
00
ففي المثال السابق نالحظ ما يلي:
1مجال المتغير العشوائي ﺲ هو ف ={(ص،ص) ( ،ص،ك) ( ،ك،ص) ( ،ك ،ك)}
2المجال المقابل للمتغير العشوائي هو ح .
3المدي للمتغير العشوائي ﺲ هو { }0،1،2ويرمز له بالرمز ﺲ(ف)
يوجد عدة أنواع من المتغيرات العشوائية ،سوف تدرس نوعين فقط منها وهما :
1المتغيرات العشوائية المتقطعة (المنفصلة)
2المتغيرات العشوائية المتصلة (المستمرة)
Slide 17
المتغيرات العشوائية وتوزيعها
Random Variables and Their Distribution
Slide 18
يكون المتغير العشوائي ﺲ متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً إذا كانت
مجموعة القيم الممكنة له (المدي) ﺲ (ف) :هي مجموعة
متقطعة أي قابلة للعد ،من األعداد الحقيقية سواء أكانت منتهية
أم غير منتهية0
أمثلة لمتغير عشوائي متقطع:
عدد أهداف مباراة كرة قدم
عدداألخطاء في صفحة كتاب ما
Slide 19
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة مرتين متتاليتين ،ليكن المتغير العشوائي ﺲ
يعبر عن
«عدد الكتابات»
أوجد ما يلي :أ
فضاء العينة (ف)
ب مدي المتغير العشوائي ﺲ
ج نوع المتغير العشوائي
فضاء العينة (ف) ={(ص،ص) ( ،ص،ك) ( ،ك،ص) ( ،ك ،ك)}
عناصر فضاء
العينة ف
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺲ
ﰿ مدي المتغير العشوائي ﺲ = {}2،1،0
(ص،ص)
0
(ص،ك)
1
(ك،ص)
1
(ك،ك)
2
Slide 20
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة مرتين متتاليتين ،أوجد مجموعة القيم
للمتغيرات العشوائية التالية وحدد فيما إذا كانت متغيرات عشوائية متقطعة أم ال
المتغير العشوائي ﺲ الذي يمثل عدد الصور
المتغير العشوائي ﺺ الذي يمثل مربع عدد الصور
المتغير العشوائي ع الذي يمثل عدد الصور مطروحا ً منه عدد
ا لكتابات
عناصر فضاء
العينة ف
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺲ
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
2
1
1
0
Slide 21
عناصر فضاء
العينة ف
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺺ
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
عناصر فضاء
العينة ف
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ع
Slide 22
ﺲ
ﺲ
ﺲ
ﺲ
=
{(ص،ص،ص)(،ص،ص،ك)(،ص،ك،ص)
(،ك،ص،ص)(،ص،ك،ك)(،ك،ص،ك)،
(ك،ك،ص)(،ك،ك،ك)}
عناصر فضاء العينة ف
عناصر مدي المتغير
العشوائي ﺲ
(ص،ص،ص)
3
(ص،ص،ك)
2
(ص،ك،ص)
2
(ك،ص،ص)
2
(ص،ك،ك)
1
(ك،ص،ك)
1
(ك،ك،ص)
1
(ك،ك،ك)
0
Slide 23
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة مرتين متتاليتين ،أوجد مجموعة القيم
للمتغيرات العشوائية التالية وحدد فيما إذا كانت متغيرات عشوائية متقطعة أم ال0
المتغير العشوائي ﺲ الذي يمثل عدد الكتابات 0
المتغير العشوائي ﺺ الذي يمثل مكعب عدد الكتابات 0
المتغير العشوائي ع الذي يمثل عدد الكتابات مطروحا ً منه 0 2
عناصر فضاء
العينة ف
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺲ
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
0
1
1
2
Slide 24
عناصر فضاء
العينة ف
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺺ
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
عناصر فضاء
العينة ف
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ع
Slide 25
Slide 26
تعلمنا سابقا أن المتغير المتقطع هو دالة مداها مجموعة جزئية من ح قابلة للعد
ونبحث اآلن في احتمال وقوع كل عنصر من عناصر فضاء العينة المناظر لكل عنصر من عناصر
المدي
تعريف :دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ﺲ
متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً مداه { س ، 1س ، 2س، }... ، 3
إذا كان
فإن دالة التوزيع االحتمالي د تعرف كالتالي :
د(س ر) = احتمال (ﺲ = س ر )
أي أن د( س ر) = ل (ﺲ = س ر ) لكل = .... ،3،2،1
ويمكن تمثيلها بالجدول التالي:
س
س1
س2
س3
....
د(س)
د (س) 1
د (س) 2
د( س)3
....
أي أن مجموعة النقاط في المستوي اإلحداثي التي تمثل األزواج المرتبة (س ر ،د( س ر))
تسمي
Slide 27
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة مرة واحدة ،إذا كان المتغير العشوائي ﺲ
يعبر عن «عدد الصور»
أوجد ما يلي:
أ
فضاء العينة (ف)
ب مدي المتغير العشوائي ﺲ
ج احتمال وقوع كل عنصر من عناصر فضاء العينة (ف)
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي ﺲ
عناصر عناصر مدي
المتغير
{ ص،ك } فضاء العينة
العشوائى
ف
ﺲ
1
ص
مدي المتغير العشوائي ﺲ = {}1،0
ك
0
Slide 28
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي
0
س
هي:
1
د(س)
الحظ أن ل(
= + ) 0ل(
==)1
+
=1
Slide 29
عند إلقاء قطعة نقود متماثلة ثالث مرات متتالية ،إذا كان المتغير
العشوائي ﺲ يعبر عن « عدد الصور »
فأوجد ما يلي :
فضاء العينة ف
مدي المتغير العشوائي
احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي ﺲ
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي ﺲ
عناصر فضاء
العينة ف
=
مدي المتغير العشوائي ﺲ = {}0،1،2،3
(ص،ص،ص)
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺲ
3
(ص،ص،ك)
2
(ص،ك،ص)
2
(ك،ص،ص)
2
(ص،ك،ك)
1
(ك،ص،ك)
1
(ك،ك،ص)
1
(ك،ك،ك)
0
Slide 30
مالحظة :
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائى المتقطع تحقق الشرطين :
≤ 01د(س)≤ 1
2مجموع قيم دالة التوزيع االحتمالي د تساوى الواحد الصحيح ،
أي أن د(س1
) +د (س )
2
+د( س1 =… + ) 3
Slide 31
إذا كانت دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي
س
2-
1
2
3
د (س )
0.3
0.1
ك
0.2
هي :
أوجد قيمة ك .
ﱀ مجموع قيم دالة التوزيع االحتمالي د تساوي الواحد الصحيح
د( + )2-د( + )1د( + )2د(1 = )3
+0.1 +0.3ك 1 = 0.2 +
ك= 0.6-1
ك = 0.4
Slide 32
عند إلقاء قطعة نقود متماثلة مرتين متتاليتين وبفرض أن المتغير
العشوائي ﺲ يعبر عن « عدد الكتابات» أوجد دالة التوزيع االحتمالي
د للمتغير العشوائي ﺲ
عناصر فضاء
العينة ف
مدي المتغير العشوائي
= {}2،1،0
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺲ
(ص،ص)
0
(ص،ك)
1
(ك،ص)
1
(ك،ك)
2
Slide 33
ﰿ
Slide 34
عند إلقاء قطعة نقود متماثلة ثالث مرات متتالية ،إذا كان المتغير العشوائي
« عدد الكتابات » فأوجد ما يلي :
فضاء العينة ف
مدي المتغير العشوائي
احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي ﺲ
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي ﺲ
مدي المتغير العشوائي
= {}3،2،1،0
يعبر عن
عناصر فضاء العينة
ف
عناصر مدي
المتغير العشوائي
ﺲ
(ص،ص،ص)
0
(ص،ص،ك)
1
(ص،ك،ص)
1
(ك،ص،ص)
1
(ص،ك،ك)
2
(ك،ص،ك)
2
(ك،ك،ص)
2
(ك،ك،ك)
3
Slide 35
Slide 36
س
د (س )
4
ك
3
0.2
2
1
0.15 0.1
0
0.35
ﱀ مجموع قيم دالة التوزيع االحتمالي د تساوي الواحد الصحيح
ﰿ د( + )4د( + )3د(+ )2د ( + )1د(1 =)0
ك1=0.35 +0.15 +0.1 +0.2 +
ﰿ ك = 0.8-1
ك= 0.2
Slide 37
Slide 38
ن
•
•
•
ن
ل ر = ن(ن-ا)(ن(×....× )2-ن -ر)1+
ل ر=
ن
ﻕر=
حيث ن ،ر تنتمي للمجموعة ﺺ ،+ن ≤ ر
Slide 39
متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً مداه هو } 1، 0 ،1-،2- { :
إذا كان
وكان د( = )2-د( ،0.3 = )1-د(0.2 = )1
أوجد د( ، )0ثم اكتب دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي
مجموع قيم دالة التوزيع االحتمالي د تساوي الواحد الصحيح
د( + )2-د( + )1-د( + )0د(1 = )1
+0.3 + 0.3د(1 =0.2 + )0
د(0.2 = )0
س
2-
1-
0
1
د(س)
0.3
0.3
0.2
0.2
Slide 40
صندوق يحتوي علي 10كرات متماثلة منها 7كرات بيضاء و 3كرات حمراء
سحبت أربع كرات عشوائيا ً معا ً من الصندوق إذا كان المتغير العشوائي ﺲ يمثل
عدد الكرات الحمراء
فأوجد ما يلي :
عدد عناصر فضاء العينة (ن(ف))
مدي المتغير العشوائي ﺲ
احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي ﺲ
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي ﺲ
=
=
= 210
Slide 41
عدد الكرات الحمراء التي يمكن سحبها كالتالي :لدينا 4حاالت :
• أن تكون كل الكرات المسحوبة بيضاء
ﺲ=0
عدد الكرات الحمراء المسحوبة = صفر
•
•
•
أن تكون الكرات المسحوبة منها 3كرات بيضاء وواحدة حمراء
أن تكون الكرات المسحوبة منها 2كرة بيضاء و 2كرة حمراء
أن تكون الكرات المسحوبة منها 1كرة بيضاء و 3كرات حمراء
ل(ﺲ = = ) 0
ل(ﺲ = ) 1
=
ل(ﺲ = = ) 2
ل (ﺲ = ) 3
=
7ق
×4
3ق
10
ق4
3ق
7ق
×3
7ق
7ق
=0
1
10
ق4
×2
3ق
2
10
ق4
×1
3ق
10
ق4
3
ﺲ=1
ﺲ=2
ﺲ=3
Slide 42
س
د (س )
0
1
2
3
المجموع
1
Slide 43
إذا كان
متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً مداه هو } 3 ،2 ،1 ، 0{ :
وكان د( ،0.1 = )0د( ،0.6 = )1د(0.15 = )2
أوجد د( ، )3ثم اكتب دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائى
ﱀ مجموع قيم دالة التوزيع االحتمالي د تساوي الواحد الصحيح
د( + )0د( + )1د( + )2د(1 = )3
+ 0.15 +0.6 +0.1د(1 = )3
د(0.15 = )3
س
0
1
2
3
د (س )
0.1
0.6
0.15
0.15
Slide 44
صندوق يحتوي على 10كرات متماثلة منها 7كرات بيضاء و 3كرات
حمراء سحبت 3كرات معا ً من الصندوق .إذا كان المتغير العشوائي ﺲ
يمثل عدد الكرات البيضاء
فأوجد ما يلي:
عدد عناصر فضاء العينة (ف )
مدى المتغير العشوائي ﺲ
احتمال كل عنصر من عناصر مدى المتغير العشوائي ﺲ 0
دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ﺲ
10
ق
عدد عناصر الفضاء العينة (ف) =
=3
8 × 9 ×10
1 × 2 ×3
= 120
Slide 45
عدد الكرات التي يمكن سحبها كالتالي :لدينا 4حاالت:
• ان تكون كل الكرات المسحوبة حمراء.
ﰿ عدد الكرات البيضاء المسحوبة = صفر
أن تكون الكرات المسحوبة منها 2كرة حمراء1،كرة بيضاء
•
•
•
أن تكون الكرات المسحوبة منها 1كرة حمراء و 2كرة بيضاء
•
أن تكون الكرات المسحوبة منها 0كرات حمراء و 3كرات بيضاء
ﰿ
مدى المتغير العشوائي ﺲ = { }3،2،1،0
ﺲ= 0
ﺲ=1
ﺲ=2
ﺲ=3
Slide 46
ل (ﺲ = ) 0
ل (ﺲ
=
=) 1
3ق
×2
7ق
=
3ق
ل (ﺲ =) 2
=
3ق
×1
2
1
=
10
ق3
ل (ﺲ = ) 3
=
3ق
×0
10
س
د(س)
7ق
3
21
=
120
=
63
120
35
120
ق 3
1
2
3
1
21
63
35
120
120
120
0
= 0
10
ق3
10
ق3
7ق
×3
7ق
120
المجموع
1
1
120
Slide 47
Slide 48
القيمة التي تتجمع حولها القيم
الممكنة للمتغير العشوائي
المتقطع ويرمز له بالرمز µ
وهو أحد مقاييس
النزعة المركزية
عدد يقيس مقدار انتشار
أو تشتت قيم المتغير
العشوائي عن قيمته
المتوسطة ورمزه 2 o
وهو أحد مقاييس
التشتت
Slide 49
تعريف
إذا كان
مدي
متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً له دالة التوزيع االحتمالي د ،
= { س ، 1س ،س }….،
2
3
فإن التوقع للمتغير العشوائي (يرمز له برمز ) µيكون :
التوقع (µ
) = ʒس ر د (س ر )
أي أن (= ) µس 1د(س + )1س 2د(س ) +س 3د(س ) …..+
2
3
Slide 50
1
س
د( س)
2
2
3
7
7
3
4
6
3
35
35
التوقع ʒ = µس
ر
5
1
35
فأوجد التوقع µللمتغير العشوائي
د (س ر )
= 6 × 3 + 2 ×2 + 3 ×1
×5 + 3 ×4 +
7
7
=2
35
35
1
35
Slide 51
ذ
العشوائي يعبر
عند إلقاء قطعة نقود متماثلة مرتين متتاليتين ،إذا كان المتغير
عن «عدد الصور» ،فأوجد :
فضاء العينة (ف)
مدي المتغير العشوائي
احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي المتقطع
دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع
ه التوقع µللمتغير العشوائي
ـ
فضاء العينة (ف) ={(ص،ص) ( ،ص،ك) ( ،ك،ص) ( ،ك ،ك)}
مدي المتغير العشوائى
د(= )2
1
4
،د(= )1
={ }0،1،2
1
2
،د(= )0
1
4
الحظ أن :ل ( = )2
= د()2
Slide 52
س
2
د (س )
س
ﺽ التوقع = µ
=1 ×2
=
1
2
4
+
1
1
1
4
2
4
ر
د(س ر )
1 ×1 +
1
=1
2
1
0
2
1 ×0 +
4
Slide 53
تعريف
إذا كان ﺲ متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً له دالة التوزيع االحتمالي د ،
فإن التباين للمتغير العشوائي يعطى بالصيغة :
2
التباين ( ʒ = ) бس 2د(س ر ) µ -
ر
2
حيث µهو التوقع
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ هي :
أوجد
س
0
1
2
3
د (س )
0.1
0.6
0.2
0.1
التوقع ( ) µ
2
التباين() б
االنحراف المعياري () б
Slide 54
التوقع = µ
ʒ
س
ر
د (س
ر
)
=0.1×4 + 0.2×3 + 0.6×2 + 0.1× 1
= 0.4 + 0.6+ 1.2 +0.1
= 2.3
2
2
س
(
د
ʒ
=
)
التباين (б
ر
س ر
2
)µ-
2
=))2.3( – 0.1×2)4+ 0.2×2)3( + 0.6×2)2( + 0.1× 2(1
= 0.61
االنحراف المعياري ( =) б
التباين =
0.61
≈ 0.7810
Slide 55
3
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع
0
س
د (س )
1
2
0.17 0.29 0.43
التوقع ( ) µ
3
4
0.09
0.02
2
التباين() б
هي :
االنحراف المعياري () б
التوقع ʒ = µس ر د(س ر )
=0.02×5+0.09×4 + 0.17×3 + 0.29×2 + 0.43× 1
= 1.98
2
التباين ( ʒ = )2бس 2رد(س ر ) µ -
=)02×2)4(+ 0.09×2)3(+ 0.17×2)2( + 0.29×2)1( + 0.43× 2(0
2
(1.1396 =3.92+5.06 = )1.98
االنحراف المعياري ( =) б
التباين =
1.0675 ≈1.1396
Slide 56
حاول أن تحل ص 23رقم 8
0
1
س
د(س) 34 2 4 1
س
9
9
التوقع = µ
= 4 ×1 + 4 ×0
9
= 6
9
9
=
2
3
2
4
1
9
5
فأوجد التوقع µللمتغير العشوائي
س ر د (س ر )
1 ×2 +
9
Slide 57
حاول أن تحل ص 24رقم 9
إذا كان فضاء العينة ألربع أسر لديها طفالن كالتالي :
ف ={ (ولد ،ولد) ( ،ولد ،بنت ) ( ،بنت ،ولد ) ( ،بنت ،بنت ) }
فأوجد :
مدي المتغير العشوائي المتقطع ﺲ الذى يعبر عن عدد األوالد
احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع
التوقع µللمتغير العشوائي
ف ={ (ولد ،ولد) ( ،ولد ،بنت ) ( ،بنت ،ولد ) ( ،بنت ،بنت ) }
مدي المتغير العشوائي ={ }0،1،2
Slide 58
د(س ر ) = ل (ﺲ = س ر )
د( = )2ل (ﺲ == )2
1
4
د( = )1ل (ﺲ =2 = ) 1
4
د( = )0ل(ﺲ == ) 2
س
د (س )
2
1
4
1
0
1
2
4
1
4
4
التوقع = µ
س ر د (س ر )
= 1 ×0 + 2 ×1 + 1 × 2
4
4
4
1
+ 2
1
2
= 1
Slide 59
حاول أن تحل ص 26رقم 10
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع
س
2
3
4
5
د (س )
0.1
0.3
0.5
0.1
2
التباين() б
التوقع ( ) µ
التوقع = µ
س
ر
هي :
االنحراف المعياري () б
د (س ر )
=0.1×5+ 0.5×4 + 0.3×3 + 0.1× 2
= 3.6
2
2
التباين ( ʒ = ) бس 2رد(س ر ) µ -
2
=)0.64 = )3.6( –0.1×2)5(+ 0.5×2)4( + 0.3×2)3( + 0.1× 2(2
االنحراف المعياري ( =) б
التباين =
0.64
≈ 0.8
Slide 60
حاول أن تحل ص 27رقم 11
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ هي :
س
1
2
3
4
5
د(س)
0.2
0.1
0.3
0.1
0.3
التوقع ( ) µ
2
التباين() б
االنحراف المعياري () б
د (س ر )
التوقع = µ
س
=0.3 ×5+0.1 ×4+ 0.3×3 + 0.1×2 + 0.2× 1
= 3.2
2
التباين ( ʒ = )2бس 2رد(س ر ) µ -
2
2
=))3.2(- 0.3× )5(+0.1×2)4(+ 0.3×2)3( + 0.1×2)2( + 0.2× 2(1
= 2.16
ر
االنحراف المعياري ( =) б
التباين =
2.16
≈ 1.469
Slide 61
Slide 62
تعريف :
دالة التوزيع التراكمي ت للمتغير العشوائي المتقطع عند القيمة أ هي احتمال وقوع
المتغير العشوائي ﺲ بحيث يكون ﺲ أصغر من أو يساوي أ
أي أن :ت(أ) = ل(ﺲ ≤ أ)
الحظ أن مجال دالة التوزيع
التراكمي ت هو ح وأن المجال
[ ] 1،0
المقابل =المدي
Slide 63
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ هي :
س
3
4
5
د(س)
0.5
0.3
0.2
أوجد :ت( ، )2ت( ، )3ت( ، )4ت( ، )4.5ت( ، )5ت()7
حيث ت دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي ﺲ 0
ت( = )2ل(ﺲ ≤ )2
= ل ( ﺲ < + ) 2ل (ﺲ = ) 2
=صفر +صفر = صفر
ت( = )3ل(ﺲ ≤ )3
= ل ( ﺲ < + ) 3ل (ﺲ = ) 3
= ل(ﺲ < + )3د()3
= 0.5=0.5 + 0
Slide 64
ت( = )4ل(ﺲ ≤ )4
= ل (ﺲ < + ) 4ل (ﺲ = ) 4
= د( + )3د()4
= 0.8=0.3 + 0.5
ت( = )4.5ل(ﺲ ≤ )4.5
= د( + )4.5د( + )4د()3
= 0.8=0.5 + 0.3+ 0
ت( = )5ل(ﺲ ≤ )5
= د( + )5د( + )4د()3
= 1=0.5 + 0.3+ 0.2
ت( = )7ل(ﺲ ≤ )7
= د( + )7د( + )5د(+ )4د()3
= 1=0.5 + 0.3+ 0.2+0
تذكر:
نرمز لدالة التوزيع االحتمالي بالرمز د
ونرمز لدالة التوزيع التراكمي بالرمز ت
Slide 65
)(1ل( أ < ﺲ ≤ ب ) = ت(ب) – ت(أ)
)(2ل(ﺲ > أ) = -1ل(ﺲ ≤ أ ) = -1ت (أ )
) (3ل( أ < ﺲ ≤ ب ) = ل( أ ≤ ﺲ < ب )
= ل( أ < ﺲ < ب )
= ل( أ ≤ ﺲ ≤ ب )
Slide 66
يبين الجدول التالي بعض قيم دلة التوزيع التراكمي ت للمتغير العشوائي المتقطع
هي :
5
3
2
1
س
1
0.6
0.2
0.15
ت (س )
أوجد:
ل( < 1ﺲ ≤ ) 3
ل( ≤ 2ﺲ < ) 5
ل(ﺲ > ) 2
ل( <1ﺲ ≤ = )3ت( – )3ت()1
= 0.45 = 0.15 + 0.6
ل( ≤ 2ﺲ < = ) 5ت( – )5ت()2
=0.8 = 0.2-1
ل (ﺲ > - 1 = ) 2ل (ﺲ ≤ ) 2
= -1ت(0.8 = 0.2-1 = )2
Slide 67
حاول أن تحل ص 29رقم 12
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ هي :
س
1
2
3
4
5
د(س) 0.02 0.09 0.17 0.29 0.43
أوجد :ت( ، )1ت( ، )3.5ت( ، )4ت()5
حيث ت دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي ﺲ
ت( = )1ل(ﺲ ≤ )1
= ل (ﺲ < + ) 1ل (ﺲ = ) 1
=صفر 0.43 = 0.43 +
ت( = )3.5ل(ﺲ ≤ )3.5
= د( + )3د( + )2د()1
= 0.89= 0.43+ 0.29+0.17
ت( = )4ل(ﺲ ≤ )4
= د( + )4د( + )3د( + )2د()1
= 0.98=0.43 + 0.29+ 0.17+0.09
ت( = )5ل(ﺲ ≤ )5
= د(+ )5د( + )4د( + )3د( + )2د()1
=0.98=0.4 + 0.29+ 0.17+ 0.09 +0.02
Slide 68
حاول أن تحل ص 30رقم 13
يبين الجدول التالي بعض قيم دلة التوزيع التراكمي ت للمتغير العشوائي
هي :
4
3
2
1
س
1
0.65 0.40 0.25
ت (س )
المتقطع
أوجد :
ل( < 4ﺲ < ) 5
ل (ﺲ > ) 3
ل( <4ﺲ < = )5ت ( – )5ت( = 1 - 1 = )4صفر
ل(ﺲ > -1 = ) 3ل(ﺲ ≤ -1 = ) 3ت(0.35 = 0.65-1 = )3
Slide 69
Slide 70
نعلم أن دالة التوزيع االحتمالي هي مجموعة نقاط
المستوي التي تمثل األزواج المرتبة (س ر ،ص ر )،
وبالتالي فإن بيان دالة التوزيع االحتمالي هو عبارة
عن نقاط يمكن تمثيلها في المستوي االحداثي
Slide 71
لتكن د دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ كما في الجدول التالي :
4
3
2
1
س
د (س )
0.2
0.1
0.3
0.4
ارسم بيان دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
بيان دالة التوزيع االحتمالي
رسم بيان دالة التوزيع االحتمالي:
نمثل قيم س علي المحور السيني
وقيم الدالة د(س) علي المحور
الصادي
ﺺ
0.4
0.3
0.2
0.1
ﺲ
6
5
4
3
2
1
Slide 72
حاول أن تحل ص 31رقم 14
لتكن د دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ كما في الجدول التالي :
5
4
3
2
1
س
د (س )
0.5
0.1
0.2
0.15
0.05
ارسم بيان دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
بيان دالة التوزيع االحتمالي
رسم بيان دالة التوزيع االحتمالي:
نمثل قيم س علي المحور السيني
وقيم الدالة د(س) علي المحور
الصادي
ﺺ
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
ﺲ
6
5
4
3
2
1
Slide 73
Slide 74
نعلم أن دالة التوزيع التراكمي هي دالة مجالها ح ومجالها
المقابل = المدي =[ ،] 1،0وبالتالي فإن بيانها عبارة
عن شعاعين وقطع مستقيمة
كما يتضح من المثال التالي:
Slide 75
لتكن د دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ كما في الجدول التالي :
5
4
3
2
س
د(س) صفر 0.4 0.5 0.1
أوجد :
ارسم دالة التوزيع التراكمي ت 0
دالة التوزيع التراكمي ت0
دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
س< 2
≥2س<3
≥3س<4
≥4س<5
س≥5
ت(س) = صفر
ت(س) = صفر
ت(س) = صفر0.1 = 0.1 +
ت(س) = 0.6 = 0.1+0.5
ت(س) = 1 = 0.6 +0.4
صفر
ت(س) =
:س< 2
صفر ≥ 2:ﺲ < 3
≥ 3: 0.1ﺲ < 4
≥ 4: 0.6ﺲ <5
:س≥ 5
Slide 76
رسم بيان دالة التوزيع التراكمي ت :نأخذ قيم س
علي المحور السيني وقيم الدالة ت(س) علي المحور
الصادي0
ﺺ
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
ﺲ
6
5
4
3
2
1
Slide 77
عند إلقاء قطعة نقود معدنية متماثلة ثالث مرات متتالية ومالحظة الوجه العلوي ،
المتغير العشوائي الذى يمثل عدد مرات ظهور الصورة (ص)
ليكن
فأوجد :
فضاء العينة (ف)
مدي المتغير العشوائي ﺲ
احتمال وقوع كل عنصر من عناصر فضاء العينة (ف)
دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
ه ارسم دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
ـو دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
ز ارسم دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع س
=
{(ص،ص،ص)(،ص،ص،ك)(،ص،ك،ص)(،ك،ص،ص)،
(ص،ك،ك)(،ك،ص،ك)( ،ك،ك،ص)(،ك،ك،ك)}
Slide 78
عناصر مدي
عناصر فضاء العينة
المتغير العشوائي
ف
ﺲ
(ص،ص،ص)
3
(ص،ص،ك)
2
(ص،ك،ص)
2
(ك،ص،ص)
2
(ص،ك،ك)
1
(ك،ص،ك)
1
(ك،ك،ص)
1
(ك،ك،ك)
0
مدى المتغير العشوائى
= { }0،1،2،3
Slide 79
لرسم بيان دالة التوزيع االحتمالي :نمثل قيم س علي المحور السيني
وقيم الدالة د(س) علي المحور الصادي
بيان دالة التوزيع االحتمالي
ﺺ
7
8
6
8
5
8
4
8
3
28
5
8
1
8
ﺲ
5
4
3
2
1
Slide 80
دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع
صفر
1
ت(س) =
8
7
8
:س< 0
≤ 0:ﺲ < 1
≤ 1:ﺲ < 2
ﺺ
بيان دالة التوزيع التراكمي
7
8
6
≤2:ﺲ<3
:س≥ 3
8
5
8
رسم دالة التوزيع التراكمي للمتغير
العشوائي المتقطع
4
8
3
28
8
1
8
ﺲ
5
4
3
2
1
Slide 81
حاول أن تحل ص 32رقم 15
استخدم جدول التوزيع االحتمالي التالي اليجاد دالة التوزيع التراكمي وارسم بيانها:
س
د (س )
أوجد :
1
0.5
2
0.1
3
0.2
4
0.15
دالة التوزيع التراكمي ت0
5
0.05
ارسم دالة التوزيع التراكمي ت 0
دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
س< 1
≥1س<2
≥2س<3
≥3س<4
≥4س<5
س≤
5
ت(س) = صفر
ت(س) = صفر0.5= 0.5 +
ت(س) = 0.6 = 0.5 +0.1
ت(س) =0.8 = 0.2+ 0.6
ت(س) = 0.95 = 0.15 +0.8
ت(س) = 1 = 0.05 +0.95
ت(س) =
صفر :س< 1
≥ 1: 0.5ﺲ < 2
≥ 2: 0.6ﺲ < 3
≥ 3: 0.8ﺲ < 4
≥ 4: 0.95ﺲ < 5
:س≤5
Slide 82
حاول أن تحل ص 32رقم 15
رسم بيان دالة التوزيع التراكمي ت :نأخذ قيم س علي
المحور السيني وقيم الدالة ت(س) علي المحور الصادي
ﺲ
ﺺ
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
6
5
4
3
2
1
Slide 83
حاول أن تحل ص 35رقم 16
استخدم جدول التوزيع االحتمالي التالي اليجاد دالة التوزيع التراكمي وارسم بيانها:
س
د (س )
1
2
1
1
12
س< 1
≥1س<2
≥2س<3
≥3س<4
≥4س<6
س≤6
3
1
4
6
4
1
3
6
1
6
دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
صفر
1
12
3
12
6
12
10
12
1
ت( س) =
صفر :س< 1
1
≥ 1: 12ﺲ < 2
3
≥2: 12ﺲ < 3
≥ 3: 6ﺲ < 4
12
≥ 4: 10ﺲ < 6
12
:س≤ 6
1
Slide 84
حاول أن تحل ص 35رقم 16
ﺺ
رسم بيان
دالة التوزيع
التراكمي ت:
نأخذ قيم س
علي المحور
السيني وقيم
الدالة ت(س)
علي المحور
ﺲ
الصادي0
1
11
1012
12 9
8 12
7
12
612
125
412
12 3
2 12
1
12
6
5
4
3
2
1
12
Slide 85
Slide 86
نعلم من خالل دراستنا أن بعض التجارب العشوائية يكون لها ناتجان أو عدة نواتج
يمكن اختزالها إلي ناتجين فقط أي أن فضاء العينة يصبح محتويا علي عنصرين فمثالً
• عند إلقاء قطعة نقود مرة واحدة يكون الناتج إما صورة أو كتابة 0
• عند تأدية الطالب اختباراً في مادة ما تكون النتيجة إما نجاح أو رسوب 0
• عند دخول شخص اختباراً للحصول علي رخصة القيادة تكون النتيجة نجاح أو
رسوب0
وهكذا فإننا قيد دراسة التجارب التي يكون لها ناتجان فقط وهي ما يسمي
بتجربة ذات الحدين0
تعريف :تجربة ذات الحدين
تجربة ذات الحدين هي تجربة عشوائية تحقق الشروط التالية:
) (1تتكون التجربة من عدد من المحاوالت المستقلة والمتماثلة
(المحاوالت المستقلة تعني أن نتيجة كل محاولة ال تؤثر وال تتأثر بنتائج المحاوالت األخرى )
( )2كل محاولة يكون لها ناتجان فقط (نجاح أو فشل)
( )3احتمال الحصول علي أحد الناتجين يكون ثابتا ّ من تجربة إلي أخري 0وسوف نرمز لهذا
االحتمال بالرمز ل 0وتسمي كل محاولة من محاوالت التجربة
بمحاولة برنولي Bernoulli
Slide 87
دانييل برنولي
( 1782-1700م) فيزيائي ورياضي سويسري
من أصل هولندي ولد في عائلة من الرياضيين
سنه 1700م .أشهر عمل له كان كتابه الموائع
المتحركة الذي نشر عام 1738م ووضع فيه
دراسة نظرية وعملية التزان المائع وسرعته
وضغطه ،وبين أن ضغط المائع يقل إذا زادت
سرعته ،وهو ما يعرف حاليا بمبدأ برنولي
Slide 88
فمثالً إذا أجريت تجربة برنولي عدد من المرات وكان احتمال النجاح في المحاولة
الواحدة ل وكان المتغير العشوائي الذي يمثل عدد مرات النجاح في كل المحاوالت
فإن احتمال النجاح في ن من المحاوالت يعطي بالعالقة التالية :
ل ( ﺲ = س ) =د ( س ) =
•
•
•
•
•
•
ن
ﻕسل
س
( -1ل)
ن-س
،نgﺺ
ن عدد المحاوالت0
مجموعة القيم الممكنة للمتغير العشوائي = { ، 00000 ، 2 ، 1 ، 0ن }
س عدد مرات النجاح من ن من المحاوالت 0
ل احتمال النجاح0
( – 1ل ) احتمال الفشل0
يسمي توزيع المتغير العشوائي ﺲ بتوزيع ذات الحدين للمعلمتين ل ،ن0
+
Slide 89
إذا كان
فأوجد :
متغيراً عشوائيا ً ذو حدين ومعلمتيه هما :ن= ، 7ل=0.1
ل(ﺲ = صفر)
ل( <1ﺲ≤)3
ن
ل(ﺲ = س) =د(س) =
ن= ، 7ل=0.1
ﰿ ل(ﺲ= صفر) =
7
ﻕ
ل
ﻕ
س
س
( -1ل)
0
0
ن-س
()0.9( )0.1
7
،ن تنتمي للمجموعة ﺺ
≈ 0.4783
ل(ﺲ= = )0د()0
،ن= ، 7ل= ، 0.1ﺲ = 0
حل آخر
نبحث في جدول االحتماالت في توزيع ذات الحدين عن قيمة د()0
( صفحة ) 57
فنجد أن :د(0.478 = )0
+
Slide 90
Slide 91
ل( <1ﺲ ≥ = )3ل(ﺲ = + ) 2ل(ﺲ = = ) 3د( + )2د()3
د(= )2
د(= )3
7
7
ﻕ
ﻕ
2
2
()0.9( )0.1
3
3
()0.9( )0.1
4
5
≈ 0.1240
≈ 0.0230
ل( <1ﺲ ≥ 0.1470 = 0.0230 + 0.1240 = )3
حل آخر
ل( <1ﺲ ≥ = )3ل(ﺲ = + ) 2ل(ﺲ = = ) 3د( + )2د()3
ﰿ
ن= ، 7ل=0.1
نبحث في جدول االحتماالت في توزيع ذات الحدين
د(0.1240 = )2
عندما س= 2
د(0.0230 = )3
عندما س= 3
ل( <1ﺲ ≥ = )3د( +)2د(0.1470 = 0.0230 + 0.1240= )3
Slide 92
فى تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة 8مرات متتالية ،احسب احتمال
ظهور صورة 5مرات 0
ن= ، 8ل= 1
2
ل(ﺲ = س) =د(س) =
ن
ﻕس ل
س
( -1ل)
ن-س
،ن تنتمي ﺺ
+
ل(ﺲ = = )5د()5
3 1 5 1
= 8ﻕ ) ( × ) ( 5
2
2
2 1
6×7×8
) 1
(
)
(
×
×
=
2
2
1×2×3
حل آخر
ل(ﺲ = = )5د()5
ﱀ
نبحث في جدول االحتماالت في
توزيع ذات الحدين عن قيمة د()0
فنجد أن :د(0.219 = )5
ن= ، 8ل= 1
2
5
≈ 0.2188
،س = 5
Slide 93
حاول أن تحل ص 38رقم 17
إذا كانﺲمتغيراً عشوائيا ً ذو حدين ومعلمتيه هما :ن= ، 8ل=0.2
فأوجد :
)
2
=
ﺲ
(
ل
ل( ≥ 2ﺲ < )4
ﱀ ل(ﺲ= س) =د(س) = ن ﻕ ل
ﱀ
ن= ،8ل=0.2
ﰿ ل(ﺲ = = ) 2
حل آخر
س
ل(ﺲ = = )2د()2
8
ﻕ
2
2
س
( -1ل)
()0.8( )0.2
ﱀ
6
ن-س
،نgﺺ
≈ 0.294
ن= ، 8ل= ، 0.2ﺲ = 2
نبحث في جدول االحتماالت في توزيع ذات الحدين عن قيمة د()2
( صفحة ) 57
فنجد أن :د(0.294 = )2
+
Slide 94
= ل(ﺲ = + ) 2ل(ﺲ= = ) 3د( + )2د()3
ل( ≥ 2ﺲ< )4
6
2
≈ 0.294
د(8 = )2ﻕ ()0.8( )0.2
2
د(= )3
8ﻕ
5
3
(0.147 ≈ )0.8(3 )0.2
ل( <1ﺲ ≥ 0.441 = 0.147 + 0.294 = )3
حل آخر
ل( ≥ 2ﺲ < = )4ل(ﺲ = + ) 2ل(ﺲ = = ) 3د( + )2د()3
ﱀ
ن= ،8ل=0.2
نبحث في جدول االحتماالت في توزيع ذات الحدين
د(0.294= )2
عندما س= 2
د(0.147 = )3
عندما س= 3
ل( <1ﺲ ≥ = )3د( +)2د(0.441 = 0.147 + 0.294= )3
Slide 95
حاول أن تحل ص 38رقم 18
فى تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة 10مرات متتالية ،احسب احتمال
ظهور كتابة 5مرات 0
ﱀ
ن=، 10
1
ل=
ن
ﱀ ل(ﺲ = س) =د(س) =
ﰿ
2
ﻕ
س ل
س
( -1ل)
ن–س
،نgﺺ
+
ل(ﺲ = = )5د()5
5
5
10ﻕ ( ) 1 (× ) 1
=
2
2
5
5
5 1
1
)
(
= 0.246 ≈ 2 × ) 2 ( × 6×7×8×9×10
حل آخر
1×2×3×4×5
ﱀ
ل (ﺲ = = )5د()5
ﱀ
نبحث في جدول االحتماالت
في توزيع ذات الحدين عن قيمة د()5
فنجد أن :د(0.246 = )5
ن= ، 10ل=
، 1س = 5
2
Slide 96
Slide 97
احتمال ظهور صورة او كتابة عند رمي قطعة نقود
في الرمية الواحدة = 1
2
احتمال ظهور عدد عند رمى حجر نرد
في الرمية الواحدة = 1
6
Slide 98
عند إلقاء حجر نرد منتظم خمس مرات متتالية ،أوجد :
احتمال ظهور العدد 4مرتين
احتمال ظهور العدد 4مرة واحدة علي األقل
احتمال ظهور العدد 4مرة واحدة علي األكثر
1
ن= ، 5ل= احتمال ظهور العدد 4من الرمية الواحدة =
6
س= عدد مرات ظهور العدد 0 4
ن
ن-س
س
+
ﻕ
،ن تنتمي ﺺ
س ل ( -1ل)
ل(ﺲ= س) = د(س) =
ل(ﺲ = = )2د()2
=
4×5
1×2
5
ﻕ
2
×
(
5 (2 ) 1
63
()5
6
)
3
0.1608 ≈ 5
()6
Slide 99
ل(ﺲ≤ -1 = )1ل(ﺲ< - 1= )1د()0
د()0
=
5
ﻕ
0
0
5
)
( ( ) 1
6
6
5
≈ 0.4019
ل(ﺲ ≤ 0.5981 = 0.4019-1 = )1
ل(ﺲ ≥ = )1د( + )0د()1
4 5 1
د(5 = )1ﻕ ( ( ) 1
) ≈ 0.4019
6 1
6
ل(ﺲ ≥ 0.8038 = 0.4019 + 0.4019 ≈ )1
Slide 100
حاول أن تحل ص 39رقم 19
عند إلقاء حجر نرد منتظم خمس مرات متتالية ،أوجد :
احتمال ظهور العدد 3مرتين
احتمال ظهور العدد 3مرة واحدة علي األقل
احتمال ظهور العدد 3مرة واحدة علي األكثر
1
ن= ، 5ل= احتمال ظهور العدد 3من الرمية الواحدة =
6
س= عدد مرات ظهور العدد 0 3
ن
ن-س
س
+
ﻕ
،ن تنتمي ﺺ
سل ( -1ل)
ل(ﺲ = س) =د(س) =
)5
ل(ﺲ = = )2د(5 = )2ﻕ ( ( )1
6
63 2
2
4×5
1×2
×
()5
3
0.1608 ≈ 5
()6
Slide 101
ل(ﺲ ≤ -1 = )1ل(ﺲ< - 1= )1د()0
د()0
=
5
ﻕ
0 1
5
)
) (
(
5
≈ 0.4019
6 0
6
ل(ﺲ ≤ 0.5981 = 0.4019-1 = )1
ل(ﺲ ≥ = )1د( + )0د()1
4 5 1
د(5 = )1ﻕ ( ( ) 1
) ≈ 0.4019
6 1
6
ل(ﺲ ≥ 0.8038 = 0.4019 + 0.4019 ≈ )1
1
6
Slide 102
Slide 103
درسنا كيفية إيجاد التوقع والتباين للمتغير العشوائي المتقطع
واآلن نتعرض إليجاد التوقع والتباين لتويع ذات الحدين
أوالً :التوقع
=µن ل
• ثانيا :التباين ( = )2бن ل ( -1ل)
•
ثالثا :االنحراف المعياري ( =) б
التباين
=
ن ل ( -1ل)
Slide 104
ينتج مصنع سيارات 200سيارة يوميا ً ،إذا كانت نسبة إنتاج
السيارات المعيبة 0.01فأوجد التوقع والتباين واالنحراف المعياري
لعدد السيارات المعيبة في يوم واحد 0
ن= ، 200س = عدد السيارات المعيبة في اليوم الواحد ،
ل = نسبة إنتاج السيارات المعيبة في اليوم الواحد = 0.01
– 1ل = 0.99 =0.01 -1
التوقع
= ن ل = 2 = )0.01( 200
2
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 1.98 = )0.99( ) 0.01 (200
•
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
=
1.98
≈ 1.4071
Slide 105
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة 5مرات أوجد التوقع والتباين
واالنحراف المعياري إذا كان المتغير العشوائي ﺲ هو ظهور صورة
ن = ، 5ﺲ = ظهور الصورة
ل هو احتمال ظهور صورة
ل=
ﰿ التوقع
1
2
–1 ،ل= 1
2
= ن ل = 2.5 = ) 12 ( 5
2
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 1.25 = ) 1 ( ) 1 (5
2
•
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
2
=
1.25
≈ 1.1180
Slide 106
في أحد مصانع السيارات تبين أن ٪1من السيارات غير صالحة
للسير إذا سحبنا 8سيارات ،فأوجد التوقع والتباين للسيارات الصالحة
للسير
ن = ، 8ل = نسبة السيارات الصالحة للسير :
– 1ل = 0.01
0.99 =0.01 – 1
التوقع
2
= ن ل = 7.92 = ) 0.99 ( 8
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 0.0792 = ) 0.01 ( ) 0.99 (8
Slide 107
حاول أن تحل ص 40رقم 20
ينتج مصنع سيارات 350سيارة يوميا ً ،إذا كانت نسبة إنتاج
السيارات المعيبة 0.02فأوجد التوقع والتباين واالنحراف المعياري
لعدد السيارات المعيبة في يوم واحد 0
ﱀ ن= ، 350س = عدد السيارات المعيبة في اليوم الواحد ،
ل = نسبة إنتاج السيارات المعيبة في اليوم الواحد = 0.02
– 1ل = 0.98 =0.02 -1
ﰿ التوقع
= ن ل = 7 = )0.02( 350
2
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 6.86 = )0.98( ) 0.02 (350
•
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
=
6.86
≈ 2.619
Slide 108
حاول أن تحل ص 41رقم 21
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة 8مرات أوجد التوقع والتباين
واالنحراف المعياري إذا كان المتغير العشوائي ﺲ هو ظهور صورة
ن = ، 8ﺲ = ظهور الصورة
ل هو احتمال ظهور صورة
ل=
التوقع
1
2
–1 ،ل= 1
2
= ن ل = 4 = ) 12 ( 8
2
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 2 = ) 1 ( ) 1 (8
2
•
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
2
=
2
≈ 1.414
Slide 109
حاول أن تحل ص 41رقم 22
٪70من زبائن مطعم ما أفادوا بأن الطعام قد أعجبهم وسيقصدونه
مرة أخري من بين 100زبون ،فأوجد التوقع والتباين واالنحراف
المعياري 0
ﱀ ن = ، 100ل = نسبة الذين سيقصدون المطعم مرة أخري = 0.7
– 1ل = 0.3
= ن ل = 70 = ) 0.7 ( 100
ﰿ التوقع
2
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 21 = ) 0.3 ( ) 0.7 (100
•
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
=
21
≈ 4.583
Slide 2
• بطاقات خاطفة .
• آلة حاسبة .
• Power point
• جهاز عرض علوي .
• جدول االحتماالت في توزيع ذي الحدين .
Slide 3
المتغير العشوائي المتقطع
التوزيع االحتمالي
دالة التوزيع االحتمالي
توقع التوزيع االحتمالي
تباين التوزيع االحتمالي
دالة التوزيع التراكمي
توزيع ذات الحدين
تجربة برنولي
توقع توزيع ذات الحدين
تباين توزيع ذات الحدين
Slide 4
نتوقع في نهاية كل حصة ان يكون الطالب قادرا علي استيعاب األهداف التالية:
يعرف المتغير العشوائي.يعرف المتغير العشوائي المتقطع(المنفصل).يذكر نوع المتغير العشوائي ﺲ.يكتب مدي المتغير العشوائي ﺲيعرف دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائييذكر أن ل(أ) = عدد عناصر أعدد عناصر (ف)
.
يوجد احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي.
يكتب دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائييذكر الشروط الواجب توافرها في دالة التوزيع االحتمالي.يتعرف مفكوك التباديل والتوافيق.
يحسب التوقع(الوسط )( )µللمتغير العشوائي المتقطع.
يحسب التباين ( )2бللمتغير العشوائي المتقطع-يستنتج االنحراف المعياري ( )бللمتغير العشوائي المتقطع ﺲ من خالل التباين.
Slide 5
يعرف دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي متقطعﺲ.يوجد دالة التوزيع التراكمي (ت )من دالة التوزيع االحتمالي (د) للمتغيرالعشوائى المتقطعﺲ
يذكر خواص دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائى المتقطعﺲيرسم بيان دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ﺲيرسم بيان دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي ﺲ .يتعرف على مفهوم توزيع ذي الحدين . يذكر الشروط الواجب توافرها في تجربة ذات الحدين . يذكر دالة التوزيع االحتمالي لمتغير ذات الحدين .يوجد االحتمال المطلوب باستخدام دالة التوزيع االحتمالي لتوزيع ذي الحدينيحسب التوقع( ) µلتوزيع ذي الحدين . يحسب التباين( )2бلتوزيع ذي الحدين . -يحسب االنحراف المعياري( )бلتوزيع ذي الحدين .
Slide 6
الجدول
المقترح
لتوزيع
الحصص
مقترح تدريس
البند في
10حصص
موزعة كالتالي:
الحصة
الموضوع
التدريس
التطبيق
الحصة األولي
المتغير العشوائى المتقطع
مثال1ص14
مثال2ص15
حاول أن تحل 1ص14
حاول أن تحل 2ص16
الحصة الثانية
دالة التوزيع االحتمالي
الحصة الثالثة
دالة التوزيع االحتمالي
مثال3ص17
مثال 4ص18
مثال5ص20
مثال6ص21
مثال7ص21
حاول أن تحل 3ص17
حاول أن تحل 4ص19
حاول أن تحل 5ص20
حاول أن تحل 6ص21
حاول أن تحل 7ص22
الحصة الرابعة
التوقع والتباين للمتغير
مثال 9ص24
مثال11صص26
حاول أن تحل 9ص24
حاول أن تحل11ص26
دالة التوزيع التراكمي
مثال 12ص28
مثال 13ص29
حاول ان تحل 12ص29
حاول أن تحل 13ص30
مثال 14ص31
حاول أن تحل رقم 14
ص31
رسم بيان دالة التوزيع
مثال15ص32
مثال 16ص33
حاول أن تحل 15ص32
حاول أن تحل 16ص35
الحصة الثامنة
توزي ذات الحدين
مثال17ص37
مثال18ص38
حاول أن تحل 17ص38
حاول أن تحل 18ص38
الحصة التاسعة
توزيع ذات الحدين
مثال 19ص39
حاول أن تحل 19ص39
الحصة العاشرة
التوقع والتباين لتوزيع
مثال 21،20ص40
مثال22ص41
حاول أن تحل 20ص40
حاول أن تحل 21ص41
حاول أن تحل 22ص41
العشوائي المتقطع
الحصة الخامسة
لمتغير عشوائي متقطع
الحصة السادسة
رسم بيان دالة التوزيع
االحتمالي
الحصة السابعة
التراكمي
ذات الحدين
Slide 7
Slide 8
أهمية استخدام علم االحتماالت المستند علي إحصاءات سابقة للوصول إلي استنتاجات مفيدة
-1مقدمة المشروع
:في إحدي رحالت الخطوط الجوية التي يتم خاللها استخدام طائرة تتسع لـ 213راكبا تقوم الشركة ببيع
أكثر من 213بطاقة ألنه معروف من رحالت سابقة أن بعض الركاب ممن سبق أن حجزوا بطاقات سفر
قد يتخلفون عن الرحلة .
-2الهدف :تهتم الشركة بأن يكون عدد الركاب في الرحلة مساويا لعدد المقاعد المتوفرة علي الطائرة أي 213مقعدا ،النه
إذا وجدت مقاعد فارغة علي الطائرة خالل الرحلة فإن المردود المادي للرحلة سيتناقص أما إذا كان عدد
الركاب أكبر من عدد المقاعد فإن الشركة ستقوم بدفع تعويض مادي لكل راكب لم يتوفر له مقعد علي متن
الطائرة وهذا أيضا سينقص من المردود المادي للرحلة.
-3اللوازم :الة حاسبة -حاسوب
-4اسئلة حول التطبيق بنا ًء علي إحصاءات سابقة فإن احتمال تخلف راكب واحد عن رحلة جوية هو
0.0975
أ -أثبت ان عدد البطاقات المباعة للرحلة يجب ان يكون 236بطاقة حتى يتأمن وجود 213راكبا ً
عند انطالق الرحلة
ب -إذا باعت الشركة 240بطاقة أي 4بطاقات أكثر مما يلزم لتأمين 213راكبا ً.
أوجد احتمال وجود مقعد بدون راكب علي متن الطائرة.
جـ -إذا كانت الشركة تدفع 200دينار لكل راكب حجز بطاقة ولم يجد مقعدا علي متن الطائرة للرحلة
،فأوجد احتمال أن تدفع الشركة 1000دينار تعويضا ً للركاب الذين لم يجدوا لهم مقاعد علي متن
الطائرة إذا كانت الشركة قد باعت 246بطاقة.
-5التقرير :ضع تقريرا مفصال حول المشروع وأعرض استخدام خصائص األحتمال
والتوقع في تنفيذه .
Slide 9
(أ) أثبت ان عدد البطاقات المباعة للرحلة يجب ان يكون 236بطاقة حتى يتأمن وجود 213
راكبا ً عند انطالق الرحلة
احتمال التخلف( -1ل)=0.0975
احتمال عدم التخلف(ل) = 0.9025
عدد عناصر الحدث
ل(أ) =
حيث س عدد
البطاقات
المباعة
عدد عناصر الفضاء
=0.9025
213
س
س=
213
س = 236بطاقة
0.9205
(ب) إذا باعت الشركة 240بطاقة أي 4بطاقات أكثر مما يلزم لتأمين 213راكبا ً.
أوجد احتمال وجود مقعد بدون راكب علي متن الطائرة.
عدد الركاب = 217 = 0.9025×240راكب
ن= 4
-1ل =0.0975
ل = 0.9025
1
4
ل (س= = )1د( = )1ﻕ ()0.0975( )0.9025
1
3
س= 1
=0.003
Slide 10
(جـ )إذا كانت الشركة تدفع 200دينار لكل راكب حجز بطاقة ولم
يجد مقعدا علي متن الطائرة للرحلة ،فأوجد احتمال أن تدفع
الشركة 1000دينار تعويضا ً للركاب الذين لم يجدوا لهم مقاعد
علي متن الطائرة إذا كانت الشركة قد باعت 246بطاقة
ن = ، 10س = 5أي 5ركاب إضافيين حتي يكون الناتج = 1000 = 200 ×5دينار تعويض
وذلك من أصل 10ركاب إضافيين
5
10
5
ﻕ
ل (ص = =)5د ( = ) 5
0.001 = )0.0975( )0.9025( 5
Slide 11
الوحدة الرابعة
المتغيرات العشوائية وتوزيعها
Random Variables and Their Distribution
Slide 12
Slide 13
عند إلقاء حجري نرد منتظمين ومالحظة الوجه العلوي
الحجر األول مرقم كما يلي :وجهان مرقمان 0وجهان مرقمان ، 1وجهان مرقمان ،2
الحجر الثاني مرقم كما يلي :ثالثة اوجه مرقمة ، 0ثالثة أوجه مرقمة ، 1
نهتم بمجموع العددين الظاهرين علي الوجه العلوي وليكن م هذا المجموع
بين أن النتائج الممكنة هي 3،2،1،0 :
)( (1أ) أوجد احتمال كل من النتائج التالية:
ل(م=)2
ل(م=)1
ل(م=)0
(ب) استنتج احتمال ل(م=)3
()3
(أ) إذا كنا نهتم بناتج ضرب العددين الظاهرين علي الوجه العلوي
فما النتائج الممكنة ؟
(ب) أوجد احتمال كل من النتائج الممكنة
Slide 14
1ف( الحجر األول) = { }2،1،0
ف(الحجر الثاني) = {}1،0
عناصر فضاء
العينة ف
المجموع
حاصل
الضرب
()0،0
()1،0
()0،1
()1،1
()0،2
()1،2
0
1
1
2
2
3
0
0
0
1
0
2
2النتائج الممكنة( مجموع العددين الظاهرين علي الوجه العلوي)={}3،2،1،0
ل(م=1 = )0
أ
6
ب ل(م=1 =)3
3
ل(م== )1
2
6
ل(م==)2
2
6
6
أ
ب
النتائج الممكنة (ناتج ضرب العددين علي الوجه العلوي) = {}2،1،0
ل(ح== )0
4
6
ل(ح== )1
1
6
ل(ح==)2
1
6
Slide 15
في ما سبق درسنا بعض مفاهيم التجارب العشوائية واالحتمال ونحن نعلم أن فضاء العينة
هو
مجموعة نواتج التجربة العشوائية والتي غالبا ً ما تكون صفات أو مسميات يصعب التعامل معها
رياضيا ً لذا يقوم الباحث بإقران هذه النواتج الوصفية للتجربة العشوائية بقيم عددية حقيقية تسمي
بالمتغير العشوائي والذي تتغير قيمته بتغير نتيجة التجربة العشوائيةفعلي سبيل المثال عند إلقاء قطعة
نقود متماثلة مرتين متتاليتين فإن فضاء العينة يكون كالتالي :
ف= {(ص،ص) ( ،ص،ك) ( ،ك،ص) ( ،ك ،ك)}
فمثال إذا اقتصرت دراستنا علي عدد الصور التي ظهرت في كل عنصر
من عناصر فضاء العينة ف والتي هي كالتالي 0،1،1،2 :علي الترتيب
نكون قد أقرنا كل عنصر من عناصر فضاء العينة بعدد حقيقي
كما هو موضح في الجدول التالي:
وسوف نرمز للمتغير العشوائي بالرمز ﺲ
فإن مدي ﺲ = {}0،1،2
وعليه
عناصر فضاء عدد الصور في
كل عنصر
العينة ف
(ص،ص)
2
(ص،ك)
1
(ك،ص)
1
(ك،ك)
0
Slide 16
00
ففي المثال السابق نالحظ ما يلي:
1مجال المتغير العشوائي ﺲ هو ف ={(ص،ص) ( ،ص،ك) ( ،ك،ص) ( ،ك ،ك)}
2المجال المقابل للمتغير العشوائي هو ح .
3المدي للمتغير العشوائي ﺲ هو { }0،1،2ويرمز له بالرمز ﺲ(ف)
يوجد عدة أنواع من المتغيرات العشوائية ،سوف تدرس نوعين فقط منها وهما :
1المتغيرات العشوائية المتقطعة (المنفصلة)
2المتغيرات العشوائية المتصلة (المستمرة)
Slide 17
المتغيرات العشوائية وتوزيعها
Random Variables and Their Distribution
Slide 18
يكون المتغير العشوائي ﺲ متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً إذا كانت
مجموعة القيم الممكنة له (المدي) ﺲ (ف) :هي مجموعة
متقطعة أي قابلة للعد ،من األعداد الحقيقية سواء أكانت منتهية
أم غير منتهية0
أمثلة لمتغير عشوائي متقطع:
عدد أهداف مباراة كرة قدم
عدداألخطاء في صفحة كتاب ما
Slide 19
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة مرتين متتاليتين ،ليكن المتغير العشوائي ﺲ
يعبر عن
«عدد الكتابات»
أوجد ما يلي :أ
فضاء العينة (ف)
ب مدي المتغير العشوائي ﺲ
ج نوع المتغير العشوائي
فضاء العينة (ف) ={(ص،ص) ( ،ص،ك) ( ،ك،ص) ( ،ك ،ك)}
عناصر فضاء
العينة ف
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺲ
ﰿ مدي المتغير العشوائي ﺲ = {}2،1،0
(ص،ص)
0
(ص،ك)
1
(ك،ص)
1
(ك،ك)
2
Slide 20
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة مرتين متتاليتين ،أوجد مجموعة القيم
للمتغيرات العشوائية التالية وحدد فيما إذا كانت متغيرات عشوائية متقطعة أم ال
المتغير العشوائي ﺲ الذي يمثل عدد الصور
المتغير العشوائي ﺺ الذي يمثل مربع عدد الصور
المتغير العشوائي ع الذي يمثل عدد الصور مطروحا ً منه عدد
ا لكتابات
عناصر فضاء
العينة ف
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺲ
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
2
1
1
0
Slide 21
عناصر فضاء
العينة ف
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺺ
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
عناصر فضاء
العينة ف
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ع
Slide 22
ﺲ
ﺲ
ﺲ
ﺲ
=
{(ص،ص،ص)(،ص،ص،ك)(،ص،ك،ص)
(،ك،ص،ص)(،ص،ك،ك)(،ك،ص،ك)،
(ك،ك،ص)(،ك،ك،ك)}
عناصر فضاء العينة ف
عناصر مدي المتغير
العشوائي ﺲ
(ص،ص،ص)
3
(ص،ص،ك)
2
(ص،ك،ص)
2
(ك،ص،ص)
2
(ص،ك،ك)
1
(ك،ص،ك)
1
(ك،ك،ص)
1
(ك،ك،ك)
0
Slide 23
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة مرتين متتاليتين ،أوجد مجموعة القيم
للمتغيرات العشوائية التالية وحدد فيما إذا كانت متغيرات عشوائية متقطعة أم ال0
المتغير العشوائي ﺲ الذي يمثل عدد الكتابات 0
المتغير العشوائي ﺺ الذي يمثل مكعب عدد الكتابات 0
المتغير العشوائي ع الذي يمثل عدد الكتابات مطروحا ً منه 0 2
عناصر فضاء
العينة ف
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺲ
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
0
1
1
2
Slide 24
عناصر فضاء
العينة ف
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺺ
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
عناصر فضاء
العينة ف
(ص،ص)
(ص،ك)
(ك،ص)
(ك،ك)
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ع
Slide 25
Slide 26
تعلمنا سابقا أن المتغير المتقطع هو دالة مداها مجموعة جزئية من ح قابلة للعد
ونبحث اآلن في احتمال وقوع كل عنصر من عناصر فضاء العينة المناظر لكل عنصر من عناصر
المدي
تعريف :دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ﺲ
متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً مداه { س ، 1س ، 2س، }... ، 3
إذا كان
فإن دالة التوزيع االحتمالي د تعرف كالتالي :
د(س ر) = احتمال (ﺲ = س ر )
أي أن د( س ر) = ل (ﺲ = س ر ) لكل = .... ،3،2،1
ويمكن تمثيلها بالجدول التالي:
س
س1
س2
س3
....
د(س)
د (س) 1
د (س) 2
د( س)3
....
أي أن مجموعة النقاط في المستوي اإلحداثي التي تمثل األزواج المرتبة (س ر ،د( س ر))
تسمي
Slide 27
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة مرة واحدة ،إذا كان المتغير العشوائي ﺲ
يعبر عن «عدد الصور»
أوجد ما يلي:
أ
فضاء العينة (ف)
ب مدي المتغير العشوائي ﺲ
ج احتمال وقوع كل عنصر من عناصر فضاء العينة (ف)
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي ﺲ
عناصر عناصر مدي
المتغير
{ ص،ك } فضاء العينة
العشوائى
ف
ﺲ
1
ص
مدي المتغير العشوائي ﺲ = {}1،0
ك
0
Slide 28
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي
0
س
هي:
1
د(س)
الحظ أن ل(
= + ) 0ل(
==)1
+
=1
Slide 29
عند إلقاء قطعة نقود متماثلة ثالث مرات متتالية ،إذا كان المتغير
العشوائي ﺲ يعبر عن « عدد الصور »
فأوجد ما يلي :
فضاء العينة ف
مدي المتغير العشوائي
احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي ﺲ
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي ﺲ
عناصر فضاء
العينة ف
=
مدي المتغير العشوائي ﺲ = {}0،1،2،3
(ص،ص،ص)
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺲ
3
(ص،ص،ك)
2
(ص،ك،ص)
2
(ك،ص،ص)
2
(ص،ك،ك)
1
(ك،ص،ك)
1
(ك،ك،ص)
1
(ك،ك،ك)
0
Slide 30
مالحظة :
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائى المتقطع تحقق الشرطين :
≤ 01د(س)≤ 1
2مجموع قيم دالة التوزيع االحتمالي د تساوى الواحد الصحيح ،
أي أن د(س1
) +د (س )
2
+د( س1 =… + ) 3
Slide 31
إذا كانت دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي
س
2-
1
2
3
د (س )
0.3
0.1
ك
0.2
هي :
أوجد قيمة ك .
ﱀ مجموع قيم دالة التوزيع االحتمالي د تساوي الواحد الصحيح
د( + )2-د( + )1د( + )2د(1 = )3
+0.1 +0.3ك 1 = 0.2 +
ك= 0.6-1
ك = 0.4
Slide 32
عند إلقاء قطعة نقود متماثلة مرتين متتاليتين وبفرض أن المتغير
العشوائي ﺲ يعبر عن « عدد الكتابات» أوجد دالة التوزيع االحتمالي
د للمتغير العشوائي ﺲ
عناصر فضاء
العينة ف
مدي المتغير العشوائي
= {}2،1،0
عناصر مدي
المتغير
العشوائي ﺲ
(ص،ص)
0
(ص،ك)
1
(ك،ص)
1
(ك،ك)
2
Slide 33
ﰿ
Slide 34
عند إلقاء قطعة نقود متماثلة ثالث مرات متتالية ،إذا كان المتغير العشوائي
« عدد الكتابات » فأوجد ما يلي :
فضاء العينة ف
مدي المتغير العشوائي
احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي ﺲ
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي ﺲ
مدي المتغير العشوائي
= {}3،2،1،0
يعبر عن
عناصر فضاء العينة
ف
عناصر مدي
المتغير العشوائي
ﺲ
(ص،ص،ص)
0
(ص،ص،ك)
1
(ص،ك،ص)
1
(ك،ص،ص)
1
(ص،ك،ك)
2
(ك،ص،ك)
2
(ك،ك،ص)
2
(ك،ك،ك)
3
Slide 35
Slide 36
س
د (س )
4
ك
3
0.2
2
1
0.15 0.1
0
0.35
ﱀ مجموع قيم دالة التوزيع االحتمالي د تساوي الواحد الصحيح
ﰿ د( + )4د( + )3د(+ )2د ( + )1د(1 =)0
ك1=0.35 +0.15 +0.1 +0.2 +
ﰿ ك = 0.8-1
ك= 0.2
Slide 37
Slide 38
ن
•
•
•
ن
ل ر = ن(ن-ا)(ن(×....× )2-ن -ر)1+
ل ر=
ن
ﻕر=
حيث ن ،ر تنتمي للمجموعة ﺺ ،+ن ≤ ر
Slide 39
متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً مداه هو } 1، 0 ،1-،2- { :
إذا كان
وكان د( = )2-د( ،0.3 = )1-د(0.2 = )1
أوجد د( ، )0ثم اكتب دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي
مجموع قيم دالة التوزيع االحتمالي د تساوي الواحد الصحيح
د( + )2-د( + )1-د( + )0د(1 = )1
+0.3 + 0.3د(1 =0.2 + )0
د(0.2 = )0
س
2-
1-
0
1
د(س)
0.3
0.3
0.2
0.2
Slide 40
صندوق يحتوي علي 10كرات متماثلة منها 7كرات بيضاء و 3كرات حمراء
سحبت أربع كرات عشوائيا ً معا ً من الصندوق إذا كان المتغير العشوائي ﺲ يمثل
عدد الكرات الحمراء
فأوجد ما يلي :
عدد عناصر فضاء العينة (ن(ف))
مدي المتغير العشوائي ﺲ
احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي ﺲ
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي ﺲ
=
=
= 210
Slide 41
عدد الكرات الحمراء التي يمكن سحبها كالتالي :لدينا 4حاالت :
• أن تكون كل الكرات المسحوبة بيضاء
ﺲ=0
عدد الكرات الحمراء المسحوبة = صفر
•
•
•
أن تكون الكرات المسحوبة منها 3كرات بيضاء وواحدة حمراء
أن تكون الكرات المسحوبة منها 2كرة بيضاء و 2كرة حمراء
أن تكون الكرات المسحوبة منها 1كرة بيضاء و 3كرات حمراء
ل(ﺲ = = ) 0
ل(ﺲ = ) 1
=
ل(ﺲ = = ) 2
ل (ﺲ = ) 3
=
7ق
×4
3ق
10
ق4
3ق
7ق
×3
7ق
7ق
=0
1
10
ق4
×2
3ق
2
10
ق4
×1
3ق
10
ق4
3
ﺲ=1
ﺲ=2
ﺲ=3
Slide 42
س
د (س )
0
1
2
3
المجموع
1
Slide 43
إذا كان
متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً مداه هو } 3 ،2 ،1 ، 0{ :
وكان د( ،0.1 = )0د( ،0.6 = )1د(0.15 = )2
أوجد د( ، )3ثم اكتب دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائى
ﱀ مجموع قيم دالة التوزيع االحتمالي د تساوي الواحد الصحيح
د( + )0د( + )1د( + )2د(1 = )3
+ 0.15 +0.6 +0.1د(1 = )3
د(0.15 = )3
س
0
1
2
3
د (س )
0.1
0.6
0.15
0.15
Slide 44
صندوق يحتوي على 10كرات متماثلة منها 7كرات بيضاء و 3كرات
حمراء سحبت 3كرات معا ً من الصندوق .إذا كان المتغير العشوائي ﺲ
يمثل عدد الكرات البيضاء
فأوجد ما يلي:
عدد عناصر فضاء العينة (ف )
مدى المتغير العشوائي ﺲ
احتمال كل عنصر من عناصر مدى المتغير العشوائي ﺲ 0
دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي ﺲ
10
ق
عدد عناصر الفضاء العينة (ف) =
=3
8 × 9 ×10
1 × 2 ×3
= 120
Slide 45
عدد الكرات التي يمكن سحبها كالتالي :لدينا 4حاالت:
• ان تكون كل الكرات المسحوبة حمراء.
ﰿ عدد الكرات البيضاء المسحوبة = صفر
أن تكون الكرات المسحوبة منها 2كرة حمراء1،كرة بيضاء
•
•
•
أن تكون الكرات المسحوبة منها 1كرة حمراء و 2كرة بيضاء
•
أن تكون الكرات المسحوبة منها 0كرات حمراء و 3كرات بيضاء
ﰿ
مدى المتغير العشوائي ﺲ = { }3،2،1،0
ﺲ= 0
ﺲ=1
ﺲ=2
ﺲ=3
Slide 46
ل (ﺲ = ) 0
ل (ﺲ
=
=) 1
3ق
×2
7ق
=
3ق
ل (ﺲ =) 2
=
3ق
×1
2
1
=
10
ق3
ل (ﺲ = ) 3
=
3ق
×0
10
س
د(س)
7ق
3
21
=
120
=
63
120
35
120
ق 3
1
2
3
1
21
63
35
120
120
120
0
= 0
10
ق3
10
ق3
7ق
×3
7ق
120
المجموع
1
1
120
Slide 47
Slide 48
القيمة التي تتجمع حولها القيم
الممكنة للمتغير العشوائي
المتقطع ويرمز له بالرمز µ
وهو أحد مقاييس
النزعة المركزية
عدد يقيس مقدار انتشار
أو تشتت قيم المتغير
العشوائي عن قيمته
المتوسطة ورمزه 2 o
وهو أحد مقاييس
التشتت
Slide 49
تعريف
إذا كان
مدي
متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً له دالة التوزيع االحتمالي د ،
= { س ، 1س ،س }….،
2
3
فإن التوقع للمتغير العشوائي (يرمز له برمز ) µيكون :
التوقع (µ
) = ʒس ر د (س ر )
أي أن (= ) µس 1د(س + )1س 2د(س ) +س 3د(س ) …..+
2
3
Slide 50
1
س
د( س)
2
2
3
7
7
3
4
6
3
35
35
التوقع ʒ = µس
ر
5
1
35
فأوجد التوقع µللمتغير العشوائي
د (س ر )
= 6 × 3 + 2 ×2 + 3 ×1
×5 + 3 ×4 +
7
7
=2
35
35
1
35
Slide 51
ذ
العشوائي يعبر
عند إلقاء قطعة نقود متماثلة مرتين متتاليتين ،إذا كان المتغير
عن «عدد الصور» ،فأوجد :
فضاء العينة (ف)
مدي المتغير العشوائي
احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي المتقطع
دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع
ه التوقع µللمتغير العشوائي
ـ
فضاء العينة (ف) ={(ص،ص) ( ،ص،ك) ( ،ك،ص) ( ،ك ،ك)}
مدي المتغير العشوائى
د(= )2
1
4
،د(= )1
={ }0،1،2
1
2
،د(= )0
1
4
الحظ أن :ل ( = )2
= د()2
Slide 52
س
2
د (س )
س
ﺽ التوقع = µ
=1 ×2
=
1
2
4
+
1
1
1
4
2
4
ر
د(س ر )
1 ×1 +
1
=1
2
1
0
2
1 ×0 +
4
Slide 53
تعريف
إذا كان ﺲ متغيراً عشوائيا ً متقطعا ً له دالة التوزيع االحتمالي د ،
فإن التباين للمتغير العشوائي يعطى بالصيغة :
2
التباين ( ʒ = ) бس 2د(س ر ) µ -
ر
2
حيث µهو التوقع
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ هي :
أوجد
س
0
1
2
3
د (س )
0.1
0.6
0.2
0.1
التوقع ( ) µ
2
التباين() б
االنحراف المعياري () б
Slide 54
التوقع = µ
ʒ
س
ر
د (س
ر
)
=0.1×4 + 0.2×3 + 0.6×2 + 0.1× 1
= 0.4 + 0.6+ 1.2 +0.1
= 2.3
2
2
س
(
د
ʒ
=
)
التباين (б
ر
س ر
2
)µ-
2
=))2.3( – 0.1×2)4+ 0.2×2)3( + 0.6×2)2( + 0.1× 2(1
= 0.61
االنحراف المعياري ( =) б
التباين =
0.61
≈ 0.7810
Slide 55
3
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع
0
س
د (س )
1
2
0.17 0.29 0.43
التوقع ( ) µ
3
4
0.09
0.02
2
التباين() б
هي :
االنحراف المعياري () б
التوقع ʒ = µس ر د(س ر )
=0.02×5+0.09×4 + 0.17×3 + 0.29×2 + 0.43× 1
= 1.98
2
التباين ( ʒ = )2бس 2رد(س ر ) µ -
=)02×2)4(+ 0.09×2)3(+ 0.17×2)2( + 0.29×2)1( + 0.43× 2(0
2
(1.1396 =3.92+5.06 = )1.98
االنحراف المعياري ( =) б
التباين =
1.0675 ≈1.1396
Slide 56
حاول أن تحل ص 23رقم 8
0
1
س
د(س) 34 2 4 1
س
9
9
التوقع = µ
= 4 ×1 + 4 ×0
9
= 6
9
9
=
2
3
2
4
1
9
5
فأوجد التوقع µللمتغير العشوائي
س ر د (س ر )
1 ×2 +
9
Slide 57
حاول أن تحل ص 24رقم 9
إذا كان فضاء العينة ألربع أسر لديها طفالن كالتالي :
ف ={ (ولد ،ولد) ( ،ولد ،بنت ) ( ،بنت ،ولد ) ( ،بنت ،بنت ) }
فأوجد :
مدي المتغير العشوائي المتقطع ﺲ الذى يعبر عن عدد األوالد
احتمال كل عنصر من عناصر مدي المتغير العشوائي
دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع
التوقع µللمتغير العشوائي
ف ={ (ولد ،ولد) ( ،ولد ،بنت ) ( ،بنت ،ولد ) ( ،بنت ،بنت ) }
مدي المتغير العشوائي ={ }0،1،2
Slide 58
د(س ر ) = ل (ﺲ = س ر )
د( = )2ل (ﺲ == )2
1
4
د( = )1ل (ﺲ =2 = ) 1
4
د( = )0ل(ﺲ == ) 2
س
د (س )
2
1
4
1
0
1
2
4
1
4
4
التوقع = µ
س ر د (س ر )
= 1 ×0 + 2 ×1 + 1 × 2
4
4
4
1
+ 2
1
2
= 1
Slide 59
حاول أن تحل ص 26رقم 10
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع
س
2
3
4
5
د (س )
0.1
0.3
0.5
0.1
2
التباين() б
التوقع ( ) µ
التوقع = µ
س
ر
هي :
االنحراف المعياري () б
د (س ر )
=0.1×5+ 0.5×4 + 0.3×3 + 0.1× 2
= 3.6
2
2
التباين ( ʒ = ) бس 2رد(س ر ) µ -
2
=)0.64 = )3.6( –0.1×2)5(+ 0.5×2)4( + 0.3×2)3( + 0.1× 2(2
االنحراف المعياري ( =) б
التباين =
0.64
≈ 0.8
Slide 60
حاول أن تحل ص 27رقم 11
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ هي :
س
1
2
3
4
5
د(س)
0.2
0.1
0.3
0.1
0.3
التوقع ( ) µ
2
التباين() б
االنحراف المعياري () б
د (س ر )
التوقع = µ
س
=0.3 ×5+0.1 ×4+ 0.3×3 + 0.1×2 + 0.2× 1
= 3.2
2
التباين ( ʒ = )2бس 2رد(س ر ) µ -
2
2
=))3.2(- 0.3× )5(+0.1×2)4(+ 0.3×2)3( + 0.1×2)2( + 0.2× 2(1
= 2.16
ر
االنحراف المعياري ( =) б
التباين =
2.16
≈ 1.469
Slide 61
Slide 62
تعريف :
دالة التوزيع التراكمي ت للمتغير العشوائي المتقطع عند القيمة أ هي احتمال وقوع
المتغير العشوائي ﺲ بحيث يكون ﺲ أصغر من أو يساوي أ
أي أن :ت(أ) = ل(ﺲ ≤ أ)
الحظ أن مجال دالة التوزيع
التراكمي ت هو ح وأن المجال
[ ] 1،0
المقابل =المدي
Slide 63
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ هي :
س
3
4
5
د(س)
0.5
0.3
0.2
أوجد :ت( ، )2ت( ، )3ت( ، )4ت( ، )4.5ت( ، )5ت()7
حيث ت دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي ﺲ 0
ت( = )2ل(ﺲ ≤ )2
= ل ( ﺲ < + ) 2ل (ﺲ = ) 2
=صفر +صفر = صفر
ت( = )3ل(ﺲ ≤ )3
= ل ( ﺲ < + ) 3ل (ﺲ = ) 3
= ل(ﺲ < + )3د()3
= 0.5=0.5 + 0
Slide 64
ت( = )4ل(ﺲ ≤ )4
= ل (ﺲ < + ) 4ل (ﺲ = ) 4
= د( + )3د()4
= 0.8=0.3 + 0.5
ت( = )4.5ل(ﺲ ≤ )4.5
= د( + )4.5د( + )4د()3
= 0.8=0.5 + 0.3+ 0
ت( = )5ل(ﺲ ≤ )5
= د( + )5د( + )4د()3
= 1=0.5 + 0.3+ 0.2
ت( = )7ل(ﺲ ≤ )7
= د( + )7د( + )5د(+ )4د()3
= 1=0.5 + 0.3+ 0.2+0
تذكر:
نرمز لدالة التوزيع االحتمالي بالرمز د
ونرمز لدالة التوزيع التراكمي بالرمز ت
Slide 65
)(1ل( أ < ﺲ ≤ ب ) = ت(ب) – ت(أ)
)(2ل(ﺲ > أ) = -1ل(ﺲ ≤ أ ) = -1ت (أ )
) (3ل( أ < ﺲ ≤ ب ) = ل( أ ≤ ﺲ < ب )
= ل( أ < ﺲ < ب )
= ل( أ ≤ ﺲ ≤ ب )
Slide 66
يبين الجدول التالي بعض قيم دلة التوزيع التراكمي ت للمتغير العشوائي المتقطع
هي :
5
3
2
1
س
1
0.6
0.2
0.15
ت (س )
أوجد:
ل( < 1ﺲ ≤ ) 3
ل( ≤ 2ﺲ < ) 5
ل(ﺲ > ) 2
ل( <1ﺲ ≤ = )3ت( – )3ت()1
= 0.45 = 0.15 + 0.6
ل( ≤ 2ﺲ < = ) 5ت( – )5ت()2
=0.8 = 0.2-1
ل (ﺲ > - 1 = ) 2ل (ﺲ ≤ ) 2
= -1ت(0.8 = 0.2-1 = )2
Slide 67
حاول أن تحل ص 29رقم 12
يبين الجدول التالي دالة التوزيع االحتمالي د للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ هي :
س
1
2
3
4
5
د(س) 0.02 0.09 0.17 0.29 0.43
أوجد :ت( ، )1ت( ، )3.5ت( ، )4ت()5
حيث ت دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي ﺲ
ت( = )1ل(ﺲ ≤ )1
= ل (ﺲ < + ) 1ل (ﺲ = ) 1
=صفر 0.43 = 0.43 +
ت( = )3.5ل(ﺲ ≤ )3.5
= د( + )3د( + )2د()1
= 0.89= 0.43+ 0.29+0.17
ت( = )4ل(ﺲ ≤ )4
= د( + )4د( + )3د( + )2د()1
= 0.98=0.43 + 0.29+ 0.17+0.09
ت( = )5ل(ﺲ ≤ )5
= د(+ )5د( + )4د( + )3د( + )2د()1
=0.98=0.4 + 0.29+ 0.17+ 0.09 +0.02
Slide 68
حاول أن تحل ص 30رقم 13
يبين الجدول التالي بعض قيم دلة التوزيع التراكمي ت للمتغير العشوائي
هي :
4
3
2
1
س
1
0.65 0.40 0.25
ت (س )
المتقطع
أوجد :
ل( < 4ﺲ < ) 5
ل (ﺲ > ) 3
ل( <4ﺲ < = )5ت ( – )5ت( = 1 - 1 = )4صفر
ل(ﺲ > -1 = ) 3ل(ﺲ ≤ -1 = ) 3ت(0.35 = 0.65-1 = )3
Slide 69
Slide 70
نعلم أن دالة التوزيع االحتمالي هي مجموعة نقاط
المستوي التي تمثل األزواج المرتبة (س ر ،ص ر )،
وبالتالي فإن بيان دالة التوزيع االحتمالي هو عبارة
عن نقاط يمكن تمثيلها في المستوي االحداثي
Slide 71
لتكن د دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ كما في الجدول التالي :
4
3
2
1
س
د (س )
0.2
0.1
0.3
0.4
ارسم بيان دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
بيان دالة التوزيع االحتمالي
رسم بيان دالة التوزيع االحتمالي:
نمثل قيم س علي المحور السيني
وقيم الدالة د(س) علي المحور
الصادي
ﺺ
0.4
0.3
0.2
0.1
ﺲ
6
5
4
3
2
1
Slide 72
حاول أن تحل ص 31رقم 14
لتكن د دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ كما في الجدول التالي :
5
4
3
2
1
س
د (س )
0.5
0.1
0.2
0.15
0.05
ارسم بيان دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
بيان دالة التوزيع االحتمالي
رسم بيان دالة التوزيع االحتمالي:
نمثل قيم س علي المحور السيني
وقيم الدالة د(س) علي المحور
الصادي
ﺺ
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
ﺲ
6
5
4
3
2
1
Slide 73
Slide 74
نعلم أن دالة التوزيع التراكمي هي دالة مجالها ح ومجالها
المقابل = المدي =[ ،] 1،0وبالتالي فإن بيانها عبارة
عن شعاعين وقطع مستقيمة
كما يتضح من المثال التالي:
Slide 75
لتكن د دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ كما في الجدول التالي :
5
4
3
2
س
د(س) صفر 0.4 0.5 0.1
أوجد :
ارسم دالة التوزيع التراكمي ت 0
دالة التوزيع التراكمي ت0
دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
س< 2
≥2س<3
≥3س<4
≥4س<5
س≥5
ت(س) = صفر
ت(س) = صفر
ت(س) = صفر0.1 = 0.1 +
ت(س) = 0.6 = 0.1+0.5
ت(س) = 1 = 0.6 +0.4
صفر
ت(س) =
:س< 2
صفر ≥ 2:ﺲ < 3
≥ 3: 0.1ﺲ < 4
≥ 4: 0.6ﺲ <5
:س≥ 5
Slide 76
رسم بيان دالة التوزيع التراكمي ت :نأخذ قيم س
علي المحور السيني وقيم الدالة ت(س) علي المحور
الصادي0
ﺺ
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
ﺲ
6
5
4
3
2
1
Slide 77
عند إلقاء قطعة نقود معدنية متماثلة ثالث مرات متتالية ومالحظة الوجه العلوي ،
المتغير العشوائي الذى يمثل عدد مرات ظهور الصورة (ص)
ليكن
فأوجد :
فضاء العينة (ف)
مدي المتغير العشوائي ﺲ
احتمال وقوع كل عنصر من عناصر فضاء العينة (ف)
دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
ه ارسم دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
ـو دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
ز ارسم دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع س
=
{(ص،ص،ص)(،ص،ص،ك)(،ص،ك،ص)(،ك،ص،ص)،
(ص،ك،ك)(،ك،ص،ك)( ،ك،ك،ص)(،ك،ك،ك)}
Slide 78
عناصر مدي
عناصر فضاء العينة
المتغير العشوائي
ف
ﺲ
(ص،ص،ص)
3
(ص،ص،ك)
2
(ص،ك،ص)
2
(ك،ص،ص)
2
(ص،ك،ك)
1
(ك،ص،ك)
1
(ك،ك،ص)
1
(ك،ك،ك)
0
مدى المتغير العشوائى
= { }0،1،2،3
Slide 79
لرسم بيان دالة التوزيع االحتمالي :نمثل قيم س علي المحور السيني
وقيم الدالة د(س) علي المحور الصادي
بيان دالة التوزيع االحتمالي
ﺺ
7
8
6
8
5
8
4
8
3
28
5
8
1
8
ﺲ
5
4
3
2
1
Slide 80
دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع
صفر
1
ت(س) =
8
7
8
:س< 0
≤ 0:ﺲ < 1
≤ 1:ﺲ < 2
ﺺ
بيان دالة التوزيع التراكمي
7
8
6
≤2:ﺲ<3
:س≥ 3
8
5
8
رسم دالة التوزيع التراكمي للمتغير
العشوائي المتقطع
4
8
3
28
8
1
8
ﺲ
5
4
3
2
1
Slide 81
حاول أن تحل ص 32رقم 15
استخدم جدول التوزيع االحتمالي التالي اليجاد دالة التوزيع التراكمي وارسم بيانها:
س
د (س )
أوجد :
1
0.5
2
0.1
3
0.2
4
0.15
دالة التوزيع التراكمي ت0
5
0.05
ارسم دالة التوزيع التراكمي ت 0
دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
س< 1
≥1س<2
≥2س<3
≥3س<4
≥4س<5
س≤
5
ت(س) = صفر
ت(س) = صفر0.5= 0.5 +
ت(س) = 0.6 = 0.5 +0.1
ت(س) =0.8 = 0.2+ 0.6
ت(س) = 0.95 = 0.15 +0.8
ت(س) = 1 = 0.05 +0.95
ت(س) =
صفر :س< 1
≥ 1: 0.5ﺲ < 2
≥ 2: 0.6ﺲ < 3
≥ 3: 0.8ﺲ < 4
≥ 4: 0.95ﺲ < 5
:س≤5
Slide 82
حاول أن تحل ص 32رقم 15
رسم بيان دالة التوزيع التراكمي ت :نأخذ قيم س علي
المحور السيني وقيم الدالة ت(س) علي المحور الصادي
ﺲ
ﺺ
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
6
5
4
3
2
1
Slide 83
حاول أن تحل ص 35رقم 16
استخدم جدول التوزيع االحتمالي التالي اليجاد دالة التوزيع التراكمي وارسم بيانها:
س
د (س )
1
2
1
1
12
س< 1
≥1س<2
≥2س<3
≥3س<4
≥4س<6
س≤6
3
1
4
6
4
1
3
6
1
6
دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي المتقطع ﺲ
صفر
1
12
3
12
6
12
10
12
1
ت( س) =
صفر :س< 1
1
≥ 1: 12ﺲ < 2
3
≥2: 12ﺲ < 3
≥ 3: 6ﺲ < 4
12
≥ 4: 10ﺲ < 6
12
:س≤ 6
1
Slide 84
حاول أن تحل ص 35رقم 16
ﺺ
رسم بيان
دالة التوزيع
التراكمي ت:
نأخذ قيم س
علي المحور
السيني وقيم
الدالة ت(س)
علي المحور
ﺲ
الصادي0
1
11
1012
12 9
8 12
7
12
612
125
412
12 3
2 12
1
12
6
5
4
3
2
1
12
Slide 85
Slide 86
نعلم من خالل دراستنا أن بعض التجارب العشوائية يكون لها ناتجان أو عدة نواتج
يمكن اختزالها إلي ناتجين فقط أي أن فضاء العينة يصبح محتويا علي عنصرين فمثالً
• عند إلقاء قطعة نقود مرة واحدة يكون الناتج إما صورة أو كتابة 0
• عند تأدية الطالب اختباراً في مادة ما تكون النتيجة إما نجاح أو رسوب 0
• عند دخول شخص اختباراً للحصول علي رخصة القيادة تكون النتيجة نجاح أو
رسوب0
وهكذا فإننا قيد دراسة التجارب التي يكون لها ناتجان فقط وهي ما يسمي
بتجربة ذات الحدين0
تعريف :تجربة ذات الحدين
تجربة ذات الحدين هي تجربة عشوائية تحقق الشروط التالية:
) (1تتكون التجربة من عدد من المحاوالت المستقلة والمتماثلة
(المحاوالت المستقلة تعني أن نتيجة كل محاولة ال تؤثر وال تتأثر بنتائج المحاوالت األخرى )
( )2كل محاولة يكون لها ناتجان فقط (نجاح أو فشل)
( )3احتمال الحصول علي أحد الناتجين يكون ثابتا ّ من تجربة إلي أخري 0وسوف نرمز لهذا
االحتمال بالرمز ل 0وتسمي كل محاولة من محاوالت التجربة
بمحاولة برنولي Bernoulli
Slide 87
دانييل برنولي
( 1782-1700م) فيزيائي ورياضي سويسري
من أصل هولندي ولد في عائلة من الرياضيين
سنه 1700م .أشهر عمل له كان كتابه الموائع
المتحركة الذي نشر عام 1738م ووضع فيه
دراسة نظرية وعملية التزان المائع وسرعته
وضغطه ،وبين أن ضغط المائع يقل إذا زادت
سرعته ،وهو ما يعرف حاليا بمبدأ برنولي
Slide 88
فمثالً إذا أجريت تجربة برنولي عدد من المرات وكان احتمال النجاح في المحاولة
الواحدة ل وكان المتغير العشوائي الذي يمثل عدد مرات النجاح في كل المحاوالت
فإن احتمال النجاح في ن من المحاوالت يعطي بالعالقة التالية :
ل ( ﺲ = س ) =د ( س ) =
•
•
•
•
•
•
ن
ﻕسل
س
( -1ل)
ن-س
،نgﺺ
ن عدد المحاوالت0
مجموعة القيم الممكنة للمتغير العشوائي = { ، 00000 ، 2 ، 1 ، 0ن }
س عدد مرات النجاح من ن من المحاوالت 0
ل احتمال النجاح0
( – 1ل ) احتمال الفشل0
يسمي توزيع المتغير العشوائي ﺲ بتوزيع ذات الحدين للمعلمتين ل ،ن0
+
Slide 89
إذا كان
فأوجد :
متغيراً عشوائيا ً ذو حدين ومعلمتيه هما :ن= ، 7ل=0.1
ل(ﺲ = صفر)
ل( <1ﺲ≤)3
ن
ل(ﺲ = س) =د(س) =
ن= ، 7ل=0.1
ﰿ ل(ﺲ= صفر) =
7
ﻕ
ل
ﻕ
س
س
( -1ل)
0
0
ن-س
()0.9( )0.1
7
،ن تنتمي للمجموعة ﺺ
≈ 0.4783
ل(ﺲ= = )0د()0
،ن= ، 7ل= ، 0.1ﺲ = 0
حل آخر
نبحث في جدول االحتماالت في توزيع ذات الحدين عن قيمة د()0
( صفحة ) 57
فنجد أن :د(0.478 = )0
+
Slide 90
Slide 91
ل( <1ﺲ ≥ = )3ل(ﺲ = + ) 2ل(ﺲ = = ) 3د( + )2د()3
د(= )2
د(= )3
7
7
ﻕ
ﻕ
2
2
()0.9( )0.1
3
3
()0.9( )0.1
4
5
≈ 0.1240
≈ 0.0230
ل( <1ﺲ ≥ 0.1470 = 0.0230 + 0.1240 = )3
حل آخر
ل( <1ﺲ ≥ = )3ل(ﺲ = + ) 2ل(ﺲ = = ) 3د( + )2د()3
ﰿ
ن= ، 7ل=0.1
نبحث في جدول االحتماالت في توزيع ذات الحدين
د(0.1240 = )2
عندما س= 2
د(0.0230 = )3
عندما س= 3
ل( <1ﺲ ≥ = )3د( +)2د(0.1470 = 0.0230 + 0.1240= )3
Slide 92
فى تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة 8مرات متتالية ،احسب احتمال
ظهور صورة 5مرات 0
ن= ، 8ل= 1
2
ل(ﺲ = س) =د(س) =
ن
ﻕس ل
س
( -1ل)
ن-س
،ن تنتمي ﺺ
+
ل(ﺲ = = )5د()5
3 1 5 1
= 8ﻕ ) ( × ) ( 5
2
2
2 1
6×7×8
) 1
(
)
(
×
×
=
2
2
1×2×3
حل آخر
ل(ﺲ = = )5د()5
ﱀ
نبحث في جدول االحتماالت في
توزيع ذات الحدين عن قيمة د()0
فنجد أن :د(0.219 = )5
ن= ، 8ل= 1
2
5
≈ 0.2188
،س = 5
Slide 93
حاول أن تحل ص 38رقم 17
إذا كانﺲمتغيراً عشوائيا ً ذو حدين ومعلمتيه هما :ن= ، 8ل=0.2
فأوجد :
)
2
=
ﺲ
(
ل
ل( ≥ 2ﺲ < )4
ﱀ ل(ﺲ= س) =د(س) = ن ﻕ ل
ﱀ
ن= ،8ل=0.2
ﰿ ل(ﺲ = = ) 2
حل آخر
س
ل(ﺲ = = )2د()2
8
ﻕ
2
2
س
( -1ل)
()0.8( )0.2
ﱀ
6
ن-س
،نgﺺ
≈ 0.294
ن= ، 8ل= ، 0.2ﺲ = 2
نبحث في جدول االحتماالت في توزيع ذات الحدين عن قيمة د()2
( صفحة ) 57
فنجد أن :د(0.294 = )2
+
Slide 94
= ل(ﺲ = + ) 2ل(ﺲ= = ) 3د( + )2د()3
ل( ≥ 2ﺲ< )4
6
2
≈ 0.294
د(8 = )2ﻕ ()0.8( )0.2
2
د(= )3
8ﻕ
5
3
(0.147 ≈ )0.8(3 )0.2
ل( <1ﺲ ≥ 0.441 = 0.147 + 0.294 = )3
حل آخر
ل( ≥ 2ﺲ < = )4ل(ﺲ = + ) 2ل(ﺲ = = ) 3د( + )2د()3
ﱀ
ن= ،8ل=0.2
نبحث في جدول االحتماالت في توزيع ذات الحدين
د(0.294= )2
عندما س= 2
د(0.147 = )3
عندما س= 3
ل( <1ﺲ ≥ = )3د( +)2د(0.441 = 0.147 + 0.294= )3
Slide 95
حاول أن تحل ص 38رقم 18
فى تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة 10مرات متتالية ،احسب احتمال
ظهور كتابة 5مرات 0
ﱀ
ن=، 10
1
ل=
ن
ﱀ ل(ﺲ = س) =د(س) =
ﰿ
2
ﻕ
س ل
س
( -1ل)
ن–س
،نgﺺ
+
ل(ﺲ = = )5د()5
5
5
10ﻕ ( ) 1 (× ) 1
=
2
2
5
5
5 1
1
)
(
= 0.246 ≈ 2 × ) 2 ( × 6×7×8×9×10
حل آخر
1×2×3×4×5
ﱀ
ل (ﺲ = = )5د()5
ﱀ
نبحث في جدول االحتماالت
في توزيع ذات الحدين عن قيمة د()5
فنجد أن :د(0.246 = )5
ن= ، 10ل=
، 1س = 5
2
Slide 96
Slide 97
احتمال ظهور صورة او كتابة عند رمي قطعة نقود
في الرمية الواحدة = 1
2
احتمال ظهور عدد عند رمى حجر نرد
في الرمية الواحدة = 1
6
Slide 98
عند إلقاء حجر نرد منتظم خمس مرات متتالية ،أوجد :
احتمال ظهور العدد 4مرتين
احتمال ظهور العدد 4مرة واحدة علي األقل
احتمال ظهور العدد 4مرة واحدة علي األكثر
1
ن= ، 5ل= احتمال ظهور العدد 4من الرمية الواحدة =
6
س= عدد مرات ظهور العدد 0 4
ن
ن-س
س
+
ﻕ
،ن تنتمي ﺺ
س ل ( -1ل)
ل(ﺲ= س) = د(س) =
ل(ﺲ = = )2د()2
=
4×5
1×2
5
ﻕ
2
×
(
5 (2 ) 1
63
()5
6
)
3
0.1608 ≈ 5
()6
Slide 99
ل(ﺲ≤ -1 = )1ل(ﺲ< - 1= )1د()0
د()0
=
5
ﻕ
0
0
5
)
( ( ) 1
6
6
5
≈ 0.4019
ل(ﺲ ≤ 0.5981 = 0.4019-1 = )1
ل(ﺲ ≥ = )1د( + )0د()1
4 5 1
د(5 = )1ﻕ ( ( ) 1
) ≈ 0.4019
6 1
6
ل(ﺲ ≥ 0.8038 = 0.4019 + 0.4019 ≈ )1
Slide 100
حاول أن تحل ص 39رقم 19
عند إلقاء حجر نرد منتظم خمس مرات متتالية ،أوجد :
احتمال ظهور العدد 3مرتين
احتمال ظهور العدد 3مرة واحدة علي األقل
احتمال ظهور العدد 3مرة واحدة علي األكثر
1
ن= ، 5ل= احتمال ظهور العدد 3من الرمية الواحدة =
6
س= عدد مرات ظهور العدد 0 3
ن
ن-س
س
+
ﻕ
،ن تنتمي ﺺ
سل ( -1ل)
ل(ﺲ = س) =د(س) =
)5
ل(ﺲ = = )2د(5 = )2ﻕ ( ( )1
6
63 2
2
4×5
1×2
×
()5
3
0.1608 ≈ 5
()6
Slide 101
ل(ﺲ ≤ -1 = )1ل(ﺲ< - 1= )1د()0
د()0
=
5
ﻕ
0 1
5
)
) (
(
5
≈ 0.4019
6 0
6
ل(ﺲ ≤ 0.5981 = 0.4019-1 = )1
ل(ﺲ ≥ = )1د( + )0د()1
4 5 1
د(5 = )1ﻕ ( ( ) 1
) ≈ 0.4019
6 1
6
ل(ﺲ ≥ 0.8038 = 0.4019 + 0.4019 ≈ )1
1
6
Slide 102
Slide 103
درسنا كيفية إيجاد التوقع والتباين للمتغير العشوائي المتقطع
واآلن نتعرض إليجاد التوقع والتباين لتويع ذات الحدين
أوالً :التوقع
=µن ل
• ثانيا :التباين ( = )2бن ل ( -1ل)
•
ثالثا :االنحراف المعياري ( =) б
التباين
=
ن ل ( -1ل)
Slide 104
ينتج مصنع سيارات 200سيارة يوميا ً ،إذا كانت نسبة إنتاج
السيارات المعيبة 0.01فأوجد التوقع والتباين واالنحراف المعياري
لعدد السيارات المعيبة في يوم واحد 0
ن= ، 200س = عدد السيارات المعيبة في اليوم الواحد ،
ل = نسبة إنتاج السيارات المعيبة في اليوم الواحد = 0.01
– 1ل = 0.99 =0.01 -1
التوقع
= ن ل = 2 = )0.01( 200
2
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 1.98 = )0.99( ) 0.01 (200
•
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
=
1.98
≈ 1.4071
Slide 105
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة 5مرات أوجد التوقع والتباين
واالنحراف المعياري إذا كان المتغير العشوائي ﺲ هو ظهور صورة
ن = ، 5ﺲ = ظهور الصورة
ل هو احتمال ظهور صورة
ل=
ﰿ التوقع
1
2
–1 ،ل= 1
2
= ن ل = 2.5 = ) 12 ( 5
2
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 1.25 = ) 1 ( ) 1 (5
2
•
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
2
=
1.25
≈ 1.1180
Slide 106
في أحد مصانع السيارات تبين أن ٪1من السيارات غير صالحة
للسير إذا سحبنا 8سيارات ،فأوجد التوقع والتباين للسيارات الصالحة
للسير
ن = ، 8ل = نسبة السيارات الصالحة للسير :
– 1ل = 0.01
0.99 =0.01 – 1
التوقع
2
= ن ل = 7.92 = ) 0.99 ( 8
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 0.0792 = ) 0.01 ( ) 0.99 (8
Slide 107
حاول أن تحل ص 40رقم 20
ينتج مصنع سيارات 350سيارة يوميا ً ،إذا كانت نسبة إنتاج
السيارات المعيبة 0.02فأوجد التوقع والتباين واالنحراف المعياري
لعدد السيارات المعيبة في يوم واحد 0
ﱀ ن= ، 350س = عدد السيارات المعيبة في اليوم الواحد ،
ل = نسبة إنتاج السيارات المعيبة في اليوم الواحد = 0.02
– 1ل = 0.98 =0.02 -1
ﰿ التوقع
= ن ل = 7 = )0.02( 350
2
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 6.86 = )0.98( ) 0.02 (350
•
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
=
6.86
≈ 2.619
Slide 108
حاول أن تحل ص 41رقم 21
في تجربة إلقاء قطعة نقود متماثلة 8مرات أوجد التوقع والتباين
واالنحراف المعياري إذا كان المتغير العشوائي ﺲ هو ظهور صورة
ن = ، 8ﺲ = ظهور الصورة
ل هو احتمال ظهور صورة
ل=
التوقع
1
2
–1 ،ل= 1
2
= ن ل = 4 = ) 12 ( 8
2
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 2 = ) 1 ( ) 1 (8
2
•
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
2
=
2
≈ 1.414
Slide 109
حاول أن تحل ص 41رقم 22
٪70من زبائن مطعم ما أفادوا بأن الطعام قد أعجبهم وسيقصدونه
مرة أخري من بين 100زبون ،فأوجد التوقع والتباين واالنحراف
المعياري 0
ﱀ ن = ، 100ل = نسبة الذين سيقصدون المطعم مرة أخري = 0.7
– 1ل = 0.3
= ن ل = 70 = ) 0.7 ( 100
ﰿ التوقع
2
التباين ( = ) бن ل ( -1ل) = 21 = ) 0.3 ( ) 0.7 (100
•
االنحراف المعياري ( =) б
التباين
=
21
≈ 4.583