Transcript 3er PREMIO DEL CONCURSO DEL IMUVA 2014 «Las Matemáticas del Planeta Tierra» Alumnos de 4º de E.S.O.

3er PREMIO DEL CONCURSO DEL IMUVA 2014
«Las Matemáticas del Planeta Tierra»
Alumnos de 4º de E.S.O. :
Raúl Barbao de Andrés
Adrián Caballero Ruíz
Damián Gómez de Andrés
Enrique Martín de la Cruz
Carmen Montero Grande
Freddy Mora Párraga
Profesor: Montserrat González Guadíx
I.E.S. EZEQUIEL GONZÁLEZ DE SEGOVIA
Eratóstenes de Cyrene
(276 a.C.)
Eratóstenes fue un matemático y astrónomo de origen
griego que llegó a ser el tercer director de la biblioteca de
Alejandría. Nació en Cyrene (actual Libia) en el año 276 a.C.
Una de sus aportaciones a la ciencia entre otras fue el
cálculo del radio terrestre con una aproximación asombrosa
para la época.
La base de los cálculos que hizo Eratóstenes se
situaron en Alejandría y Siena (actual Asuán)
Alejandría
Asuán
Eratóstenes descubrió que en Siena, el 21 de junio el Sol se situaba en la
vertical del lugar y no se producía sombra (hoy sabemos que corresponde
al solsticio de verano, momento en el que los rayos solares inciden
verticalmente en el Trópico de Cáncer debido a que la latitud coincide con
la inclinación del eje terrestre [23º] . En cambio en Alejandría sí que se
producía sombra en el mismo instante.
Equinoccios y solsticios
Alejandría
Veamos como varían las sombras a lo largo del año
Siena
Trópico de
Cáncer
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
21-Junio
Solsticio de verano
Trópico de
Cáncer
Trópico
de Cáncer
Trópico
de Cáncer
Trópico
de Cáncer
Trópico
de Cáncer
Trópico
de Cáncer
El solsticio en Siena y Alejandría
Eratóstenes midió la distancia entre Siena y Alejandría, y midió en Alejandría el ángulo (7º)
que los rayos solares formaban con la vertical el día del Solsticio de verano (21 de junio)
∝= 7º12′
𝑥 = 5000 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 = 786 𝑘𝑚
Veamos los cálculos
que hizo Eratóstenes
b = Alejandría
a = Asuan
Con esta sencilla proporción
entre el arco de
circunferencia y el ángulo
360º 2𝜋𝑟 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎
=
→
∝
𝐿
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑆𝑖𝑒𝑛𝑎 − 𝐴𝑙𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑟í𝑎
Obtuvo el radio de la Tierra: 6305 Km.
Sorprendentemente, el error que cometió fue sólo de
66 Km 1%.
En el triángulo OAC se cumple:
∝= ∝ 2 −∝ 1
∝2
B
∝1
A
∝2
C
∝
O
L
Pero……… Si tenemos
dosentre
ciudades
Aciudades,
yB
Si L es la distancia
las dos
, siempre
tendremos porcualesquiera
una regla de tres
sencilla:
que se encuentren en
el mismo meridiano,
tendríamos las
siguientes
relaciones
360º 2𝜋𝑟 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎
=
→
angulares
∝
𝐿
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝐴 𝑦 𝐵
de donde
360º 𝐿
𝑟=
2𝜋𝛼
¿Cómo se toman los datos necesarios?
El primer paso es obtener la altura angular del sol (β) al mediodía
Se mide la sombra (S) que produce en ese instante una varilla de longitud conocida (L)
𝑙
𝑡𝑔𝛽 =
𝑆
Rayos solares
∝ 2 = 90º − 𝛽
l = varilla
∝2
S = sombra
𝛽
N
varilla
Pero…… ¿Cómo conocer el instante del mediodía ?
o ¿Cuál es la línea meridiana (Norte-Sur)?
o ¿Cuál es la sombra más corta?
S
P1
Pn
N
Se toman sombras simétricas (en la misma circunferencia), y los tiempos en que se producen.
Los datos obtenidos de longitudes y sombras y tiempos
se ajustan a una curva (parábola) cuyo vértice nos da
sombra y tiempo al mediodía solar
T.U.(h) Longitud
(cm)
13,18
93,5
13,27
92,3
13,43
91,6
13,48
92
13,57
93,6
L = 71,6 cm
S = 90,87 cm
¡¡¡ Con los datos obtenidos hemos
calculado la altura angular del sol !!!
Rayos solares
l = varilla
∝2
S = sombra
𝛽
N
𝑙
𝑆
𝑡𝑔𝛽 = =
71,6 𝑐𝑚
90,87 𝑐𝑚
= 0,7889
𝛽 = 38,24º
∝ 2 = 90º − 𝛽 = 51,76º
¿Cómo hemos calculado la distancia entre
las dos ciudades? …………….Google
La distancia
entre las dos
Ciudades
Segovia y
Ciudad Real
es de 220 km
Con los datos obtenidos se realiza el
«Cálculo del radio terrestre»
∝2
B
∝1
∝ 1 = 49,81º
A
∝ 2 = 51,76º
∝2
C
L
∝= ∝ 2 −∝ 1 = 1,95º
𝑑 = 𝐴𝐵 = 220𝑘𝑚
∝
O
𝑟=
360º𝑑
2𝜋𝛼
= 6450,1 km
Error = 1,26%
Raúl Barbao de Andrés
Adrián Caballero Ruíz
Damián Gómez de Andrés
Enrique Martín de la Cruz
Carmen Montero Grande
Freddy Mora Párraga
I. E.S.Ezequiel González
Segovia
marzo 2014